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1、设系统的传递函数为：,已知输入,频率特性基本概念,第五章 频域响应法,线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号， 其输出与输入的幅值比为,输出与输入的相位差,相频特性,幅频特性,一、基本概念,幅相频率特性G(j) : G(j) 的幅值和相位均随输入正弦信号角频率的变化而变化。 在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得到系统的频率特性。,1、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应, 记为css(t) 2、频率特性,幅频特性A(): 稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比:,相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相角之差:,频率特性与传递函数具有十
2、分相的形式,【例】某单位反馈控制系统得开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sin t时系统的稳态输出 解 首先求出系统的闭环传递函数(s) ，令s=j 得,如=2, 则 (j2)=0.35 -45o,则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o) =0.7sin(2t-45o),二、频率特性表示法,频率特性可用解析式或图形来表示。 （一）解析表示,系统开环频率特性可用以下解析式表示,幅频-相频形式 ： 指数形式(极坐标) ： 三角函数形式： 实频-虚频形式：,（二）系统频率特性常用的图解形式 1. 极坐标图奈奎斯特图 （Nyqusit） 幅相
3、特性曲线 系统频率特性为幅频-相频形式,当在0变化时,相量G(j)H (j)的幅值和相角随而变化,与此对应的相量G(j) H (j)的端点在复平面 G(j)H (j)上的运动轨迹就称为幅相频率特性或 Nyqusit曲线。画有 Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。,5-4 系统开环频率特性的绘制,系统开环传函的一般形式为：,一、系统开环传函幅频特性,系统开环传函由多个典型环节相串联：,那麽，系统幅相特性为：,即开环系统的幅频特性与相频特性为：,开环系统的幅频特性是各串联环节幅频特性的幅值之积； 开环系统的相频特性是各串联环节相频特性的相角之和。,二、系统开环频率特性曲线的绘
4、制,1、系统(标准型)简单吗？,2、比较复杂,2、比较简单 则写出G(jw)Re+j Im,3、分别求出w=0+、+ 时的G(jw),4、必要时画出幅相曲线中间几点,5、勾画出w=0+ + 时G(jw)的大致曲线（当然，越精确越好） 注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶微分等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微分环节，则幅相曲线会出现凹凸。,例1 某单位反馈系统的开环传函为：,试概略绘制系统开环幅相图。,例2 某单位反馈系统的开环传函为：,试概略绘制系统开环幅相图。,例3 某单位反馈系统的开环传函为：,试概略绘制系统开环幅相图。,例4 某单位反馈系统的开环传函为：,试
5、概略绘制系统开环幅相图。,例5 某单位反馈系统的开环传函为：,试概略绘制系统开环幅相图。,例6 某单位反馈系统的开环传函为：,试概略绘制系统开环幅相图。,例7 某单位反馈系统的开环传函为：,试概略绘制系统开环幅相图。,例8 某单位反馈系统的开环传函为：,试概略绘制系统开环幅相图。,5-5 最小相位系统和非最小相位系统,（1）如果系统开环传递函数在右半S平面上没有极点和零点，则称该系统为最小相位系统，如,（2）系统的开环传递函数在右半S平面上有一个(或多个)零点或极点, 则该系统称为非最小相位系统。开环传递函数含有延迟环节的系统也称非最小相位系统。,（4）非最小相位一般由两种情况产生: 系统内包
6、含有非最小相位元件(如延迟因子); 内环不稳定。,（5）最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系 (Bode定理),（3）具有相同幅值的两个系统, 由0时, 最小相位系统的相角迟后最小, 而非最小相位系统的相角迟后则较大。,对数相频特性记为,单位为分贝（dB),对数幅频特性记为,单位为弧度（rad),如将系统频率特性G(j ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度:lgw）和相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度lgw ），合称为伯德图(Bode图)
7、。,（二）系统频率特性常用的图解形式 2. 伯德图(Bode图),对数相频特性记为,单位为分贝（dB),对数幅频特性记为,单位为弧度（rad),如将系统频率特性G(j ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度）和相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度），合称为伯德图(Bode图)。,5-6 典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图),对数幅频特性,对数相频特性,比例环节(K),K0,2. 积分环节(G(s)=1/s),3. 微分环节(G(s)=s),4.
8、 惯性环节(G(s)=1/(Ts+1),5. 一阶微分环节(G(s)=Ts+1,6. 振荡环节,7. 二阶微分,8. 滞后环节,9. 非最小相位环节 与对应最小相位环节相比，对数幅频特性相同，对数相频特性关于实轴对称（-K除外）,G(s)=-K -180o,G(s)=1/(-Ts+1) 0 90o,G(s)=-Ts+1 0 -90o,0 180o,0 -180o,一、系统开环对数频特性,5-7 系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制,系统开环传函由多个典型环节相串联：,那麽，系统对数幅频和对数相频特性曲线为：,系统开环对数幅值等于各环节的对数幅值之和；相位等于各环节的相位之和。 因此，开环对
9、数幅值曲线及相位曲线分别由各串联环节对数幅值曲线和相位曲线叠加而成。 典型环节的对数渐近幅频对数曲线为不同斜率的直线或折线，故叠加后的开环渐近幅频特性曲线仍为不同斜率的线段组成的折线。 因此，需要首先确定低频起始段的斜率和位置，然后确定线段转折频率（交接频率）以及转折后线段斜率的变化，那么，就可绘制出由低频到高频的开环对数渐近幅频特性曲线。,控制系统一般由多个环节组成，在绘制系统Bode图时，应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式，再逐步绘制。,二、系统开环对数频特性曲线的绘制,将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式后,确定各环节的转折频率,并将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标
10、纸上（不妨设为：w1、w2、w3、w4 ）,1. 低频起始段的绘制 低频段特性取决于 ，直线斜率为20 。为获得低频 段，还需要确定该直线上的一点，可以采用以下三种方法： A:在小于等于第一个转折频率w1内任选一点w0,计算其值。（若采用此法，强烈推荐取w0 w1 ） La(w0)=20lgK 20lgw0 B:取特定频率w01，则 La(w0)=20lgK C:取La(w0)为特殊值0，则,-20 dB/dec,1,20 lgK,w1,(1). 0型系统的低频起始段的绘制,对类似右图所示的0型系统的Bode图，通过低频段高度H=20lgK（dB）。,(2). I型系统的低频起始段的绘制,对右
11、下图I型系统Bode图,低频段渐近线斜率为-20dB/dec。有两种情况： （1） 低频段或低频段延长线与横轴相交，则交点处的频率 =K ； （2） 低频段或低频段渐近线的延长线在=1时的幅值为20lg K 。,(3). II型系统的低频起始段的绘制,下图所示为II型系统Bode图，低频段渐近线的斜率为-40dB/dec,也有两种不同情况： (1)低频段渐近线或低频段渐近线的延长线与横轴相交， 则交点处的频率 =K1/2；(2)低频段或低频段的延长线在=1时的幅值为20lg K,2 绘制步骤概括如下: (1) 将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式,确定各环节的转折频率,并将转折频率由
12、低到高依次标注到半对数坐标纸上（不妨设为：w1、w2、w3、w4 ）； (2) 绘制L()的低频段渐近线； (3) 按转折频率由低频到高频的顺序,在低频渐近线的基础上,每遇到一个转角频率,根据环节的性质改变渐近线斜率,绘制渐近线,直到绘出转折频率最高的环节为止。 (4)如需要精确对数幅频特性，则可在各转折频率处加以修正。 (5)相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。 注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！,【例:,【例 设系统开环传递函数为,试绘制开环系统对数频率特性曲线。,【例 设系统开环传递函数为,试绘制开环系统对数频率特性曲线。,三、由Bode图确定系统的传递函数 由Bode图确定系统传
13、递函数，与绘制系统Bode图相反。即由实验测得的Bode图，经过分析和测算，确定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。,由频率特性测试仪记录的数据,可以绘制最小相位系统的开环对数频率特性, 对该频率特性进行处理，即可确定系统的对数幅频特性曲线。,1、频率响应实验,2、传递函数确定,（1）对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率为20dB/dec整数倍的直线段来近似测量到的曲线。,（2）当某处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此即为某个环节的转折频率。当斜率变化+20dB/dec时,可知处有一个一阶微分环节Ts+1; 若斜率变化+40dB/dec时，则处有一个二阶
14、微分环节 (s2/ 2n+2s/n+1) 或一个二重一阶微分环节(Ts+1)2 若斜率变化 -20dB/dec时,则处有一个惯性环节1/(Ts+1);若斜率变化-40dB/dec时，则处有一个二阶振荡环节1/ (s2/ 2n+2s/n+1)或一个二重惯性环节1/(Ts+1) 2；。,（3）系统最低频率段的斜率由开环积分环节个数决定。低频段斜率为-20dB/dec,则系统开环传递有个积分环节，系统为 型系统。,（4）开环增益K的确定由=1作垂线，此线与低频段(或其延长线)的交点的分贝值=20lgK(dB),由此求处K值。低频段斜率为-20dB/dec时,此线(或其延长线)与0dB线交点处的值等于
15、开环增益K值。当低频段斜率为-40dB/dec时,此线(或其延长)与0dB线交点处的值即等于K1/2。其他几种常见情况如下表所示。,几种常见系统Bode 图的K值,L(w),(dB),w1,w2,1,10,w,lgw,L(w1),0,L(w2),例 最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示。试确定系统传递函数。,例 试确定如图所示实验频率响应曲线的系统传递函数。,例 最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示。试确定系统传递函数。,解 由图知此为分段线性曲线,在各交接频率处,渐近特性斜率发生变化,由斜率的变化情况可确定各转折频率处的典型环节类型。,=0.1处,斜率变化+20dB/dec,为一阶微分环节;
16、 1处,斜率变化-20dB/dec,为惯性环节; 2处,斜率变化-20dB/dec,为惯性环节; 3处,斜率变化-20dB/dec,为惯性环节; 4处,斜率变化-20dB/dec,为惯性环节。,可知系统开环传递函数为: 其中,K、1、2、3、4待定。,由20lgK=30dB,可确定K=31.6。 由直线方程及斜率的关系式确定1、2、3、4。,设A、B为斜率为K的对数幅频特性直线段上两点,A点的对数幅值为L(A),B点则为L(B),则有直线方程 L(A)- L(B)=Klg A -lg A，则,从低频段开始,令A= 1 ,从图中可知 B=0.1、 L(A)=40dB、L(0.1)=30dB、 K=20dB/dec,则有,同理，可分别求出4、 3、 2，可写出系统开环传递函数为：,
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