1.4逻辑运算定理

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1、课程数字电子技术基础章节第1章教师陈燕熙审批课题1.4逻辑运算定理课时授课日期授课班级教学目的与要求1 掌握逻辑代数的基本定理、公式、2 熟练掌握逻辑代数的化简教学重点逻辑代数的公式、定理、化简教学难点逻辑代数的化简授课类型专业理论课教学方法班级授课教 具多媒体解决重难点的措施从基本公式入手，掌握好了基本公式和定理，化简就不成问题。并以大量的习题加以练习。导入过程设计根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图。但是直接根据某种逻辑要求而归纳出来的逻辑表达式及其对应的逻辑图，往往并不是最简的形式，这就需要对逻辑表达式进行化简。教学过程一、教学内容：1.4逻辑运算定理1.4.1逻辑函数相等有两个逻辑函数

2、F和G，如果对于F和G的每一种取值组合，对应的输出都相同，我们说这两个逻辑函数相等，记作F=G。由逻辑函数相等的概念，可以得到下面的推论：如果F=G,则F和G对应的真值表完全相同；反过来，如果两个逻辑函数的真值表完全相同，则F=G.例3.3.1 证明 A+AB=A+B解：根据题意，列出真值表如表3.3.1所示。表3.3.1 例3.3.1的真值表ABA+ABA+B0000011110111111由表3.3.1可以看出，对于A+AB和A+B两个逻辑函数的每一种取值组合，它们的输出完全相同。所以，A+AB=A+B逻辑函数相等的概念是逻辑函数运算、化简和变换的基础。我们介绍的定理、公式都可以利用逻辑函

3、数相等的概念加以证明。1.4.2逻辑运算公理常用的逻辑运算公理如表3.3.2所示表3.3.2 常用逻辑运算公理原等式对偶式00=01+1=101=10=01+0=0+1=111=10+0=0若A0，则A=1若A1,则A=01.4.3逻辑运算定理常用的逻辑运算定理如表3.3.3所示 表3.3.3 常用逻辑运算定理逻辑运算定理原等式对偶式交换律AB=BAA+B=B+A结合律A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)自等律A1=AA+0=A0-1律A0=0A+1=1互补律AA=0A+A=1重叠律AA=AA+A=A吸收律A+AB=A

4、A(A+B)=A非非律反演律（摩根定律）1.4.4常用公式逻辑运算的公式有许多，在表3.3.4中列出了五个常用公式，实际上，只要经过证明的等式都可以在以后的变换和化简时使用。 表3.3.4 常用公式项目常用公式推论与证明1无2A+AB=AA+AB+ABC+=A3A+AB=A+AB+AB=A+B4AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)CB =AB+AC+ABC+ABC =AB+AC 5AB+AC=(A+C)(A+B)(A+C)(A+B)=AB+AC+BC+AA=AB+AC注：公式1、2为吸收律和分配律的应用，公式3为多余因子定律，公式4为多余项定律，公式5为与或和或与转换定律。1.4.5逻辑

5、代数的三个基本规则1.代入规则 若两个逻辑函数相等，即F=G，且F和G中都存在变量A，如果将所有出现变量A的地方都用一个逻辑函数L代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。因为任何一个逻辑函数，它和一个逻辑变量一样，只有两种可能的取值(0和1)，所以代入规则是正确的。 有了代入规则，就可以将基本等式（定理、常用公式）中的变量用某一逻辑函数来代替，从而扩大了它们的应用范围。 例3.3.2已知等式A(B+E)=AB+AE,将所有出现E的地方代之以(C+D)，试证明等式成立。 解: 原式左边=AB+(C+D)=AB+A(C+D)=AB+AC+AD 原式右边=AB+A(C+D)=AB+AC+AD 所

6、以等式AB+(C+D)=AB+A(C+D)成立。注意：在使用代入规则时，必须将所有出现被代替变量的地方都用同一函数代替，否则不正确。2.反演规则 设L是一个逻辑函数表达式，如果将L中所有的“”(注意，在逻辑表达式中，不致混淆的地方,“”常被忽略)换为“”，所有的“”换为“”；所有的常量0换为常量1，所有的常量1换为常量0；所有的原变量换为反变量，所有的反变量换为原变量，这样将得到一个新的逻辑函数，这个新的逻辑函数就是原函数L的反函数，或称为补函数，记作。这个规则称为反演规则。反演规则又称为德摩根定理，或称为互补规则。运用反演规则可以方便地求出反函数。例3.3.3已知，求反函数。 解：按照反演规

7、则，得例3.3.4已知，求反函数。解：按照上述法则得。注意： (1)使用反演规则时，必须保证运算优先顺序不变，即如果在原函数表达式中，AB之间先运算，再和其他变量进行运算， 那么反函数的表达式中，必须保证AB之间先运算。(2)对于反变量以外的非号应保留不变。3.对偶规则 设L是一个逻辑表达式，如果将L中的“”、“+”互换；所有的“0”、“1”互换，那么就得到一个新的逻辑函数式，称为L的对偶式，记作L。这个规则称为对偶规则。例如L=(A+B)(A+C)，则 。注意：L的对偶式L和L的反演式是不同的，在求L时不能将原变量和反变量互换。变换时仍要保持原式中运算先后顺序。 推论：若两个逻辑函数相等，即

8、F=G，则它们的对偶式也相等，即F=G；反之，若F=G，则必有F=G。 利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律成立，则它的对偶式A(A+B)=AB也成立。1.5逻辑函数的代数法变换与化简逻辑函数代数法变换和化简的依据就是逻辑运算的公理、定理和经过证明的常用公式。1.5.1逻辑函数的变换例3.4.1函数对应的逻辑图如图3.4.1所示。利用逻辑代数的基本定律对上述表达式进行变换。解： 结果表明，图3.4.1所示电路也是一个同或门。图3.4.1 同或门逻辑电路之一例3.4.2求同或函数的反函数。解： 上式表明同或函数的反函数为异或函数，它表明两个输入变量取值不同（一个为0，另一

9、个为1）时.输出函数值为1。上面的推导更明确地告诉我们，异或门和同或门互为非函数。所以在异或门电路的输出端再加一级反相器，也能得到同或门，如图3.4.2所示。 图3.4.2 同或门逻辑电路之二对应同或函数惟一的真值表，已列举出三种不同形式的逻辑表达式和三个逻辑电路，事实上还可以列举许多。由此可以得出结论：一个特定的逻辑问题，对应的真值表是唯一的，但实现它的电路多种多样。我们可以通过函数表达式的变换，使用不同的器件实现相同的逻辑功能。 1.5.2逻辑函数的化简根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图。但是直接根据某种逻辑要求而归纳出来的逻辑表达式及其对应的逻辑图，往往并不是最简的形式，这就需要对逻辑

10、表达式进行化简。一个逻辑函数可以有多种不同的逻辑表达式，如与-或表达式、或-与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式以及与-或-非表达式等。例如： （与或式）（或与式）（与非与非式）（或非或非式）（与或非式）以上五个式子是同一函数不同形式的最简表达式，从上至下，依次是与或、或与、与非与非、或非-或非、与-或-非。以下将着重讨论与或表达式的化简，因为与或表达式易于从真值表直接写出，且只需运用一次摩根定律就可以从最简与或表达式变换为与非-与非表达式，从而可以用与非门电路来实现。 最简与或表达式有以下两个特点：(1)与项（即乘积项）的个数最少；(2)每个乘积项中变量的个数最少。代数法化简逻辑函数

11、的依据是逻辑代数的基本定律和常用公式，常用的方法有并项法、吸收法、消去法和配项法。(1)并项法 利用公式AA1，将两项合并成一项，并消去一个变量。如： (2)吸收法 利用公式AABA和AB+AC+BC=AB+AC，消去多余的项。如： (3)消去法 利用公式A+AB=A+B ，消去多余的因子，如： (4)配项法 先利用公式1=AA和AB+AC=AB+AC+BC，增加必要的乘积项，再用并项法或吸收法使项数减少。如:使用配项的方法要有一定的经验，否则越配越繁。用代数法对逻辑表达式进行化简，不是孤立使用一种方法就能完成，而要综合使用多种方法。例3.4.3化简 解： 二、课堂练习1、化简。 三、教学小结：1.数字电路的研究方法是把输入变量所有可能的状态组合一一列出，并将对应的输出变量的状态填入，形成真值表。2.逻辑代数是分析和设计逻辑电路的工具。一个逻辑问题可用逻辑函数来描述。逻辑函数可用真值表、逻辑表达式、卡诺图和逻辑图表达，这4种表达方式各具特点，可根据需要选用。四、练习题1.5 1.6 1.7