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1、第三章 导数及其应用本章测评(时间90分钟满分100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1根据导数的定义，f(x1)等于()A. B C. D 2函数yx3在(1,1)处的切线方程为()Ay2x1 ByxCy3x2 Dy4x33f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f(x)g(x)，则f(x)与g(x)满足()Af(x)g(x)Bf(x)g(x)为常数函数Cf(x)g(x)0Df(x)g(x)为常数函数4设函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)x2.下面的不等式在R上恒
2、成立的是()Af(x)0 Bf(x)0Cf(x)x Df(x)x5下列函数中，在(0，)内为增函数的是 ()Aysin2x ByxexCyx3x Dyxlnx6函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a的值为()A2 B3 C4 D57函数f(x)x42x3图象上点(1，1)处的切线方程为()A4xy30 B4xy30C4xy30 Dx4y308在函数yx38x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是()A3 B2 C1 D09已知函数yxf(x)的图象如图，则下列四个图中，yf(x)的图象大致为()10已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(
3、x)，且x0时f(x)0，g(x)0，则x0时()Af(x)0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0，g(x)0 Df(x)0，g(x)0二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分把答案填在题中的横线上)11函数y在x1处的导数为_12某物体的运动方程为st3t214t15(0t7)，则它的瞬时速度的最大值和最小值分别为_13曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形面积为_14若函数f(x)x3f(1)x22x5，则f(2)_.15设a1，函数f(x)x3ax2b(1x1)的最大值为1，最小值为，则常数a_，b_.三、解答题(本大题共4个小题，共40分解答时应写
4、出文字说明、证明过程或演算步骤)16(9分)设函数f(x)x3x23x3，点P为曲线yf(x)上一个动点，求以P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程17(10分)设函数f(x)ax3bx2cx在x1和x1处有极值，且f(1)1，求a，b，c的值，并求出相应的极值18(10分)已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围19(11分)设函数f(x)x3x26xa.(1)对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个
5、实根，求a的取值范围参考答案1答案：C2解析：y3x2，y|x13.因此，切线方程为y13(x1)，即y3x2.答案：C3解析：令h(x)f(x)g(x)，若h(x)为常数函数，则h(x)0，即f(x)g(x)答案：B4解析：特殊值法：由于2f(x)xf(x)x2成立，取特殊值x0，则有2f(x)0，即f(x)0.答案：A5解析：由yxex得yexxexex(1x)0.答案：B6解析：f(x)3x22ax3，f(3)0得a5，验证知，a5符合题意答案：D7解析：令yf(x)，则y|x14.切线方程为y14(x1)，即4xy30.答案：A8解析：y3x28，令y1，则x23，x.又xZ，故x1、
6、0、1，选A.答案：A9解析：由yxf(x)图象可知，x1，y0，则f(x)0，则在(1，)内f(x)为增函数答案：C10解析：由f(x)f(x)，g(x)g(x)知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数又由x0时，f(x)0，g(x)0知，当x0时，f(x)和g(x)均单调递增从而当x0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减x0时，f(x)0，g(x)0.答案：B11解析：y，y|x1.答案：12解析：vst22t14(t1)213，当t1时，速度v取得最小值13，当t7时，速度v取得最大值49.答案：49和1313解析：yex，y|x2e2，切线方程为ye2e2(x2)当x0时，ye2；当y0
7、时，x1.S|e2|1.答案：14解析：f(x)x22f(1)x2，则f(2)44f(1)264f(1)，而f(1)12f(1)232f(1)，f(1)1.f(2)2.答案：215解析：f(x)3x23ax3x(xa)令f(x)0，得x0或xa.当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x1(1,0)0(0，a)a(a,1)1f(x)00f(x)1abbba31ab由b(1ab)a10知，b1ab，当x0时，f(x)取得最大值b，则b1.1aba(，1)，ba31a3(，)当x1时，f(x)取得最小值a，则a，即a.答案：116分析：f(x)的最小值即切线的斜率最小值，求出切点，由点斜式写出
8、方程解：设切线的斜率为k，则kf(x)x22x3(x1)24.当x1时，k有最小值4.又f(1)，切线方程为：y4(x1)，即12x3y80.17分析：由f(1)f(1)0，及f(1)1可求出a、b、c的值再应用导数求极值解：f(x)3ax22bxc.因为x1是函数f(x)的极值点，则1,1是方程f(x)0的根，即有又f(1)1，则有abc1，由上述三个方程可解得此时函数的表达式为f(x)x3x.所以f(x)x2.令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)11由上表可以看出，当x1时，函数f(x)有极大值，且f(1
9、)1；当x1时，函数f(x)有极小值，且f(1)1.18分析：第(1)问考查函数f(x)在xx0处切线斜率为f(x0)第(2)问问法新颖，与常规题反其道而行其实等价于f(x)在(1,1)内有根而转化为二次函数根的分布问题解：(1)由函数f(x)的图象过原点，得b0，又f(x)3x22(1a)xa(a2)，f(x)在原点处的切线斜率是3，则a(a2)3，所以a3，或a1.(2)由f(x)0，得x1a，x2.又f(x)在(1,1)上不单调，即或解得或所以a的取值范围是(5，)(，1)19分析：第(1)问先求导，再利用二次函数恒成立问题求解；第(2)问利用三次函数的导数、极值点求解解：(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)，因为x(，)，f(x)m，即3x29x(6m)0恒成立，所以8112(6m)0，得m，即m的最大值为.(2)因为当x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取极大值f(1)a，当x2时，f(x)取极小值f(2)2a，故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)0仅有一个实根解得a2或a.7
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