甘肃省兰州一中高三上8月月考数学试卷文科解析版

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1、2018届甘肃省兰州一中高三（上）8月月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1（5分）已知全集U=Z，A=1，0，1，2，B=x|x2=x，则AUB为（）A1，2B1，0C0，1D1，22（5分）复数的实部是（）A2B2C3D43（5分）已知an是等差数列，a10=10，则S19=（）A190B95C170D854（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前

2、一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A24里B48里C96里D192里5（5分）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A18B2C3D06（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）ABCD7（5分）有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16B20C24D328（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB=bcosA，则sinBcosC的最大值是（）A1BCD29（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积

3、是（）A16B20C24D3210（5分）过双曲线（a0，b0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）ABC2D11（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（4x），且（x2）f（x）0，若，则a，b，c的大小关系是（）AcbaBcabCabcDbac12（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x2的零点为a，函数g（x）=lnx+x2的零点为b，则下列不等式成立的是（）Af（1）f（a）f（b）Bf（a）f（b）f（1）Cf（a）f（1）f（b）Df（b）f（1）f（a）二、填空题（共4小题，每小

4、题5分，满分20分）13（5分）右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ？14（5分）椭圆中过P（1，1）的弦恰好被P点平分，则此弦所在直线的方程是 15（5分）在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有 16（5分）在区间0，1上任意取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+axb在区间1，1上有且仅有一个零点的概率为 三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2=b2+c2+bc（）求角A的大小；（）若a=2，b=2，求c的值18（12分）

5、为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）高校相关人数抽取人数A18xB362C54y（1）求x，y；（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，BAD=60，E为PD的中点，（）求证：BDPC；（）求BE与平面PAD所成的角20（12分）已知椭圆M：（ab0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4（）求椭圆M的方程；（）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若

6、以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值21（12分）已知函数f（x）=x2+bx+a（a，bR），f（x）的图象过原点（1）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；（2）当a0时，确定函数f（x）的零点个数请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，过点作倾斜角为的直线l与曲线C：x2+y2=1相交于不同的两点M，N（1）写出直线l的参数方程；（2）求的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知a+b=1，对a，b（0，+），+|2x1|x+1|恒成立（1）求+的最小值；（2）求x的取值

7、范围2017-2018学年甘肃省兰州一中高三（上）8月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1（5分）已知全集U=Z，A=1，0，1，2，B=x|x2=x，则AUB为（）A1，2B1，0C0，1D1，2【分析】B为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解【解答】解：由题设解得B=0，1，CUB=xZ|x0且x1，ACUB=1，2，故选A【点评】本题考查集合的基本运算，属容易题2（5分）复数的实部是（）A2B2C3D4【分析】复数的实部，必须先化简复数为a+bi的形式，就可知道它的实部【解答】解：将原式，所

8、以复数的实部为2故选B【点评】化简复数为a+bi的形式，需要分母实数化，复数的分子、分母同乘分母的共轭复数是基础题3（5分）已知an是等差数列，a10=10，则S19=（）A190B95C170D85【分析】由等差数列的通项公式及前n项和公式得S19=（a1+a19）=19a10，由此能求出结果【解答】解：an是等差数列，a10=10，S19=（a1+a19）=19a10=1910=190故选：A【点评】本题考查等差数列的前19项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用4（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半

9、，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A24里B48里C96里D192里【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，第此人二天走192=96步故选：C【点评】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属基础题5（5分）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A18B

10、2C3D0【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，则目标函数的最大值可求【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立解得B（3，4）由图可知，当目标函数过B时z有最大值z=23+34=18故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题6（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）ABCD【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n=6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m=4，由此能求出取出

11、的2张卡片上的数字之和为奇数的概率【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n=6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m=4，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=故选：C【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用7（5分）有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16B20C24D32【分析】先由三视图画出几何体的直观图，再由图中所给数据及柱体、锥体体积计算公式计算此几何体体积即可【解答】解：由三视图可知此几何体为组合体：长方体去掉一角，其直观图如图：长方体的三

12、边长分别为2，3，4，长方体的体积为24去掉的三棱锥的体积为24=4此组合体的体积为244=20故选B【点评】本题考查了三视图的识别，由三视图画直观图的能力，柱体、椎体体积计算公式，空间想象能力8（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB=bcosA，则sinBcosC的最大值是（）A1BCD2【分析】已知等式利用正弦定理化简得到tanA=1，求出A的度数，用B表示出C，代入所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出最大值【解答】解：由asinB=bcosA以及正弦定理可知si

13、nAsinB=sinBcosA，即sinA=cosA，tanA=1，即A=，sinBcosC=sinBcos（B）=sinBcoscosBsinsinB=sinB+cosB=sin（B+），0B，即B+，0sin（B+）1，则sinBcosC的最大值为1故选A【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键9（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A16B20C24D32【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面

14、积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，球的半径为，球的表面积是24，故选C【点评】本题考查学生空间想象能力，四棱柱的体积，球的表面积，容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球的直径，导致出错10（5分）过双曲线（a0，b0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）ABC2D【分析】根据OMPF，且FM=PM判断出POF为等腰直角三角形，推断出OFP=45，进而在RtOFM中求得半径a和OF的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得【解答】解：OMPF，且FM=PMOP=OF，OFP=45|0M|=

15、|OF|sin45，即a=ce=故选A【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用11（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（4x），且（x2）f（x）0，若，则a，b，c的大小关系是（）AcbaBcabCabcDbac【分析】先根据题题中条件：“f（x）=f（4x），”求其对称轴，再利用导数的符号判断函数的单调性，进而可解【解答】解：由f（x）=f（4x）可知，f（x）的图象关于x=2对称，根据题意又知x（，2）时，f（x）0，此时f（x）为减函数，x（2，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，所以f（3）=f（1）f（）f（0

16、），即cba，故选C【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系解答关键是利用导数工具判断函数的单调性，属基础题12（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x2的零点为a，函数g（x）=lnx+x2的零点为b，则下列不等式成立的是（）Af（1）f（a）f（b）Bf（a）f（b）f（1）Cf（a）f（1）f（b）Df（b）f（1）f（a）【分析】首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+120，g（b）=0，g（1）=0+120，从而可判断0a1b；从而再利用单调性判断大小关系【解答】解：易知函数f（x）=ex+x2在R上是增函数，g（x）=lnx

17、+x2在（0，+）上也是增函数；又f（a）=0，f（1）=e+120，g（b）=0，g（1）=0+120，0a1b；故f（a）f（1）f（b）；故选C【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i10？【分析】框图给出的是计算的值的一个程序框图，首先赋值i=1，执行s=0+时同时执行了i=i+1，和式共有10项作和，所以执行完s=后的i值为11，再判断时i=11应满足条件，由此可以得到正确答案【解答】解：框图首先给变量s，n，i赋值s=0，

18、n=2，i=1判断，条件不满足，执行s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；判断，条件不满足，执行s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；判断，条件不满足，执行s=+，n=6+2=8，i=3+1=4；由此看出，当执行s=时，执行n=20+2=22，i=10+1=11在判断时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i10？故答案为：i10【点评】本题考查了程序框图中的直到型循环，虽然是先进行了一次判断，但在不满足条件时执行循环，直到满足条件算法结束，此题是基础题14（5分）椭圆中过P（1，1）的弦恰好被P点平分，则此弦所在直线的方程是x+2y3=0【分析】设出两个交点的坐标，将它们代入椭圆

19、的方程，将两个式子相减得到有关相交弦的中点与相减弦所在直线的斜率关系，求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程【解答】解：直线与椭圆的两个交点坐标为（x1，y1）；（x2，y2）则两式相减得P（1，1）为中点直线的斜率为此弦所在直线的方程是即x+2y3=0故答案为x+2y3=0【点评】解决直线与圆锥曲线相交关于相交弦的问题，一般利用将交点坐标代入圆锥曲线的方程，两个式子相减得到中点与斜率的关系15（5分）在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值【分析】由平面中关于点到线的距离的性质，根据平面上关于线的性质类比为空间中关

20、于面的性质，即可得到结论【解答】解：由平面中关于点到线的距离的性质，根据平面上关于线的性质类比为空间中关于面的性质，我们可以推断在空间几何中有：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值故答案为：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值【点评】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质16（5分）在区间0，1上任意取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+axb在区间1，1上有且仅有一个零点的概率为 【分析】由题意知本题是一个几何概型，根据所

21、给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=x3+axb在区间1，1上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，a0，1，f（x）=1.5x2+a0，f（x）是增函数若在1，1有且仅有一个零点，则f（1）f（1）0（0.5ab）（0.5+ab）0，即（0.5+a+b）（0.5+ab）0 a看作自变量x，b看作函数y，由线性规划内容知全部事件的面积为11=1，满足条件的面积为概率为=，故答案为：【点评】本题是一个

22、几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2=b2+c2+bc（）求角A的大小；（）若a=2，b=2，求c的值【分析】（）利用余弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可；（）直接利用正弦定理求解即可【解答】解：（）由a2=b2+c2+bc，结合余弦定理得，0A，（）由正弦定理，得，0B，B=c=b=2【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力

23、，是中档题18（12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）高校相关人数抽取人数A18xB362C54y（1）求x，y；（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率【分析】（）根据分层抽样的方法，有，解可得答案；（）根据题意，可得从5人中抽取两人的情况数目与二人都来自高校C的情况数目，根据等可能事件的概率公式，计算可得答案【解答】解：（）根据分层抽样的方法，有，解可得x=1，y=3；（）根据题意，从高校B、C抽取的人共有5人，从中抽取两人共=10种，而二人都来自高校C的情况有=3种；则

24、这二人都来自高校C的概率为【点评】本题考查分层抽样的方法与等可能事件概率的计算，难度不大，注意组合数公式的运用19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，BAD=60，E为PD的中点，（）求证：BDPC；（）求BE与平面PAD所成的角【分析】（I）利用菱形的性质定理可得ACBD，再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出（）依题意，知平面PAD平面ABCD，交线为AD，过点B作BMAD，垂足为M，则BM平面PAD连接BE，ME，则BEM就是 BE与平面PAD所成的角利用等边三角形与直角三角形的边角关系即可得出【解答】（）证明：因为四边形ABCD是

25、菱形，所以ACBD又因为PA平面ABCD，所以PABD又PAAC=A，所以BD平面PAC又PC平面PAC，所以BDPC（）解：依题意，知平面PAD平面ABCD，交线为AD，过点B作BMAD，垂足为M，则BM平面PAD连接BE，ME，则BEM就是 BE与平面PAD所成的角AB=AD，BAD=60，BM=AB=，ME=PA=1，即BE与平面PAD所成的角为【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、线面角、等边三角形与直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）已知椭圆M：（ab0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4（）求椭圆M的方程

26、；（）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值【分析】（）根据椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4，椭圆的离心率，建立方程，利用b2=a2c2，可求椭圆M的方程；（）由直线与椭圆方程联立，消元，由以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），可得，结合数量积公式及韦达定理，即可求m的值【解答】解：（）由题意，可得，即，（1分）又椭圆的离心率为，即，（2分）所以a=3，所以b2=a2c2=1，（3分）所以椭圆M的方程为（4分）（）由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m29=0（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），有，（6分

27、）因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以（7分）由，得 （x13）（x23）+y1y2=0（8分）将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，得，（10分）将 代入上式得解得，或m=3（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，联立方程，利用韦达定理是解题的关键21（12分）已知函数f（x）=x2+bx+a（a，bR），f（x）的图象过原点（1）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；（2）当a0时，确定函数f（x）的零点个数【分析】（1）把a等于1代入到导函数中求出导函数，把x=3代入导函数中得f

28、（3）即为函数在x=3处切线方程的斜率，把x=3代入f（x）中求出切点坐标（3，f（3），然后根据切点和斜率写出切线方程即可；（2）当a大于0时，令导函数为0求出x的值，利用x的值，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的极大值和极小值，并根据a大于0判断极大值和极小值的正负及f（2）和f（a+1）的正负，即可得到函数零点的个数【解答】解：f（x）=x3x2+bx+a，f（x）=x2（a+1）x+b，由f（0）=0得b=0，f（x）=x（xa1）（1）当a=1时，f（x）=x3x2+1，f（x）=x（x2），f（3）=1，f（3）=3，所以函数f（x）的图象在x=3处的切

29、线方程为y1=3（x3），即3xy8=0；（2）当a0时，x，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，0）0（0，a+1）a+1（a+1，+）f（x）+00+f（x）递增极大值递减极小值递增f（x）的极大值f（0）=a0，f（x）的极小值f（a+1）=a（a+1）3= a3+3（a）2+0，又f（2）=a0，f（x）=x2x（a+1）+a，f（a+1）=a0所以函数f（x）在区间（2，0），（0，a+1），（a+1，（a+1）内各有一个零点，故函数f（x）共有三个零点【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用基本不等式求函数的最值，会利用导函数的正负研究函数的单调性并

30、根据函数的增减性求出函数的极值，根据极值的正负判断函数零点的个数，是一道中档题请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，过点作倾斜角为的直线l与曲线C：x2+y2=1相交于不同的两点M，N（1）写出直线l的参数方程；（2）求的取值范围【分析】（1）由直线经过的定点和直线的倾斜角求得直线的参数方程即可；（2）联立直线的参数方程与圆的方程，结合参数的几何意义即可求得最终结果【解答】解：（1）（t为参数）（2）（t为参数）代入x2+y2=1，得， 【点评】本题考查直线的参数方程，参数方程几何意义的应用等，重

31、点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题选修4-5：不等式选讲23已知a+b=1，对a，b（0，+），+|2x1|x+1|恒成立（1）求+的最小值；（2）求x的取值范围【分析】（1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出（2）因为对a，b（0，+），使恒成立，可得|2x1|x+1|9，分类讨论解出即可得出【解答】解：（1）a0，b0且a+b=1，当且仅当，即，时，取最小值9（2）因为对a，b（0，+），使恒成立，所以|2x1|x+1|9，x1时，化为：（2x1）+（x+1）9，解得1x7时，化为：（2x1）（x+1）9，解得x1x时，化为：（2x1）（x+1）9，解得11xx的取值范围为：7x11【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22页