有限元大作业

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1、有限元分析及应用大作业一、 试题一1、 问题描述 图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下集中方案进行比较：1） 分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；2） 分别采用不同数量的三节点常应变单元计算；3） 当选常应变三角形单元时，分别采用不同划分方案计算。图 1.12、 数学建模及有限元建模2.1数学建模 将无限长的三维问题转化为二维问题，取出大坝的一个截面，建立模型如图2.1.1所示，图 2.1.12.2单元选择 分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算，分别采用不同数量的

2、三节点常应变单元计算，当选常应变三角形单元时，分别采用不同划分方案计算。由于是平面应力问题，故Element Behavior K3选择Plane stress。E=210Gpa,u=0.3。2.3网格划分 按照题意，采用不同数量的三节点常应变单元计算，划分具体的方案见第三部分计算结果。2.4载荷及边界条件处理 边界条件：底端将X，Y方向全约束。 载荷：由于水的压强是随着深度越来越大的P=密度*重力加速度*深度，故对大坝的梯 梯形面施加载荷Result = 9800*(10-Y)3、 计算结果及结果分析3.1三节点常应变单元网格划分及结果 图 1.3.1.1 图 1.3.1.2 图 1.3.1

3、.3 图1.3.1.4由图可知：DMX=0.143E-4MSMN=49520PASMX=150581PA3.2六节点常应变单元网格划分及结果 图1.3.2.1 图 1.3.2.2 图 1.3.2.3 图 1.3.2.4由图可知：DMX=0.264E-4MSMN=1893PASMX=306986PA3.3三节点常应变单元网格划分及结果（24个单元） 图 1.3.3.1 图 1.3.3.2 图 1.3.3.3 图 1.3.3.4由图可知：DMX=0.203E-4MSMN=24617PASMX=199290PA3.4三节点常应变单元网格划分及结果（48个单元） 图 1.3.4.1 图 1.3.4.2

4、 图 1.3.4.3 图 1.3.4.4由图可知：DMX=0.228E-4MSMN=16409PASMX=243234PA3.5三节点划分方案A 图 1.3.5.1 图 1.3.5.2 图 1.3.5.3 图 1.3.5.4由图可知：DMX=0.106E-4MSMN=50110PASMX=18194PA3.6三节点划分方案B 图 1.3.6.1 图 1.3.6.2 图 1.3.6.3 图 1.3.6.44、多方案分析比较4.1相同数目三节点和六节点单元比较 方案 数值DMX(mm)SMN（pa）SMX(pa)三节点三角形单元0.143E-449520150581六节点三角形单元0.264E-4

5、1893306986 表 1.4.1结论：相同的单元划分方案和单元规模，采用不同的阶次的相同形状的单元，分析结果不同。变形和节点位移高阶单元大于低阶单元，节点应变和应力范围高阶单元大于低阶单元。4.2不同数量的三节点常应变单元比较 方案 数值DMX(mm)SMN（pa）SMX(pa)三节点三角形单元（24个单元）0.203E-424617199290三节 点三角形单元（48个单元）0.228E-416409243234 表 1.4.2结论：从表1.4.2可以看出，单元数量多时，DMX,SMX均比单元数量少时要大，而SMN却比单元数量少时要小。说明采用相同的单元类型不同的单元规模分析，单元数多的

6、变形和节点位移大，应变和应力范围大。4.3常应变三角形单元时，采用不同的划分方案A,B 方案 数值DMX(mm)SMN（pa）SMX(pa)方案A0.106E-450110168194方案B0.124E-460897193234 表 1.4.3结论：采用相同的单元类型和单元规模但是网格分配方案不同，分析结果也不同。在几何形状变化较大的局部网格较细处应力应变范围大。二、试题四 1、 问题描述 图示为带方孔（边长为80mm）的悬臂梁，其上受部分均布载荷（P=10Kn/m）作用，试采用一种平面单元，对图示两种结构进行有限元分析，并就方孔的布置（即方位）进行分析比较，如将方孔设计为圆孔，结果有何变化？

7、（板厚为1mm，材料为钢） 图 2.1.1 图2.1.22、 数学建模及有限元建模2.1模型A2.1.1单元选择 采用四节点四边形平面单元PLANE82，由于是平面应力问题，故Element Behavior K3选择Plane strs w/thk。E=210Gpa,u=0.3。然后将宽度设为1mm。2.1.2网格划分方案 从模型中可以看出，方孔位于平面板的中间，根据有限元分析的原理，在形状突变的位置应该将网格划分的更细，为了能够采用映射网格，先通过工作平面对整个板进行切分，切分成各部分均为四边形或三角形（可以含有曲边）的几个部分。 图 2.1.2.1 根据经验，由于中间被挖去了一部分，所以

8、应力最大或者变形最大的位置极有可能在此部分，我们选择控制外周长线上的单元大小，设置Element edge length为0.025m，内圈单元变得更密，并且设置Element edge length为0.005m。采用mapped划分方式mesh，结果如图2.1.2.2所示。2.1.3 载荷及边界条件处理 边界条件：根据实际情况，将大坝的最左侧X,Y方向均进行约束； 载荷：在节点10处施加集中载荷1000N，在右侧施加均布载荷为10N/mm。 图 2.1.2.22.2模型B2.2.1单元选择 采用四节点四边形平面单元PLANE82，由于是平面应力问题，故Element Behavior K3

9、选择Plane strs w/thk。E=210Gpa,u=0.3。然后将宽度设为1mm。2.2.2网格划分方案 从模型中可以看出，方孔位于平面板的中间，根据有限元分析的原理，在形状突变的位置应该将网格划分的更细，为了能够采用映射网格，先通过工作平面对整个板进行切分，切分成各部分均为四边形或三角形（可以含有曲边）的几个部分。 图 2.2.2.1 根据经验，由于中间被挖去了一部分，所以应力最大或者变形最大的位置极有可能在此部分，我们选择控制外周长线上的单元大小，设置Element edge length为0.025m，内圈单元变得更密，并且设置Element edge length为0.005m

10、。采用mapped划分方式mesh，结果如图2.2.2.2所示。 图2.2.2.22.2.3 载荷及边界条件处理 边界条件：根据实际情况，将大坝的最左侧X,Y方向均进行约束； 载荷：在节点10处施加集中载荷1000N，在右侧施加均布载荷为10N/mm。2.3模型C2.3.1单元选择 采用四节点四边形平面单元PLANE82，由于是平面应力问题，故Element Behavior K3选择Plane strs w/thk。E=210Gpa,u=0.3。然后将宽度设为1mm。2.3.2网格划分方案 从模型中可以看出，方孔位于平面板的中间，根据有限元分析的原理，在形状突变的位置应该将网格划分的更细，为

11、了能够采用映射网格，先通过工作平面对整个板进行切分，切分成各部分均为四边形或三角形（可以含有曲边）的几个部分。 图 2.3.2.1 根据经验，由于中间被挖去了一部分，所以应力最大或者变形最大的位置极有可能在此部分，我们选择控制外周长线上的单元大小，设置Element edge length为0.025m，内圈单元变得更密，并且设置Element edge length为0.005m。采用mapped划分方式mesh，结果如图2.3.2.2所示。 图2.3.2.22.3.3 载荷及边界条件处理 边界条件：根据实际情况，将大坝的最左侧X,Y方向均进行约束； 载荷：在节点10处施加集中载荷1000N

12、，在右侧施加均布载荷为10N/mm。3、 计算结果及结果分析3.1计算结果变形图，位移图，应力图（对应于2.1） 图2.3.1.1 图2.3.1.2 图2.3.1.3 图2.3.1.4由图可知：最大位移为0.668E-6mm最小应力为0.056107MPa最大应力为183.047MPa3.2计算结果变形图，位移图，应力图（对应于2.2） 图2.3.2.1 图2.3.2.2 图2.3.2.3 图2.3.2.4 由图可知：最大位移为0.664E-6mm最小应力为0.07035MPa最大应力为145.537MPa3.3计算结果变形图，位移图，应力图（对应于2.3） 图2.3.3.1 图2.3.3.2

13、 图2.3.3.3 图2.3.3.4由图可知：最大位移为0.672E-6mm最小应力为0.67767MPa最大应力为257.653MPa4、 多方案分析比较将上一部分得出的结果绘制成表格2.4.1 方案 数值DMX(mm)SMN（Mpa）SMX(Mpa)A、方孔450.669E-60.056107183.047B、圆孔0.664E-60.07035145.537C、方孔0.672E-60.67767257.653 表2.4.1从上图和表3.4.1可以得出如下结论：1、 从方案A,B,C的位移图和应力图来看，三种方案的最大变形均出现在最右侧，这于我们的预期一致。而最大的应力则都在最左端靠近上方处

14、，所以在最大变形和最大应力出现的位置来看，三种方案基本上是一致的。2、 通过表2.4.1中，DMX可知，最大变形方案CAB； 由SMX可知，最大应力CAB； 所以综合最大变形和最大应力可知，圆孔形的方案最好。而在方孔方案中，方孔45角布置比方孔水平布置要好。 很明显，对于圆孔型的方案，由于形状的变化比较的平滑，所以应力集中就会比较小，力传递的路线也会比较好，所以应力较小。 对于两个方孔不同的布置方案，方孔偏执45角的孔与受力的方向所夹的角度小于方孔水平布置的角度，所以其最大应力要小。三、试题91、 问题描述 图示为钢涵洞，确定最大应力、最大位移及位置。E=210Gpa,u=0.3。 图 3.1

15、.1 假如涵洞宽为1M，按空间问题进行计算，并和上述结果进行比较。同时，若考虑桥墩高由2M增加到3.5M，涵洞半径增加为无穷（即圆弧为直线），计算最大应力，指出合理的桥洞形状曲线。2、 数学建模及有限元建模2.1涵洞作为平面问题分析2.1.1单元选择 采用四节点四边形平面单元PLANE42，由于是平面应力问题，故Element Behavior K3选择Plane stress。E=210Gpa,u=0.3。2.1.2网格划分方案 从模型中可以看出，涵洞的高度为5M，长度为9M，根据有限元分析的原理，在形状突变的位置应该将网格划分的更细，于是我们选择SIZE Element edge leng

16、th的划分方式，精度设为0.1，采用Quad+Mapped的Mesh方式，得到的划分结果如果3.2.1.2所示。 图 3.2.1.22.1.3 载荷及边界条件处理 边界条件：根据实际情况，将大坝的两底边X,Y方向均进行约束； 载荷：在大坝的顶部施加70N/M的均布载荷。2.2涵洞作为空间问题分析（涵洞宽度为1M）2.2.1单元选择 采用八节点六面体单元SOLID45，E=210Gpa,u=0.3。2.2.2网格划分方案 从模型中可以看出，涵洞的高度为5M，长度为9M，Z根据有限元分析的原理，在形状突变的位置应该将网格划分的更细，在创建几何模型时，将两个桥墩创建成独立的形体，对这两部分进行映射网

17、格划分，于是我们选择SIZE Element edge length的划分方式，精度设为0.5，采用Hex/Wedge+Mapped的Mesh方式，涵洞的其余部分尤其是拱洞与桥墩交界处应力比较集中，故对其进行细化，于是我们选择SIZE Element edge length的划分方式，精度设为0.2，采用Hex/Wedge+Sweep的Mesh方式，得到的网格划分结果如果3.2.2.2所示。2.2.3 载荷及边界条件处理 边界条件：根据实际情况，将大坝的两底边X,Y方向均进行约束； 载荷：在大坝的顶部施加70N/M的均布载荷。 图 3.2.2.22.3涵洞作为空间问题分析（桥墩增加到3.5M）

18、2.2.1单元选择 采用八节点六面体单元SOLID45，E=210Gpa,u=0.3。2.2.2网格划分方案 从模型中可以看出，涵洞的高度为5M，长度为9M，Z根据有限元分析的原理，在形状突变的位置应该将网格划分的更细，在创建几何模型时，将两个桥墩创建成独立的形体，对这两部分进行映射网格划分，于是我们选择SIZE Element edge length的划分方式，精度设为0.5，采用Hex/Wedge+Mapped的Mesh方式，涵洞的其余部分尤其是拱洞与桥墩交界处应力比较集中，故对其进行细化，于是我们选择SIZE Element edge length的划分方式，精度设为0.2，采用Hex/

19、Wedge+Sweep的Mesh方式，得到的网格划分结果如果3.2.3.2所示。2.2.3 载荷及边界条件处理 边界条件：根据实际情况，将大坝的两底边X,Y方向均进行约束； 载荷：在大坝的顶部施加70N/M的均布载荷。 图3.2.3.23、 计算结果及结果分析3.1计算结果变形图，位移图，应力图（对应于2.1） 图3.1.1 图3.1.2 图3.1.3 图3.1.4由图可知：最大位移为0.122*e-7M最小应力为7.326pa最大应力为859.802pa3.2计算结果变形图，位移图，应力图（对应于2.2） 图3.2.1 图3.2.2 图3.2.3 图3.2.4 图3.2.5 图3.2.6由图

20、可知：最大位移为0.116*e-7M最小应力为6.849pa最大应力为775.946pa3.3计算结果变形图，位移图，应力图（对应于2.3） 图3.3.1 图3.3.2 图3.3.3 图3.3.4 图3.3.5 图3.3.6 由图可知：最大位移为0.213*e-7M最小应力为50.185pa最大应力为827.445pa4、多方案分析比较 将上一部分得出的结果绘制成表格3.4.1 方案 数值DMX(M)SMN（pa）SMX(pa)A、平面0.122*e-77.326859.802B、空间（弧形）0.116*e-76.849775.946C、空间（直角）0.213*e-750.185827.445

21、表 3.4.1从上图和表3.4.1可以得出如下结论：1、 根据有限元模型A，由图3.1.2可知，涵洞的最大位移为0.122*e-7m，发生在涵洞顶梁中点及其附近位置。由图3.1.3可知，涵洞的最大应力为859.802pa，发生在涵洞顶与桥墩的交点处，因为此处为桥墩的变形最大处，故所得的结果与事实相符。2、 有限元模型B中涵洞结构的最大应力为775.946pa，最小应力为6.849pa，最大位移为0.116*e-7m，而有限元模型C中涵洞结构的最大应力为827.445pa，最小应力为50.185pa，最大位移为0.213*e-7m。 显然，模型B的各项指标均优于模型C，故模型B所表示的圆弧形桥洞

22、较为合理。 又因为模型B洞顶半径小于模型C的洞顶半径，故可以推出结论：涵洞的洞顶半径越小，所受到的最大应力越小。3、 由以上的分析可知，应力的最大值总发生在桥洞洞顶与桥墩的交界处，由此可得，在夹角形状变化较大处的应力一般都较为集中。 为了使得最大的应力减小，可以将涵洞的桥洞形状改为与桥墩两个内侧相切的弧面，使得交界处的形状变化能够尽量减小，从而减小该模型的最大应力。4、 观察以上方案应力云图可知，涵洞的左右两部分都是应力最小的部分，可知这两部分不是结构受力的关键区域，可以考虑减去不必要的部分以节省建筑材料，例如在蓝色区域才去挖孔的方式，既可以使得涵洞的形状好看，又可以减小结构的自重，还可以节省材料，使得结构的各部分受力均匀。 为此，我们可以从蓝色的区域开始着手，然后将建立的待检验的有限元模型进行分析，直到得到较为合理的结构模型时为止。24