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1、45 概率论计算与证明题第一章 事件与概率1、若A，B，C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)；(2)；(3)；(4).2、试把表示成n个两两互不相容事件的和3、若A，B，C，D是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B都发生而C，D都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。4、证明下列等式：（1）；（2）；（3）.5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁
2、边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。8、在一个装有n只白球，n只黑球，n只红球的袋中，任取m只球，求其中白、黑、红球分别有只的概率。9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。10、由盛有号码，N的球的箱子中有放回地摸了n次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。11、任意从数列，N中不放回地取出n个数并按大小排列成：，试求的概率，这里。1
3、2、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？13、从n双不同的鞋子中任取2r(2r乙掷出正面数，B=甲掷出反面数乙掷出反面数。考虑=甲掷出正面数乙掷出正面数。设发生。若乙掷出n次正面，则甲至多掷出n次正面，也就是说乙掷出0次反面，甲至少掷出1次反面，从而甲掷出反面数乙掷出反面数。若乙掷出次正面，则甲至多掷出次正面，也就是说乙掷出1次反面，甲至少掷出2次反面，从而也有甲掷出反面数乙掷出反面数，等等。由此可得.显然A与B是等可能的，因为每人各自掷出正面与反面的可能性相同，所以从而。解法二：甲掷出个硬币共有个等可能场合，其中有个出现0次正面，有个出现1次正面，个出现次正面。乙掷n
4、个硬币共有个等可能场合，其中有个出现0次正面，个出现1次正面，个出现n次正面。若甲掷个硬币，乙掷n个硬币，则共有种等可能场合，其中甲掷出正面比乙掷出正面多的有利场合数有利用公式及得+所以欲求的概率为 . 应注意，甲掷出个正面的个场合不是等可能的。17、解：事件“一颗投4次至少得到一个六点”的对立事件为“一颗投4次没有一个六点”，后者有有利场合为，除去六点外的剩下五个点允许重复地排在四个位置上和排列数，故，P一颗投4次至少得到一个六点=一颗投4次没有一个六点=.投两颗骰子共有36种可能结果，除双六（6，6）点外，还有35种结果，故P两颗投24次至少得到一个双六=两颗投24次没有一个双六=.比较知
5、，前者机会较大。18、解：19、解：.或解为，4张A集中在特定一个手中的概率为，所以4张A集中在一个人手中的概率为 .20、解：（1）. 这里设A只打大头，若认为可打两头AKQJ10及A2345，则答案有变，下同。（2）取出的一张可民由K，Q，6八个数中之一打头，所以.（3）取出的四张同点牌为13个点中的某一点，再从剩下48张牌中取出1张，所以 （4）取出的3张同点占有13个点中一个点，接着取出的两张同点占有其余12个点中的一个点，所以 (5)5张同花可以是四种花中任一种，在同一种花中，5张牌占有13个点中5个点，所以 (6)异花顺次五张牌=顺次五张牌同花顺次五张牌。顺次五张牌分别以A，K，6
6、九个数中之一打头，每张可以有四种不同的花；而同花顺次中花色只能是四种花中一种。所以p = P顺次五张牌同花顺次五张牌（7）三张同点牌占有13个点中一个占有剩下12个点中两个点，所以（8）P五张中有两对=P五张中两对不同点+P五张中两对同点 （9） （10）若记（i）事件为，则而事件两两不相容，所以 y 21、解：设x，y分别为此二船到达码头的时间，则 24 F E. 两船到达码头的时间与由上述条件决定的正方形内的点是一一对应的（如图） 设A表事件“一船要等待空出码头”，则发生意味着同时满足下列两不等式 24 由几何概率得，事件的概率，等于正方形中直线 之间的部分面积，与正方形CDEF的面积之比
7、，即22、解：设x，y分别为此二人到达时间，则 y F N E。显然，此二人到达时间 8与由上述条件决定的正方形CDEF内和 M H点是一一对应的(如图)。 7 D设A表事件“其中一人必须等另外一人的 C G 时间1/2小时以上“，则A发生意味着满足如下 0 7 8 x不等式 。由几何概率得，事件A的概率等于GDH及FMN的面积之和与正方形CDEF的面积之比，所以23、证：当时，与两者不相容，所以.此即当时原式成立。 设对原式成立，现证对原式也成立。对前后两项分别应用归纳假设得.至此，原式得证。24、解：设考签编号为，记事件，则， ，；诸相容，利用第33题公式计算得P=至少有一张考签未被抽到.
8、25、解：这些比赛的可能结果，可以用下面方法表示：其中a表甲胜，b表乙胜，c表丙胜。在这些结果中，恰巧包含k个字母的事件发生的概率应为，如aa发生的概率为1/4，acbb发生的概率为1/16等等。则.由于甲，乙两人所处的地位是对称的，所以，得.26、解： .27、证：设.由可得， （1）又 再由得 （2）由并利用得 （3）由（1），（2），（3）可得28、证：（1），由单调性及得.（2），两次利用（1）的结果得.29、证：设袋中有A个球，其中a个是白球，不还原随机取出，第k次才首次取得白球的概率为 .因为袋中有a个白球，个黑球，若一开始总是取到黑球，直到把黑球取完为止，则至迟到第次一定会取到白
9、球；也就是说，第一次或第二次或至迟到第次取得白球事件是必然事件，其概率为1。所以等式两边同乘以得.30、证：记F=的一切子集（i）是的子集，所以。(ii) 若，则A是的子集，也是的子集，所以。(iii)，当然有。任一。必有某一，使，所以，从而，即也是的一个子集，故。F是域。31、证：设是域，记.(i) 每一，所以，即.(ii) ，则每一，由是域得每一，所以，从而.(iii) ，则诸必属于每一，由于是域，所以每一，即.是域。32、解： 由于点落入正方形是等可能的，此属几何概型,事件A=点落于两条对角线上了的测度, 故P(A)= 33、解: 由于此时样本点总数是90 ,有利场合数是32 所求概率3
10、4、解：记选取的样品至少配成一双，由于样品总数是的有利场合数是 35、解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10987种排法. 其中有（4987487987）种能成4位偶数. 故所求概率 36、解：以分别表示两人到达的时刻, 则可能取值范围是 则两人能会面的范围 故能会面的概率P= 37、解：从10个电阻中取三个电阻的取法有种取法 满足要求的取法有 种取法 ， 故所求概率 38、解：设 二船到达的时刻为，则 一切可能取值 (得2分) 所求值： 所求概率 p= 39、解：设及为所取的正的真分数，则，故 40、解：设此二数为则 故 在区间中随机取两数，求两数之和小于1.2的概率。41、解：42、解
11、：（1）记事件A=订阅A报， B=订阅B报，则只订阅A报可表示为。因，故。（2）只订1种报=，要把分别表示为，。又这2个事件是互不相容的，由概率加法公式，有43、解：（1）三位数总的排法是种。排得偶数要求末位数是偶数，即2或4，余下的4个数任取2个排列。因此，排得偶数的情况种数是种，故。（2）同（1）作类似的分析，知。注：此题也可以这样分析：所得三位数是偶数=三位数末位数是偶数，又所得三位数是奇数=三位数末位数是奇数。从而44、解：因第1个数字不能为0，故6位电话号码的数字情况总数个，其中完全由不同数字组成的情况数为（个）。所以。45、解：（1）从8个球中任取2个的取法总数为种。取得的2个球为同色，分为两种情况：2个球皆为白色或2个球皆为黑色。这两种情况各有种，故取得2个球同色的情况数为种，所以。此题也可以这样解：取得的2个球皆为白色，取得的2个球皆为黑色，取得的2个同色。互不相容，且，而，故（2）令取得的2个球至少有1个白球，则取得的2个球皆为黑球，故46、证： 47、证：一维波雷尔域是由左闭右开区间灶产生的域，是由形如区间类产生的域。因为 等式左边是中两个集的差，由此知包含一切形如的集，而B是由一切形如的集类产生的域，所以。又由于 ，等式右边是B中集的可列并，由此知B包含一切形如的集，与上段同理得.
概率论答案 - 李贤平版 - 第一章
