费马点 的两证明方法

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1、费马点的两证明方法费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶 点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶 点的连线两两夹角为120度的点。1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。但为了严谨，还是说一下2、当有一个内角大于等于120度时候对三角形内任一点P延长 BA 至 C使得 AC=AC，做ZC,AP,=ZCAP，并且使得 AP=AP, PC=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则 APCAAPC.NBACN120AZPAP=180 -ZBAP-ZCAP

2、=180-ZBAP-ZCAP=180-ZBACPP. PA+PB+PCPP+PB+PCBC=AB+AC所以A是费马点3、当所有内角都小于120时D做出 ABC内一点P,使得ZAPC=ZBPC=ZCPA=120,分别作PA,PB,PC的垂线， 交于D,E,F三点，如图，再作任一异于P的点P，连结PA,PB,PC，过P作 PH垂直EF于H易知ZD=ZE=ZF=60，即 DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S则有 2S=d(PA+PB+PC)PANPH所以 2SEPFWPA*d同理有2SDPFPB*d2SEPDPA+PC+PC，与假设矛盾，所以圆与椭圆必相切（不可能没有 公共点吧，因为都过P）做他们的公切线，并作直线BP,显然BP与公切线垂直 由椭圆的几何性质易知，BP平分角 APC,所以ZAPB=ZCPB 同理有ZAPC=ZCPB所以 ZAPC=ZAPB=ZCPB=120即为费马点