全等三角形的经典模型一

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1、全等三角形的经典模型（一）3满分晋级三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短秋季班第四讲秋季班第三讲秋季班第二讲漫画释义 作弊？知识互联网 题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：利用特殊边特殊角证题（AC=BC或）.如图1；常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 典题精练【例1】 已知：如图所示，RtABC中，AB=AC，O为BC的中点，写出点O到ABC的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要求证明）如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移

2、动中保持AN=CM.试判断OMN的形状，并证明你的结论.如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断中结论是否依然成立，如果是请给出证明【解析】 OA=OB=OC连接OA,OA=OC AN=CMANOCMO ON=OM OMN是等腰直角三角形ONM依然为等腰直角三角形，证明：BAC=90，AB=AC，O为BC中点BAO=OAC=ABC=ACB=45，AO=BO=OC，在ANO和CMO中，ANOCMO（SAS）ON=OM，AON=COM，又COMAOM=90，OMN为等腰直角三角形【例2】 两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连接

3、，取的中点，连接，试判断的形状，并说明理由【解析】是等腰直角三角形证明：连接由题意，得 为等腰直角三角形.，又，是等腰直角三角形【例3】 已知：如图，中，是的中点，于，交于，连接求证：【解析】 证法一：如图，过点作于，交于，在和中，在和中，证法二：如图，作交的延长线于，在和中，在和中，【例4】 如图，等腰直角中，为内部一点，满足，求证：【解析】 补全正方形，连接DP，易证是等边三角形，【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的

4、效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，RtABC中，BAC=90，AB=AC，M为AC中点，连结BM，作ADBM交BC于点D，连结DM，求证:AMB=CMD【解析】 作等腰RtABC关于BC对称的等腰RtBFC，延长AD交CF于点N，ANBM，由正方形的性质，可得AN=BM，易证RtABM RtCAN，AMB=CND，CN=AM，M为AC中点，CM=CN，1=2，可证得CMDCND，CND=CMD，AMB=CMD【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，RtABC中，BAC= 90，AB=AC，AD=CE，ANBD于点M，延长BD交NE的延长

5、线于点F，试判定DEF的形状【解析】 作等腰RtABC关于BC对称的等腰RtBHC，可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K，AKBD，可知AK=BD，易证:RtABDRtCAK，ADB=CKN，CK=AD，AD=EC，CK=CE，易证CKNCEN，CKN=CEN，易证EDF=DEF，DEF为等腰三角形【探究三】利用等积变形求面积【备选3】如图，RtABC中，A=90，AB=AC，D为BC上一点，DEAC，DFAB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE【解析】 作等腰RtABC关于BC的对称的等腰RtGCB，可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M，可知D

6、N=EB=4，DM=FC=3，由正方形对称性质，可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DMDN=34=12【探究四】求线段长【备选4】如图，ABC中，ADBC于点D，BAC=45，BD=3，CD=2，求AD的长【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但BAC=45，若分别以AB、AC为对称轴作RtADB的对称直角三角形和RtADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形【解析】 以AB为轴作RtADB的对称的RtAEB，再以AC为轴作RtADC的对称的Rt

7、AFC可知BE=BD=3，FC=CD=2，延长EB、FC交点G，BAC=45，由对称性，可得EAF=90，且AE=AD=AF，易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD，设AD=x，则BG=x3，CG=x2，在RtBCG中，由勾股定理，得，解得x=6，即AD=6【探究五】求最小值【备选5】如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC=4，M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作RtACB关于AB对称的RtADB，可知四边形ACBD为正方形，连接CD，可知点C关于AB的对称点D，连接MD交AB于点P，连接CP，则PM+PC的值为最

8、小，最小值为:PM+PC=DM=题型二：三垂直模型思路导航常见三垂直模型例题精讲【引例】 已知ABBD，EDBD，AB=CD，BC=DE，求证：ACCE；若将CDE沿CB方向平移得到等不同情形， 其余条件不变，试判断ACC1E这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由. 【解析】 ABBD，EDBD 在与中（SAS）,即ACCE 图四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似，只要证明 ACC1E典题精练【例5】 正方形中，点、的坐标分别为，点在第一象限求正方形边长及顶点的坐标（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）【解析】 过点C作CGx轴于G，过B作B

9、Ey轴于E，并反向延长交CG于F点、的坐标分别为，BE=8， AE=6，AB=10四边形ABCD是正方形，AB=BC AEBBFCCF=BE=8，BF=AE=6 CG=12 EF=14C(14，12)，正方形的边长为10【点评】 此题中三垂直模型：【例6】 如图所示，在直角梯形中，是的中点， 求证：； 求证：是线段的垂直平分线； 是等腰三角形吗？请说明理由 【解析】，是中点，由得：，由等腰三角形的性质，得：即是线段的垂直平分线是等腰三角形，由得：，由得：，是等腰三角形【例7】 如图1，ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P请你补全图形，并直接写

10、出APD的度数= ；如图2，RtABC中，B=90，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN，连接AN、CM相交于点P请你猜想APM= ，并写出你的推理过程（2013平谷一模）【解析】 图略，6045证明：作AEAB且.可证， 是等腰直角三角形, 又AEC CAN（SAS） ECAN. 思维拓展训练(选讲)训练1. 已知：如图，中，AC=BC，是上一点，AEBD的延长线于E，并且，求证：BD平分.【解析】 延长AE交BC的延长线于FBEAF ， 在AFC和BDC中，AFCBDC（ASA）AF=BD又 BE是AF的中垂线BA=BF BD平分训练2. 已知，在正方形ABCD中，E在B

11、D上，DGCE于G，DG交AC于F.求证：OE=OF【解析】 ABCD是正方形OD=OC DGCE 在DOF和COE中，DOFCOE（ASA） OE=OF训练3. 已知：如图，中，是的中点，于求证：【解析】 ，是的中点AD=BD=CD， ADBC在BDH和ADF中，BDHADF（ASA）DH=DF训练4. 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长【解析】 在RtAEF和RtDEC中， EFCE， FEC=90， AEF+DEC=90，而ECD+DEC=90，AEF=ECD 又FAE=EDC=90

12、EF=ECRtAEFRtDCE AE=CD AD=AE+4矩形ABCD的周长为32 cm， 2（AE+AE+4）=32 解得AE=6 cm 复习巩固题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习【练习1】 如图，ACB、ECD均为等腰直角三角形，则图中与BDC全等的三角形为_.【解析】 AEC【练习2】 如图，已知中，是的中点，垂足为，交的延长线于点求证：【解析】 ，又，是的中点，即题型二 三垂直模型 巩固练习【练习3】 已知：如图，四边形ABCD是矩形（ADAB），点E在BC上，且AE =AD，DFAE，垂足为F请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明FADCEB【解析】 经探求，结

13、论是：DF = AB 证明如下：四边形ABCD是矩形， B = ， ADBC， DAF = AEB DFAE， AFD = ， AE = AD ， AB = DF【练习4】 如图，中，是上任意一点，交延长线于，于求证：【解析】 根据条件，、都与互余，在和中，则，【练习5】 四边形ABCD是正方形如图1，点G是BC边上任意一点(不与B、C两点重合)，连接AG，作BFAG于点F，DEAG于点E求证：ABF DAE；在中，线段EF与AF、BF的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)；如图2，点G是CD边上任意一点(不与C、D两点重合)，连接AG，作BFAG于点F，DEAG于点E那么图中全等三角

14、形是 ，线段EF与AF、BF的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)【解析】 在正方形ABCD中，AB=AD，在ABF和DAE中（AAS）ABFDAE课后测测试1. 问题：已知中，点是内的一点，且，探究与度数的比值请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明当时，依问题中的条件补全右图观察图形，与的数量关系为_；当推出时，可进一步推出的度数为_； 可得到与度数的比值为_ （2010北京中考）【解析】 相等； ； 测试2. 已知：如图，在ABC中，于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB=FC. 【解析】 于点，又于点，在和中，测试3. 如图， RtABC中，C=90,，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动. 当ABC和APQ全等时,点Q到点A的距离为_ .5cm或10cm.