1.3 二项式定理（通用）20

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1、二项式定理（一）教学设计闽清第一中学 刘天飞 一、教学内容解析1.3.1二项式定理是普通高中课程标准实验教科书-数学选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论

2、、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。二项式定理的证明是一个教学难点这是因为

3、证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。二、学情分析【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂

4、课采用让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。三、教学目标设置1.知识技能目标（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。2.过程与方法目标通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及

5、化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳猜想论证的思想方法,发展探究能力。3.情感、态度、价值观目标（1）培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；（2）培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；（3）培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力4.德育渗透的目标（1）培养学生“理论源于实践，用于实践”的观点。（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心。（3）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对

6、称美。四、教学重点、难点重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。五、教学方法新课程标准指出，高中数学课应倡导自主探索，动手实践，合作交流等学习方式，应该力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，培养他们的创新意识。结合本节课的内容，我主要利用多媒体进行辅助教学，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、交流合作，帮助

7、学生构建完善的知识结构和正确的解题思路。六、教学用具：PPT课件，实物展台等。七、教学板书：主要内容呈现在PPT课件或实物展台。八、教学过程教学程序问 题设计意图师生活动创设问题情境引入新课引出问题：如果今天是星期一，14天后的这一天是星期几呢？23天后的这一天呢？师生归纳：比如23=73+2，所以23天后是星期日。算法：用各个数除以7，看余数是多少，再用五加余数来推算师：再过82018天后是星期几，你知道吗？不方便求出82018除以的余数，可以利用8=7+1，得到82018=(7+1)2018=?如果不用计算器的话,此时就需要研究提出问题激发学生探索欲望，并引出课题让学生用计算器计算；应探讨

8、新方法从特殊开始由 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2; (a+b)3=(a+b)2(a+b)=?结果：体会多项式乘法计算过程,加深对因式展开原理的理解。与学生一同计算，得到计算结果，为后面做铺垫。探究一：通过组合思想来分析(a+b)3的展开式 展开后项的形式为：项的系数，考虑，：每个都不取的情况有1种，即 ,则前的系数为：恰有1个取的情况有种，则前的系数为：恰有2个取的情况有 种，则前的系数为：恰有3个取的情况有 种，则前的系数为所以 考察学生对因式展开的各项形式及系数的理解。教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的

9、个数，得到展开式的系数学生在思考探究观察展开可发现规律，老师引导总结为后面做铺垫。幻灯片上通过动画演示取球过程。探究二：观察展开式中的项数、指数变化以及系数变化，你发现了什么？由此猜想（a+b）4 ,(a+b)n的展开式中项数，指数变化及系数变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。回答： 让学生通过特例去观察相同之处与不同之处，以及不同之处的处理方法，从而提出猜想。帮助学生找到求出展开式系数的基本方法巩固已有的思想方法，建立猜想与证明二项式定理的认知基础与理论依据探究二给出，这很好的突破了本节的难点。探究三：对于猜想我们如何进行证明呢？证明：是n个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分

10、步计数原理可知展开式共有项（包括同类项），其中每一项都是的形式，对于每一项，它是由r个选了b，nr个选了a得到的，它出现的次数相当于从n个中取r个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理让学生体会利用组合思想从特殊到一般，对猜想给出严谨的证明过程。并理解如何用“说理”的方式阐述证明过程。师生讨论证明思路，使学生体会新知，发现新知，理解新知，在获得新知的过程中体会数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣思考观察学习新课观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？(1)项：二项展开式共有项；(2)次数：各项的次数都等于n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母

11、b按升幂排列，次数由0递增到n (3)二项式系数：(4)二项展开式的通项：=考察学生的观察力，以及分析问题的能力。学生继续总结这三点，以强化已有的认识，同时老师强调：二项式系数，与二项展开式系数的区别。特殊的情况1.用-b代替b.写出的展开式2.令a=1,b=x. 写出的展开式对二项式定理的简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或是赋表达式。学生自主完成，老师进行检查，通过投影仪将学生的结果进行展示，错误时做出点拨与分析。一、尝试二项式定理的应用类型1：求二项式的展开式例1：求 的展开式.方法一：直接展开；方法二：先化简后展开。学生独立完成，通过投影仪指出学生在书写过程中

12、的不足。学生可能出现的两种解法，重点强调方法二，先通分化简，再运用二项式定理展开，降低计算难度。教师说明:比较复杂的二项式,有时先化简再展开更方便，建议学生用第二中方法。【追问】例题中的第二项，第二项系数，第二项的二项式系数分别是多少？类型2：二项式的系数与项的系数问题例2：已知二项式(1-2x)5 ，求 (1) 展开式中第4项？（2）(1-2x)5的展开式的第4项的系数是 _（3）(1-2x)5的展开式的第4项的二项式系数是 _熟悉二项式定理，以及对二项式系数，展开式系数，以及x的系数问题的理解与记忆。学生自主练习，反馈教学效果，老师巡视做个别辅导。类型3：求二项式展开式中的特定项.例3：求

13、 展开式中x3的系数.让学生熟悉二项通项，培养学生的运算能力设计题目考察学生的学习情况,三个例题设计的比较有梯度，逐渐加大难度，符合学生的认知水平求二项展开式的特定项可通过通项解决，展开式中通项的处理板书示范给学生看先整理系数再整理x的指数。破解疑惑今天是星期一, 再过82018天后是星期几，你知道吗？即除以7余数是1。 故再过82018天后的那一天是星期二。 破解疑惑让学生感受计算的简单与快捷，增强对数学学习的热情，学生提出解决思路，老师点评分析，怎么才能被7整除好计算呢?联想二项式定理的表达形式，问题得到解决，留为课下计算。探究整除思维拓展若将除以9，则得到的余数是多少？ 设置问题在学生最

14、近发展区，跳一跳，够得着。知识的灵活运用，对所学新知识点有效提升。有了上面一题做铺垫，大部分学生都观察出将8写成9-1来解决问题。学生解决问题的能力得到了提升。课堂小结本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的呢？本节课有什么方法收获？本节课涉及到哪些数学思想？小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法学生说，教师课件演示，并强调：二项式系数与二项展开式系数的区别。布置作业1、课本37页 习题1.3 A组 2、3、5、82、思考：在的展开式中，含x4的项的系数是_3、思维拓展型作业：探究二项式系数 有何性质.通过课后作业使学生深入理解知识，培养学生

15、的创新精神、增强主动探究的意识和能力九、板书设计1.3.1二项式定理(1)项：二项展开式共有项；(2)次数：各项的次数都等于n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n (3)二项式系数：(4)二项展开式的通项：=例题1例题2例题3 教学设计说明二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题探究”的教学模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面的二项式展开式的推导作铺垫再以，为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性重视学生的参与过程，问题引导，师生互动重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯