求向量组的秩与极大无关组

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1、求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩(即矩阵的秩)的方法：为阶梯形矩阵【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等) 把向量组的向量作为矩阵的列(或行)向量组成矩阵A； 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； 阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩.【例 1】求下列向量组ai=(1, 2, 3, 4), a2=( 2, 3, 4, 5), a3=(3, 4, 5, 6)的秩.解1：以aa?, a为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的列秩为2,所以向量组的秩为2.解2：以ajaza,为行向量作成矩

2、阵A,用初等行变换将A化为 阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的行秩为2,所以向量组的秩为2.2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1逐个选录法给定一个非零向量组A：气，%,， 设罕0,则椿线性相关，保留气 加入电，若a,与a线性相关，去掉a若电与a线性无关，保留a , a ；2212；2112 依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：气=(1,2, -1，% =(2,-3,1 A , a3 =(4,1,一。,的最大无关组解：因为椿非零，故保留气取a2,因为气与a2线性无关，故保留a1，a2取a3易得a3=2a1+a2，故a1，a2，a3线性相关。所以最大无关组为气a

3、2方法2初等变换法【定理】 矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性.证明从略，下面通过例子验证结论成立.向量组：a1=(1，2,3)T, a2=(-1,2,0)T, a3=(1,6,6)T矩阵矩阵矩阵出矩阵L矩阵R线性关系：电=趴心 应=明1四 ，3/升+& 耳=踮十舄 压=2外十由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：(1)列向量行变换 把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A； 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组.【例 3】求向量组：a1=(2,1,3,-1)T, a2=(3,-1,2,0)T

4、,气=(1，3,4，-2儿 气=(4,-3,1,1)丁 的秩和一个最 大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。解 以a1,a2,a3,a4列构造矩阵A,并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩： 2314、1 -1 3 -31 -1 3 31 -1 3-30 5 -5 100 1 -1 2A = (a , a , a , a )=/ / / 432410 5 -5 100 0 0 01 0 -21,、0 -1 1-2,0 0 0 0 J知r(A)=2,故向量组的最大无关组含2个向量而两个非零行的非零首元分别在第1, 2列，故a,a为向量组的一个最大无关组 12f 1 -1)01

5、a )-2000 0 J事实上，(%知 r(a1,a2)=2,故线性无关为把a3,a4用,%线性表示，把A变成行最简形矩阵A -102-1、01-1200000000Ja4与向量a =(1, - 2,0,3)a =(2, - 5, - 3,6)a =(0,1, 3,0) , a =(2,-1, 4, - 7) a =(5,8,1,2).记矩阵B=(B , B, B, B因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向量a ,a ,a 1234123P1, p2, p3, 04之间有相同的线性关系。f 2、f 1、f 0、而8 =-1=20+ (-1)1=2P-P ,P =-8 + 2P3000

6、124120 u J0WJ0 ,因此气=2气- a4=a1+2a2【例4】求下列向量组的一个最大无关组，其中:解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵BI 矩阵E已是阶梯形矩阵,8的每阶梯 首列所在的列是L 2, 4列*所以且的第 1, 2, 4列就是日的列向量组的极大线性 无关组，即仁,住蔚知是向量组的一个 机长残无美船. 1再利用初等行变换，将B再化成行最简形矩阵C.假设第5列为，该如何表示?初等矩阵A, B, C初等变换行作为求秩无关B中见线性无关C做陪即列向量组的 个 极大无关组化为了单 位向量蛆.根据行最简形矩阵。可知,12，白4 :是向量组的一个极大无关组，

7、且iai=2aia2 +0cf4:ah= CEi+ao +t?4.用最大线性无关组表示其它向量的方法为： 把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A； 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； 把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C； 根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量.求向量组的秩和一个最大无关组.【例5】,解:,当0且。丈1时，nmk且二3故向量组的秩为3,且徐码皿是一个最大无关组;当由二D时，推 且二3，故向量组的秩为3,且陶，昭，做是一个最大无关组;,h = i j -jb 当八1时，若 2，则泌/ = 2，此时向量组的秩为2,且耳仔是一个最大无关组.若 2， 则

8、rankX= 3,此时向量组的秩为3,且巧，仁，叫是一个最大无关组.（2）行向量列变换同理，也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵），通过做初等列变换来求向量 组的最大无关组。【例6】求向量组砂（1TX），临=（。31，2），安霁齐4），住=（1,-心），咬%的 一个最大无关组.解：以给定向量为行向量作成矩阵A，用初等列变换将A化为行最简形:0 =Gt族（行向量列变换由于的第1，2, 4个行向量构成的向量组线性无关，故叫，电，件是向量组的一个最大无关组.方法3线性相关法（了解）若非零向量组A：气，%,an线性无关，则A的最大无关组就是气，%,%若非零向量组A线性相关，则A中

9、必有最大无关组二、对于抽象的向量组，求秩与最大无关组常利用一些有关的结论，如：1、若向量组（I）可由向量组（II）线性表示，则（I）的秩不超过（II）的秩2、等价向量组有相同的秩3、秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组【例7】设向量组用，的的秩为广.又设 = 02+强+- +房=场+强+耳,=琦+气+ +砾_，求向量组瓦禺,七凡的秩.洼1 岗+扃+凡二（明-1）（磁+句+ + %）解法1:由于且+炉中5.+咖二1叫所以，咬s叶 + 寿白3 +凡+*）,砌 故向量组与岛为宓等价，从而凡的秩为匚解法2：将队小俱看做列向量，则有7 1 - P10-1偶隽，岛）=（%耳）七其中1 1 - oL可求得d =（T）%T）0,即P可逆，从而弭，,皿可由凡扃，凡线性表示，由已知皿岛 可由弭，绮，.，线性表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩.【例7】设向量组（i）：吃,q和向量组（I）：凡岛的秩分别为。和七，而向量组（口1）： q叫皿岛*的秩为广.证明： + w证：若,i和七中至少有一个为零，显然有=，结论成立.若升和咤都不为零，不妨设向量组（I）的最大无关组为%，向量组（II ）的最大无关组为 “，片，凡，由于向量组可以由它的最大无关组线性表示，所以向量组（山）可以由丐，弓七乌! E占线性表示，故：I皿心.，月，青，底）的秩s+上