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1、ai1Aj1ai2Aj2L ain AjnA,j,0,j.ABa2n 1an1范德蒙德行列式:(1)mn A Banan1ana2nn(n 1)厂ana2nK an1X12 XiMn 1 x1X2XnxjMn 1 xn代数余子式和余子式的关系:(1)iAj(1)i jMij分块对角阵相乘：AA1,BB11B22ARABA22B22A：A2分块矩阵的转置矩阵:ATBTCTDTTAjAA1A21A22MAn1An2MAj为A中各个元素的代数余子式A1nA2n*AAAE,An1分块对角阵的伴随矩阵:BA*ABaia2a31a；1a1 A O r(A) 1; A Or(A) 0； 0 r(Am n)
2、& min( m, n)若A n,& s,若r(AB) 0r(A) r(B) nB的列向量全部是Ax e勺解矩阵转置的性质：(AT)TA(AB)T BTATIATI IA(A1)T(AT) 1(AT)(A)T矩阵可逆的性质：(A1) 1 A_1_ 11(AB) B AA1IA1(A1)k(Ak) 1 Ak伴随矩阵的性质：(A)|A|n2A(AB) B AAllAn1(A1)(A) 1pA(Ak) (A )kn若 r(A)nr(A )1若r(A)n10若 r(A)n1|AB 网BAk|IAkAA A A A E (无条件恒成立)11a11a?11百a2a3矩阵的秩的性质: r(AB) min r
3、(A),r(B)若P、Q 可逆，则 r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ);即：可逆矩阵不影响矩阵的秩若 r(Am n) nAB O B OAB AC B CAx只有零解r(AB) r(B)A在矩阵乘法中有左消去律若 r(Bns) nr(AB) r(B)B在矩阵乘法中有右消去律若r(A) rA与唯一的ErO等价，称Er为矩阵刖勺等价标准型.r(Ar(A) r(B),r(A) r(B)B)wr(A) r(B), max r(A),r(B) r(A,B) r(A) r(B)标准正交基n个n维线性无关的向量,两两正交，每个向量长度为1.与正交| (,)0.记为：Tn向量ai,a2,L,an的
4、长度 | |(/(,)a2Ja2a2 La2 i 1|是单位向量| | | (!(1 1.即长度为1的向量.内积的性质： 正定性 对称性 线性性nA 1 2L ni tr A, tr A称为矩阵A的固1特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A的特征方程 A E 0,求出特征值i.(2) 根据(A iE)x 0得到A对应于特征值i的特征向量.设(AiE)x 0的基础解系为1, 2,L n其中ri r(A iE).则A对应于特征值i的全部特征向量为k1 1 k2 2 Lkn ri n ri ,其中k1,k2,L ,kn G为任意不全为零的数.3. A与B相似1 .P AP B ( P为可逆矩阵)A
5、与B正交相彳叼 P 1AP B(P为正交矩阵)A可以相似对角化A与对角阵相似.(称是A的相似标准形)7.矩阵对角化的判定方法n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量这时，P为A的特征向量拼成的矩阵，P 1AP为对角阵，主对角线上的元素为 A的特征值.设i为对应于建勺线性无关的特征向量，则有：1P 1AP2.OnA可相似对角化：当i 0为A的重的特征值时,A可相似对角化i的重数 n r(A) Ax基础解系的个数若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化.n r（ iE A） k-其中ki为i的重数 A恰有n个线性无关的特征向量正交矩阵 AAT E正交阵的
6、行列式等于 两个正交阵之积仍是正交阵; A的行（列）向量都是单位正交向量组求正交矩阵T,把实对称矩阵.4化为对荒阵的方法;1解特征方程|一4万| = 0,求出对称阵A的全部不同的特征值4,42 .对每个特征值儿，求出对应的特征向量，即求齐次线性方程组（X -4上）* = 0的基础解系3 .将属于每个4的特征向最先正交化，再单位化，这样共可得到个两两正交的单位特征向量 外名,小4,以明，公广 以 为列向量构成正交矩阵T = 有 TlAT = A施密特正交规范化1, 2,3线性无关，正交化 23(2, 力 1(1, 1)(3,1 )(3,2)，、1，、(1,1)(2 ,2 )单位化:11.二次型f
7、(Xi,X2,L ,Xn)a11a)2LainX1a21a22La2nX2LLLLLan1an2LannXnnaijXiXj(Xi,X2,L , Xn)j 1XT Ax其中A为对称矩阵，X (Xi,X2,L , Xn)TA与B合同I CTAC B . (A, B为实对称矩阵，C为可逆矩阵)求C (A I) 一 (B CD)这个变换先进行行变换再进行一致的列变换最后 求得C和CAT正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等 两个矩阵合同的充分条件是：A与B等价 两个矩阵合同的必要条件是:r(A)
8、r(B):正交变换diyi21准形2. f(x，X2,L , Xn) XT Ax经过(合同变换x Cy化为f可逆线性变换正交变换法用正交变换化二次型为标准形(规范形)的具体 步骤I将一次型花成短讲心式/ =一月工求出A-2.求出.”的所右特征值4.汨 .心工求出对应J-特征值的特征向T.一之；4,将特征向木。正交化.单位化用，作IB支变换，=为一则得/的印漉形/ = A J； + + 4磋配方法(1)若二次型含有Xi的平方项，则先把含有 Xi的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形；(2)若二次型中不含有平方项，但是aj 0 ( i
9、 j),则先作可逆线性变换为 yi yjxj yi yj k 1,2,L , n且k i, j , Xk yk3 .定二次型Xi,X2,L , Xn 不全为零，f(Xi,X2,L ,Xn)正定矩阵|正定二次型对应的矩阵.4 . f(X) XT Ax为正定二次型(之一成立)：(1) X , XT Ax 0 ；(2) A的特征值全大于0;(3) f的正惯性指数为n ;(4) a的所有顺序主子式全大于 0 ；(5) A与E合同，即存在可逆矩阵 C使得CTACE(6) 存在可逆矩阵 P ,使得A PTP ；A可逆r(A) nA勺列(行)向量线性无关A勺特征值全不为0Ax 只有零解 x , AxRn,Ax 总有唯一解ATA是正定矩阵A EA p1P2 ps R是初等阵存在n阶矩阵B,使得AB E或AB EA不可逆r(A) nA勺列(行)向量线性相关0是A勺特征值0.0的特征向量Ax 有非零解，其基础解系即为A关于
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