专题三：数列D-教师版-苏深强

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1、一、分段数列前后分段：和分段讨论，临界点，下标，首项，项或项数分段奇偶分段：递推，下标，首项，和分组，奇偶项联系，项或项数分奇偶（一）通项公式前后分段例1（上海高考题）数列中， 则数列的极限值（ ） 等于 等于 等于或 不存在分析：此数列的前1000项与后面的项的通项公式是不一样的，但数列的极限与数列的前有限项是没有关系的，因此，只需考虑当n1001时数列的通项公式来求极限.解：，选B.例2（上海高考题）.如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列” 例如，数列与数列都是“对称数列”（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项； （2）设是项的“对称数

2、列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和； （3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列求前项的和分析：此题首先大家通过阅读要“读懂”什么叫“对称数列”.通过分析大家可以知道“对称数列”它的前若干项与后若干项通项公式是不一样的，它们之间存在着一种“对称”关系，而解此题的关键就在于理解并应用这种“对称”关系.尤其是第三问，由于数列的前后若干项的通项公式不同导致它们的前项和也只能以“分段”的形式给出.解：（1）由题意，数列的公差为，数列为 （2） 67108861 （3） 由题意得 是首项为，公差为的等差数列 当时， 当时， 故 （二）通项公式奇偶分段例3.已知数列的通项，求

3、其前项和分析：很显然，此数列的奇数列项与偶数项的通项公式不一样，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，因此我们在求其前项和时出必须对奇数项与偶数项分别求和.但要注意奇数项并不是以1为首项6为公差的等差数列，而是以1为首项12为公差的等差数列；偶数列项也不是以为首项公比为2的等比数列，而是以为首项公比为4的等比数列.解：当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，所以，例4在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（1）证明成等比数列；（2）求数列的通项公式； 分析：本题最核心的条件当然是成等差数列，且公差为2k.对于题（1），可利用这一核心条件写出数列的前

4、6项，即知成等比数列，而对于题(2),则可利用这一核心条件，先得到所有奇数项中的后一项与前一项的关系，从而通过累加的方法等到奇数项的通项公式，然后再得到偶数项的通项公式.解：（1）证明：由题设可知，.从而，所以，成等比数列.（2）解：由题设可得所以 .由，得 ，从而.所以数列的通项公式为.（三）递推公式前后分段例7（2008上海）已知以为首项的数列满足：（1）当时，求数列的通项公式；（2）当，时，试用表示数列前100项的和. 分析：此数列后一项与前一项的关系依赖于前一项的大小。对于这样的数列，我们对其“特性”不明，最好先具体写出它的前几项，以观察研究它的特点，然后再进行求解.解：（1）由题意，

5、可知此数列呈周期性变化，于是可得：(2) 当时，（四）递推公式奇偶分段例5设数列an的首项a1=a，且,记，nl，2，3，（1）求a2，a3；（2）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（3）求分析：此数列当项数为奇数或是偶数时，它的后一项与前一项的递推关系是不一样的.解决此类问题必须先弄清楚项数是奇数或偶数所对应的递推关系是什么，千万不能弄反了，然后再利用递推关系进行求解.必要的时候可先列出若干项，猜想出结论然后再进行论证.解：（1）a2a1+=a+，a3=a2=；（2） a4=a3+=a+, a5=a4=a+,所以b1=a1=a, b2=a3=(a), b3=a5=(a),猜想：bn

6、是公比为的等比数列 论证如下：因为bn+1a2n+1=a2n=(a2n1)=bn, (nN*) 所以bn是首项为a, 公比为的等比数列 （3）.例6已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为_ 分析：此数列分段的原因在后一项依赖前一项是奇数还是偶数来确定，在这种情况下，我们只能从讨论数列的项是奇数还是偶数来加以考虑.解：若为奇数，则,则不能得到为正整数，矛盾，故必为偶数，可得=2.若为奇数，则矛盾，故必为偶数，可得=4. 继续讨论如下： 故答案为4，5，32（五）递推公式和通项公式的奇偶分段例8.将边长分别为1、2、3、4、n、n+1、（）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形.由

7、小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、第n个阴影部分图形.设前n个阴影部分图形的面积的平均数为.记数列满足,.（1）求的表达式；（2）写出的值，并求数列的通项公式.分析：题（1）是容易得到解答的，对于题（2）中的数列，其第一段是给出项与项数之间存在的关系，另一段是给出前一项与后一项之间的关系，这时可先处理第一段的通项公式，然后再研究另一段与前面这段是否有联系，根据它们的联系进行求解.解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为，第2个阴影部分图形的面积为，第n个阴影部分图形的面积为.故 （2）, , 当n为偶数时， 当n为大于1的奇数时， 故.二、新定义的数列（一）考查对数列基本

8、特征的认识和理解数学是由概念、命题所组成的逻辑系统，概念是基础，数学当中每一个术语、符号和习惯用语都有着具体的内涵.这些特点反映在考试中就要求考生在解题的时候，要透彻理解概念的含义，弄清楚不同概念之间的区别和联系.例1在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列”中，数列满足，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 分析: 此题一开始就提出了一个教材和大纲里没有见过的概念:绝对差数列.先给出了“绝对差数列”的定义，要求考生在理解这个定义的基

9、础上，举出一个前5项不为零的“绝对差数列”.意思非常明确，就考你是不是理解了这个概念的本质.然后在这个基础上，又接着引出一个相关的数列，来讨论他们无限变化的趋势，最后再完成一个证明题. 当然,后面的两个问题,要求是比较高的,但就我们的复习教学来说,这道题的题干是不是给我们一个启示:概念复习在高三仍然是非常重要的. 例2 在数列中，对任意，都有（为常数），则称为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断：不可能为0；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；通项公式为的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为 （ D ） （A） （B） （C） （D） 我们要能通过复习，让学生体会到：学

10、数学、思考数学问题，概念是非常重要的（二）考查研究数列的方法例3定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_，这个数列的前n项和的计算公式为_ . 此题的分析与拓展：（帮助学生体会研究数列问题的思考方法）怎样理解“等和数列”呢？能否举几个具体的实例呢？ 如：1，4，1，4，1，4， 公和是53，5，3，5，3，5， 公和是7 如何计算？生：2，3，2，3，2，3， 特征是：奇数项为2，偶数项为3，问：如何求这个数列的通项呢？生： ， 由得：.（怎么理解这个式子呢？）

11、为常数列，也为常数列， 从以上分析，使学生看到：“等和数列”的本质特征就是奇数项、偶数项为分别是常数列. 在探索：设这个数列的前n项和为，如何求呢？当为奇数时：当为偶数时：求通项的其它方法： 是公比为-1的等比数列.求的其它方法： 方法1：依据当n为奇数时：当n为偶数时： 方法2：依据 当n为奇数时：当n为偶数时：方法3：采用“倒序相加”的方法. 当n为奇数时： 当n为偶数时： 拓展问题1数列，若每一项与它后面的项的和为一个等差数列，如何求其通项及其前项和呢？例1：设数列，求：及其前项和.（1），由得：.是以为首项，3为公差的等差数列.是以为首项，3为公差的等差数列.（）当为奇数时：是数列的第

12、项，.（）当为偶数时：由（）、（）知：如何求这个数列的呢？（）当为奇数时：（）当为偶数时：由（）、（）知： 拓展问题2 数列，若每一项与它后面的项的和为一个等比数列，如何求其通项及其前项和呢？例2：设数列，求：及其前项和.师生：（1），由得：（）当为奇数时：（）当为偶数时：由（）、（）知：（2）求和（）当为奇数时：（）当为偶数时：由（）、（）知：拓展问题3数列，若每一项与它后面的项的和为一个等差数列与一个等比差数列对应项之和构成的数列时，如何求其通项及其前项和呢？例3：设数列，求：及其前项和.分析:（1），由得：（）当为奇数时：（）当为偶数时：由（）、（）知： （2）求和拓展问题4数列，若每一

13、项与它后面的项之积（或商、差）构成一个数列时，如何求其通项及其前项和呢？例4数列中，若求及其前项和.解：-由得： 所以，n为奇数时，将个式子相乘，：n为偶数时， 求：n为奇数时，n为奇数时，n为偶数时，对于以上“等和数列”及其拓展的数列的讨论，可以得到几点启示：(1)重视对数列基本特征的认识和理解，这是求数列通项an和前n项和Sn的前提；(2)将数列的递推公式合理地变形转化为已知的特殊数列（如常数列、等差数列、等比数列等）问题，运用恰当方法（如迭加法、迭乘法等）就可以求其通项及前项和.三、两个简单数列的综合考查（一）公共项（1）求两个数列的公共项，求两个等差数列的公共项常用整除讨论的方法；（2

14、）求等差数列与等比数列的公共项常用到二项式定理例1已知两个等差数列：5，8，11，； 3，7，11，； 它们的项数均为100项，试问他们有多少个彼此具有相同数值的项。解析：方法一、设两数列共同项组成的新数列为，易知，又数列5，8，11，的通项公式为，公差为3，而数列3，7，11，的通项公式为，公差为4，所以数列仍为等差数列，且公差为d=12，故数列的通项公式为，又得，所以已知两数列有25个共同的项。方法二、整除性 设，n+1只能取4，8，12，100，共25个例2.设An为数列an的前n项和，An= (an1)，数列bn的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列an的通项公式；(2)把数列an与

15、bn的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列dn，证明：数列dn的通项公式为dn=32n+1;(3)设数列dn的第n项是数列bn中的第r项，Br为数列bn的前r项的和；Dn为数列dn的前n项和，Tn=BrDn，求.分析：利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻an与bn的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.易错分析：待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系，使Tn中既含有n，又含有r，会使所求的极限模糊不清.解：(1)由An=(an1)，可知An+1=(an+11)，an+1an= (an+1an)，即=

16、3，而a1=A1= (a11)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列an的通项公式an=3n.(2)32n+1=332n=3(41)2n=342n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=4n+3，32n+1bn.而数32n=(41)2n=42n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而数列an=a2n+1a2n，dn=32n+1.(3)由32n+1=4r+3，可知r=，Br=，点评：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为41，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)n问中挖掘出n与r的关系，正确表示B

17、r，问题便可迎刃而解.例3在1000，2000内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？解：不妨设，则为与的公共项构成的等差数列 (1000cp2000),即：3n=4m+1 令n=3 , 则m=2 c1=9且有上式可知：d=12 cp=9+12(p-1) ( pN*) 由1000cn2000解得： p取84、85、166共83项。例4已知数列的前项和为，数列满足.（I）分别求和的通项公式；（II）当时，设和的公共项按原顺序组成的数列为，求数列的通项公式以及前项和（二）项相加即两个数列中相应的项相加得到一个新的数列.例1已知等比数列及等差数列，其中，公差d0将这两个数列的对应项相加，得一新数列1

18、，1，2，试求这个新数列的前10项之和解析设的公比为q，由题知解得则，这个新数列的前10项之和为.（三）项相乘 即一个数列的每项乘方或者两个数列对应项相乘，从而得到一个新数列.例2和分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项与第四项的和分别是90和34，令集合，求证 证明：等比数列中，当时，化简得，所以，；等差数列中，即解得所以于是，B9，13，17，4n5设A中任意元素为，则需证是B中的一个元素，设其为，则需证，即，则需证是4的倍数因为 ，所以以上多项式各项都是4的倍数，能被4整除所以集合A中的任意元素都是B中的元素，又，所以.四、一个数列的子数列一、 定义子数列若

19、数列是由数列的一些项按原来的顺序构成的一个新数列，则称数列是数列的子数列。二、 讨论等差数列是否存在等差子数列1、 学生举例：（1）设为常数），则任取一些项组成的数列都是等差子数列。（2）中有子数列等。（3）中有子数列等小结：只要首项不同，公差不同就可以确定不同的等差子数列。2、 从具体的例子中小结出如何寻找等差子数列，以及子数列的公差和原数列的公差之间的关系，从而得出结论：（1） 等差数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等差数列。（2） 新的等差数列的公差等于原等差数列的公差的k倍。3证明结论：设是等差数列，d是公差，若是子数列的相邻两项，当为常数时，也是常数。三、 讨论等比数列是否存

20、在等比子数列1、 学生举例：（1）设为常数），则任取一些项组成的数列都是等比子数列。（2）中有子数列和等。（3）中有子数列等。小结：只要首项不同，公比不同就可以确定不同的等比子数列。2从具体的例子中小结出如何寻找等比子数列，以及子数列的公比和原数列的公比之间的关系，从而得出结论：（1） 等比数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等比数列。（2） 新的等比数列的公比等于k个原等比数列的公比的积。3证明结论：设是等比数列，q是公比，若是子数列的相邻两项，当为常数时，也是常数。四、 讨论等差数列是否存在等比子数列1。学生举例：=n中有子数列=和=等。（自然数列是学生最容易想到的，除了自然数列之外

21、，其他的数列不容易想到）2给出一个例子一起研究。例1 已知：等差数列，且。问：等差数列中是否存在等比子数列？（1） 写出的一些项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，学生尝试后找出结果有：2，8，32，128，512，2,14,98,686,4802, ，;2,20,200,2000, ，5,20,80,320, ，;2,26,338, ，(2)猜想：；（3）提问：这些猜想是否正确呢？我们可以从两个方面进行思考：通过演绎推理证明猜想为真，或者找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想。（4） 学生分组证明猜想分析：的项被3除余2，从而得出利用二项式定理证明的方法。证1

22、：（用二项式定理），即除以3余2，是的子数列。分析 ：由前面几项符合推广到无穷项都符合，从而得出利用数学归纳法证明的方法。证2：（数学归纳法） 当n=1时， 假设当n=k时，那么当n=k+1时，.由、得是的子数列。（5） 同理证明 ，（6） 引申：让学生找规律以中任一项为首项，以为公比的等比数列均是该等差数列的等比子数列（7） 小结：归纳法是从特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要进一步证明的。从归纳猜想到论证的思维方法是我们研究数学问题常用的方法。（8） 思考：对给定的等差数列可以构造出等比数列，不确定的等差数列中是否存在等比数列？ 例2 已知：数列是首项公差是d的等差数列。数列是等

23、比数列，且。问：是否存在自然数d，使得数列是数列的子数列？如存在，试求出d的一切可能值分析：先取d=1，2，3，4，5，6。发现当d是奇数时，不可能。是奇数，公比为分数，则从第三项开始就不是自然数取d=2，：2，4，6，8，：2，4，8，16，是偶数，d=2时，数列是数列的子数列取d=4，：2，6，10，14，18，：2，6，18，54，d=4时，数列是数列的子数列。同理d=6时，数列也是数列的子数列。由此猜想当时，数列是数列的子数列。可以用二项式定理或数学归纳法证明。证1：（用二项式定理）在中， 在中，=2，。令则= ，可解出即为中的某一项。证2：（数学归纳法）当n=1时，；假设是的第p项，

24、即则=2+即是中的第m（p-1）+p+1项。由、得，数列是数列的子数列。小结：这个问题的解决还没有完成一般情况的讨论。一是首项可以不确定，二是子数列并非要前面两项相同五、 课后思考（1） 例2中，若呢（2） 若不确定呢？（？（3） 等比数列是否存在等差数列？五、数列应用题数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向1某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000

25、年底全县的绿地已占全县总面积的30%从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠（）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？（）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题不难看出，这是一道数列型应用问题因此，我们可以设：全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为，经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为，则我们所要回答的问题就是：（）是否存在自然数，使得80% ？（）求

26、使得60%成立的最小的自然数.为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式由题可知：，所以，当时，两式作差得：又，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列所以， 由上式可知：对于任意，均有即全县绿地面积不可能超过总面积的80%（）令，得，由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从开始验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求验证可知：当时，均有，而当时，由指数函数的单调性可知：当时，均有所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%点评：（）中，也可通过估值的方法来确定

27、的值2. 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，, a25小时

28、，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且，化简可得. 解得.可见a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.3. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?设楼高为n层，总费用为y元，则征地面

29、积为，征地费用为元，楼层建筑费用为445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（n2） 元，从而（元）当且仅当 , n=20（层）时，总费用y最少.故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元.5某人计划年初向银行贷款10万元用于买房他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的比如说

30、：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：法1如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为元设每年还款x元则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为；第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为元于是：105(1+4)10= x(1+4)9+x(14)8x(14)7+x由等比数列求和公式可得

31、：其中所以，法2从另一个角度思考，我们可以分步计算考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱仍然设每年还款x元则第一年还款后，欠银行的余额为：元；如果设第k年还款后，欠银行的余额为元，则不难得出：105(1+4)10x(1+4)9x(14)8x(14)7x另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有由此布列方程，得到同样的结果点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1分清单利、复利（即等差与等比）；2寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化3.一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关6. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上

32、一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?讲解 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，每年新增汽车万辆，则 ，所以，当时，两式相减得：（1）显然，若，则，即，此时（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，此时，（ii）当时，则对于任意正整数，均有，所以，由，得，要使对于任意正整数，均有恒成立，即 对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得,上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，. 本题

33、是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.7现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从A股流入B股100水，经混合后，又从B股流入A股100水并混合问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？讲解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01”但直接建构这样的不等关系较为困难为表达方便，我们分别用来

34、表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量则2，0.2，且（）由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列由（）可得：所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列所以，由题，令0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的因此结论成立.证法2: 当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的又因所以因此结论成立.证法3: 当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的由对上式两边求导得因此结论成立.例37已知函数且任意的、都有 （1

35、）若数列 （2）求的值.解：（1） 而 （2）由题设，有又得上为奇函数. 由得 于是故点 列 问 题（1）点列问题是数列问题与解析几何问题的综合，一个点的横，纵坐标分别是某两个不同数列的项，而这两个数列又由点所在的曲线建立了联系，从而数列的代数特征与曲线的几何性质紧密相关，就可以根据已知条件从数列和曲线两个角度利用所学过的知识进行演绎推理，得到所需要的结果。这类问题在近几年高考中经常出现，就是因为它的综合性较强，可以从数与形的两个角度考查理性思维能力，数学联结能力以及分析问题与解决问题的能力。例如，2002年的京，皖春季卷，2003年的江苏卷，2004年的湖南卷，上海卷，浙江卷，2005年的上

36、海卷，浙江卷都有一道点列问题的解答题。 (2005年浙江卷理20)设点(，0)，和抛物线：，其中，由以下方法得到：，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离，点在抛物线：上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离 ()求及的方程 ()证明是等差数列【分析及解】（）由题意得，设点是上任意一点，则令则由题意得，即又在上，解得,故的方程为()设点是上任意一点，则令则由题意得即又，即下面用数学归纳法证明，当时，等式成立；假设当时，等式成立，即，则当时，由知，又，即时，等式成立由知，等式对成立，故是等差数列 （ 2005年上海卷理22）在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于

37、点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点.（）求向量的坐标；（）当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，.求以曲线C为图象的函数在上的解析式；（）对任意偶数，用表示向量的坐标.解（）设点，A0关于点P1的对称点A1的坐标为A1关于点P2的对称点A 2的坐标为，所以， （）解法一的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.因此，曲线C是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时， 于是当解法二设若当 （）由于，(2004年湖南卷理22)如图，直线与相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作

38、y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，点Pn（n=1，2，）的横坐标构成数列（）证明； （）求数列的通项公式；（）比较的大小. 【分析及解】（）证明：设点Pn的坐标是，由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：由Pn+1在直线l1上，得 所以 即 （）解：由题设知 又由（）知 ，所以数列 是首项为公比为的等比数列.从而 （）解：由得点P的坐标为（1，1）. 所以 （i）当时，1+9=10.而此时 （ii）当时，b0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求Sn的最小值；（）请选定一条

39、除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,Pn存在的充要条件,并说明理由.【分析及解】 （）a1=2=100,由S3=(a1+a3)=255,得a3=2=70. 点P3的坐标可以为(2, ).（）解法一. 原点O到二次曲线C:(ab0)上各点的最小距离为b,最大距离为a. a1=2=a2, d0,且an=2=a2+(n1)db2,d0 Sn= na2 + d在 ,0 上递增, 故Sn的最小值为na2+=. 解法二. 对每个自然数k (2 k n),由 0 yb2, 得d0 d0. 原点O到双曲线C上各点的距离h,+,且= a2, 点P1, P2,P

40、n存在当且仅当22,即d0. 解法二. 若抛物线C:y2=2p x,点P1(0,0), 则对于给定的n, 点P1, P2,Pn存在的充要条件是d0.理由同上 解法三. 若圆C: (xa)2+y2=a2(a0), P1(0,0), 则对于给定的n, 点P1, P2,Pn存在的充要条件是 原点O到圆C上各点的最小距离为0,最大距离为2, 且2=0, d0且2=(n1)d4a2. 即 (2004年浙江卷理,22)如图，OBC的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设为线段BC的中点, 为线段CO的中点, 为线段O的中点,对于每一个正整数n, 为线段PnPn+1的中点,令的坐标为, （

41、）求及; （）证明()若记证明是等比数列. 【分析及解】（）因为，所以，又由题意可知 = 为常数列.()将等式两边除以2，得又（） 又是公比为的等比数列.已知点、顺次为直线上的点，点、顺次为轴上的点，其中，对任意，点，构成以为顶点的等腰三角形（）求数列的通项公式，并证明它是等差数列；（）求证：是常数，并求数列的通项公式；（）上述等腰三角形中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由【分析及解】 （），又，数列是等差数列 （）由题意得， ， ，-得，；，都是等差数列， ， （）当为奇数时，、，；当为偶数时，、，作轴于，则，要使等腰三角形为直角三角形，必须且只须当为奇数时，

42、有，当时，；当时，；当时，方程无解当为偶数时，有，同理可求得 综上所述，上述等腰三角形中可能存在直角三角形，此时的值为或或. 已知点Pn(an, bn) 满足an+1=anbn+1, bn+1=,且P0（）（）求过点P0，P1的直线l的方程。（）判断点Pn(n2)与直线l的位置关系，并证明之。() 试求点当时的极限位置.【分析及解】（）由 得 , 直线l的方程为：x+y-1=0.（），点P2，猜想点Pn(n2)在直线l上.用数学归纳法证明：(1) n=2 , P2l(2) 假设n=k成立 即Pkl 即 ak+bk=1;则当n=k+1时，ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(1+ak) 点Pk+1l。综合(1),(2) 点Pn(n2)在l上。（）由ak+1=akbk+1，bk+1= , ak+bk=1得 为等差数到 d=1首项 即 ,an=0 , bn=1 .点Pn的极限位置为P（0，1