矩阵位移法教学PPT

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1、1第十二章2矩阵代数复习矩阵代数复习1 1、矩阵定义、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为的元素排列为m 行和行和n列，称为列，称为m n 阶矩阵。阶矩阵。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMO ML2 2、方阵、方阵一个具有相同的行数和列数的矩阵，即一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n 时，称为时，称为n 阶方阵。阶方阵。3 3、行矩阵和列矩阵、行矩阵和列矩阵一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：A=aaaan1112131 由单列组成

2、的矩阵称为列矩阵，如：由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：naaaaA1131211 M34 4、纯量、纯量仅由一个单独的元素所组成的仅由一个单独的元素所组成的1 1 1 1阶矩阵称为纯量。阶矩阵称为纯量。5 5、矩阵乘法、矩阵乘法两个规则：两个规则：（1 1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即ABCplm pl nm n =当当时才能相乘时才能相乘abb共形共形A B=a1121aa111221222 2 21B A=bbaaaa112111122122非非共形共形 21 2 2（2 2）不具有交换律，即）不具有交换律，即 AB BA46 6、转置矩阵、转

3、置矩阵将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：原矩阵的转置矩阵，如：A=aaaaaa111221223132其转置矩阵为其转置矩阵为ATaaaaaa112131122232当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若矩阵之乘积。若A=B C D则则AT=DTCTBT7 7、零矩阵、零矩阵元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0 0表示。表示。若若AB=0，但不一定但不一定A=0或或B=0。58、对对角角矩矩阵阵 对

4、角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如：D=aaamm1122000000000000O9、单位矩阵单位矩阵单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示，如 I=100001000000001O任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即AI=AIA=A610、逆矩阵、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，除法运算由矩阵求逆来完成除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若。例如，若AB=C则B=A-1C此处此处A-1称为矩阵称为矩阵 A 的逆矩阵。的逆矩阵。一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：一个矩阵的逆矩阵由

5、以下关系式定义：A A-1=A-1A=I矩阵求逆时必须满足两个条件：矩阵求逆时必须满足两个条件：（1）矩阵是一个方阵。）矩阵是一个方阵。（2 2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。阵称为奇异矩阵）。11、正交矩阵、正交矩阵若一方阵若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而，而所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则交矩阵，则A=cossinsincosaaaa-正交

6、矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即A-1=AT712-1 12-1 概概 述述 矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。一、矩阵位移法的基本思路一、矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法；矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法；矩阵位移法的两个基本步骤是矩阵位移法的两个基本步骤是 （1 1）结构的离散化；（）结构的离散化；（2 2）单元分析；

7、（）单元分析；（3 3）整体分析，）整体分析，任务任务意义意义单元单元分析分析建立杆端力与杆端位移建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单间的刚度方程，形成单元刚度矩阵元刚度矩阵用矩阵形式表示杆用矩阵形式表示杆件的转角位移方程件的转角位移方程整体整体分析分析由变形条件和平衡条件由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整间的刚度方程，形成整体刚度矩阵体刚度矩阵用矩阵形式表示位用矩阵形式表示位移法基本方程移法基本方程8 矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。手算与电算的不同：手算：怕繁，讨厌重

8、复性的大量运算，追求机灵的计算技巧，运算次数较少的方法。电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过 程程序化，通用性强的方法。矩阵位移法（有限单元法）的基本思路是：先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条件集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有限个简单单元的分析与集成问题。有限单元法的两个基本环节：1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系)2）整体分析：由单元刚度矩阵形集成整体刚度矩阵，建立结构的 位移法基本方程(几何关系、平衡条件)9指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件

9、两端各有三个位移分量，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。这是平面结构杆件单元的一般情况。符号规则：符号规则：图图(a)(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的x座标与杆轴重合；座标与杆轴重合；1 12 2eE A Ilxy(a)(a)图图(b)(b)表示的杆端位移均为正方向。表示的杆端位移均为正方向。单元编号单元编号杆端编号杆端编号局部座标局部座标1 12 21u1v122u2v(b)(b)杆端位移编号杆端位移编号1 12 21X1Y1M2M2X杆端力编号杆端力编号(c)(c)二、杆端位移、杆端力的正负号规定二、杆端

10、位移、杆端力的正负号规定一般单元：一般单元：10121u1v122u2v121X1Y1M2M2X2Y)(222111)()6()5()4()3()2()1()(eeevuvu)(222111)()6()5()4()3()2()1()(eeeMYXMYXFFFFFFF（1 1）单元杆端位移向量）单元杆端位移向量（2 2）单元杆端力向量）单元杆端力向量凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。11 现在讨论单元刚度方程。现在讨论单元刚度方程。单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程

11、，可以用端力时的一组方程，可以用“”“”表示，由位移求力称为正问题。表示，由位移求力称为正问题。F 在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。e121u2u2v1v121Xe1Ye1Me2Xe2Mee 我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。变形和弯曲变形的刚度方程。12-2 12-2

12、单元刚度矩阵单元刚度矩阵(局部座标系局部座标系)进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。一、一般单元一、一般单元12e1u2u1Xe1Ye1Me2Xe2Mee 分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。首先，由两个杆端轴向位移首先，由两个杆端轴向位移21uu 和可推算出相应的杆端轴向力可推算出相应的杆端轴向力21XX 和eee1u2u1Xe2Xe12-212211uulEAXuulEAX其次，由杆端横向位移其次，由杆端横向位移,2121和转角vv可以用角变位移方程推导出相应的杆端可以用角变位移方程推导出相应的

13、杆端横向力横向力2121,MMYY和杆端力矩eeee-21321222132121212212212211126126642624vvlEIlEIYvvlEIlEIYvvlEIlEIlEIMvvlEIlEIlEIM13-21321222132121212212212211126126642624vvlEIlEIYvvlEIlEIYvvlEIlEIlEIMvvlEIlEIlEIM-212211uulEAXuulEAX-222111222323222323222111460260612061200000260460612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlE

14、AlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYXMYXeee将上面六个方程合并，写成矩阵形式：将上面六个方程合并，写成矩阵形式：14EA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l3 12EI l34EI l2EI l上面的式子可以用矩阵符号记为上面的式子可以用矩阵符号记为 kFeeee这就是局部座标系中的单元刚度方程。这就是局部座标系中的单元刚度方程。e可求单元杆端力可求单元杆端力 Fe ke=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI l206EI l20-EA l-6EI l2-6EI l2 EA l-12

15、EI l3 12EI l32EI l4EI l000000-6EI l206EI l2011u11v1112u12v12只与杆件本身性质有只与杆件本身性质有关而与外荷载无关关而与外荷载无关通过这个式子由单元杆端位移通过这个式子由单元杆端位移局部座标系的单元刚度矩阵局部座标系的单元刚度矩阵15二、单元刚度矩阵的性质二、单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义）单元刚度系数的意义ijke代表单元杆端第代表单元杆端第j个位移分量等于个位移分量等于1时所引起的第时所引起的第i个杆端力分量。个杆端力分量。例如例如35212lEIk-代表单元杆端第代表单元杆端第2个位移分量个位移分量 时所引起的第时所引

16、起的第5个杆个杆端力分量端力分量 的数值。的数值。11v2Y（2）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵 是对称矩阵，是对称矩阵，ke即即jiijkk。（3）一般单元的刚度矩阵）一般单元的刚度矩阵 是奇异矩阵；是奇异矩阵；ke从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵 ke的行列式的行列式 ke=0因此它的逆矩阵不存在因此它的逆矩阵不存在从力学上的理解是，根据单元刚度方程从力学上的理解是，根据单元刚度方程 Fee Fee kFeee由由有一组力的解答有一组力的解答(唯一的唯一的)，即正问题。，即正问题。由由如果如果 Fe 不是一组平衡力系则无解；若是一不是一组平衡力系则无解；若是

17、一组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。16三、特殊单元三、特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。e以连续梁以连续梁为例：为例：1201u01v1202u02ve-222111222323222323222111460260612061200000260460612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEI

18、lEIlEIlEIlEAlEAMYXMYXeee171201u01v1202u02ve-222111222323222323222111460260612061200000260460612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYXMYXeee21214224lEIlEIlEIlEIMMeee lEIlEIlEIlEIk4224ee 为了程序的标准化和通为了程序的标准化和通用性，不采用特殊单元，用性，不采用特殊单元，只用一般单元，如果结构只用一般单元，如果结构有特殊单元，可以通过程有特

19、殊单元，可以通过程序由一般单元来形成。序由一般单元来形成。18a12-3 12-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵(整体座标系整体座标系)xye1X1Y1M2XxyX1Y11MX2Y22M2Maasincos111YXXeeeaacossin111YXY-eee11MM eeaasincos222YXXeeeaacossin222YXY-eee22MM ee-2221112221111000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosMYXMYXMYXMYXaaaaaaaaeee FTF ee座标转换矩阵座标转换矩阵单元杆端力的转换单元杆端力的转换

20、式、单刚的转换式式、单刚的转换式一、单元座标转换矩阵一、单元座标转换矩阵19-1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosaaaaaaaaT正交矩阵正交矩阵T-1=TT或或 TTT=TT T=I于是可以有于是可以有 同理可以有同理可以有 Tee FTFTee FTF ee TT20（解决（解决 与与k 的关系）的关系）kee在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：kFeee在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：(a)eee

21、F =k (b)eF =TTTee(d)kT F =eT(c)ekek =TT keTe(e)ke的性质与的性质与ek一样。一样。二、整体座标系中的单元刚度矩阵二、整体座标系中的单元刚度矩阵（a）式可转换为：）式可转换为：两边前乘两边前乘TT比较式比较式(b)和和(d)可得：可得：211l=5ml=5m2xyl=5m，bh=0.5m 1m,A=0.5m2,I=m4,1 24441025,10300lEIlEA解解:(1)局部座标系中的单元刚度矩阵局部座标系中的单元刚度矩阵-1003005030030120301200030000300503001003003012030120003000030

22、0104 (2)整体座标系中的单元刚度矩阵整体座标系中的单元刚度矩阵ekke单元单元 1：a a=0，T=Ik1=1k单元单元 2：a a=90，单元，单元 座标转换矩阵为座标转换矩阵为-100000001000010000000100000001000010T例例1.试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵k 。设设 和和 杆的杆长和截面尺寸相同。杆的杆长和截面尺寸相同。12k=k221l=5ml=5m2xy单元单元 2：a a=90，单元座标转换矩阵为，单元座标转换矩阵为-10000000100001000000010000000100001

23、0Tk=TT kT-10003050030030000300030012300125003010003003000030003001230012104 2312-4 12-4 连续梁的连续梁的整体刚度矩阵整体刚度矩阵按传统的位移法按传统的位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每个结点位每个结点位移对移对F的单的单独贡献独贡献F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2 123=F=K 根据每个结点位移根据每个结点位移对附加约束上的约束对附加约束上的约束力力F的贡献大小进的贡献大小进行叠加而计

24、算所得。行叠加而计算所得。传统位移法传统位移法24一、一、单元集成法的力学模型和基本概念单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元对分别考虑每个单元对F的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成i1i212123F3F1=F11F211TF11F21F31令令 i2=0，则则F31=0k =4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231K F =1K =14i12i14i12i100000单元单元 1 的贡献矩阵的贡献矩阵单元单元 1 对结点力对结点力F的贡献的

25、贡献略去其它单元的贡献。略去其它单元的贡献。25i1i212123F12F22F32k =4i22i24i22i22F12F22F32=4i12i14i12i1000001232K F =2设 i1=0，则F12=0K =24i12i14i12i100000单元单元 的贡献矩阵的贡献矩阵F3F2=F12F222T单元单元对结点力对结点力F的贡献的贡献略去单元略去单元的贡献。的贡献。261F =1K =14i12i14i12i1000002K F =2K =24i12i14i12i100000i1i2121212K=（K +K ）=12Keek K K eeF=F+F=（K+K）12F=K整体刚

26、度矩阵为：整体刚度矩阵为：单元集成法求整体单元集成法求整体刚度矩阵步骤：刚度矩阵步骤：根据单元根据单元和单元和单元分别对结点力分别对结点力 F 的贡献，可得整体刚度方程：的贡献，可得整体刚度方程：27k K K ee12k =4i12i14i12i11K =14i12i14i12i100000k =4i22i24i22i22K =24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2K=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i228二、按照单元定位向量由二、按照单元定位向量由k 求求 eKe(1)在整体分析中按结构的结点位移统

27、一编码，称为总码。在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。(2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。以连续以连续梁为例梁为例121231(1)(2)2(1)(2)位移统一编码，位移统一编码，总码总码单元单元12对应关系对应关系局部码局部码总码总码单元定位向量单元定位向量 e(1)1(2)2 1=21(1)2(2)3 2=32确定确定中的元素在中的元素在中的位置。为此建立两种编码：中的位置。为此建立两种编码：k eKe位移单独编码位移单独编码局部码局部码由单元的结点由单元的结点位移总码组成位移总码组成的向量的向量29（3

28、）单刚）单刚k eKe和单元贡献和单元贡献中元素的对应关系中元素的对应关系单元单元单元单元k =4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=21K =11230000000004i12i12i14i1123k =4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=32K =20000000004i22i24i22i2123123单元定位向量单元定位向量描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。单元定位向量单元定位向量定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵

29、中的具体位置，故也称为的具体位置，故也称为“单元换码向量单元换码向量”。单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量单元定位向量”进行进行“换码重排位换码重排位”。30三、三、单元集成法的实施单元集成法的实施（定位（定位 累加）累加）K123123000000000k 1 10000000004i12i12i14i1123123k 2 24i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）将）将K置零，得置零，得K=0；（2）将）将k的元素在的元素在K中按中按 定位并进行累加，得定位并进行累加，得K=K；（3）将）将k的元素在的

30、元素在K中按中按 定位并进行累加，得定位并进行累加，得K=K+K；按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵K。3112i1i2i3312301230=0（1 1）结点位移）结点位移分量总码分量总码（2 2）单元定位向量）单元定位向量 1=21 2=32 3=03（3 3）单元集成过程）单元集成过程k =4i12i14i12i111221k =4i22i24i22i222332k =4i32i34i32i330330K=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例例.求连续梁的整求连

31、续梁的整 体刚度矩阵。体刚度矩阵。32四、整体刚度矩阵四、整体刚度矩阵 K 的性质的性质（1）整体刚度系数的意义）整体刚度系数的意义:Kij j=1(其余其余=0)时产生的结点力时产生的结点力Fi（2）K是对称矩阵是对称矩阵（3）对几何不变体系，）对几何不变体系，K是可逆矩阵，如连续梁是可逆矩阵，如连续梁i1i2123F1F2F3F=K=K-1F（4）K是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+10000000000000000000000000000000000001321nFFFFMM1321nMM4i12i12i12i22i2

32、4i2+4i34i1+4i24in2i32in3312-5 12-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵思路要点思路要点：（：（1）设各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵）设各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵；ek（2）各）各 经由经由e 进行累加集成进行累加集成K。与连续梁相比：与连续梁相比：(1)各单元考虑轴向变形各单元考虑轴向变形；(2)每个刚结点有三个位移每个刚结点有三个位移；(3)要采用整体座标要采用整体座标；(4)要处理非刚结点的特殊情况要处理非刚结点的特殊情况。一、结点位移分量的统一编码一、结点位移分量的统一编码总码总码ABCxy123004000结点位移总码结点位移

33、总码 =1 2 3 4 T规定：规定：对于已知为零的结点位移分对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为零。量，其总码均编为零。=uA vA A C T整体结构的结点位移向量为：整体结构的结点位移向量为：相应地结点力向量为：相应地结点力向量为：=XA YA MA MC TF=F1 F2 F3 F4 T34x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)单元结点位单元结点位移分量移分量局部码局部码二、单元定位向量二、单元定位向量单元单元单元单元局部码局部码总码总码局部码局部码总码总码（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）4（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）0 0003

34、21 400321三、单元集成过程三、单元集成过程ABCxy12300400结点位移总码结点位移总码0(4)(1)(4)351ABC2xy123004000 4003211 00032121234K=123400000000000000001k=00000000000000000000000000000000000011 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 4651 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66123004123004111213212223313233616263661

35、626361112132122233132332k12300012300011 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 4651 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66=36四、铰结点的处理四、铰结点的处理K 求单元常数T单元刚度矩阵单元刚度矩阵程序设计框图（局部：集成整体刚度矩阵）程序设计框图（局部：集成整体刚度矩阵）1122刚结点刚结点：变形连续，：变形连续，截面截面1 1和截面和截面2 2具有相同具有相同的结点位移。的结点位移。铰结点铰结点：部分变形连续，：部分变形连续，截面截面

36、1 1和截面和截面2 2具有相同的结点具有相同的结点线位移；而其角位移不相等。线位移；而其角位移不相等。37123ABDxy000123456C1C2457000 T6543211 T0003212 T0007543结点位移分量总码结点位移分量总码结点结点C C1 1 4 5 6 结点结点C C2 2 4 5 7 单元定位向量单元定位向量1k=1234562k=123000123000123456380000000000000000000000000000000000000000000000000 T6543211 T0003212 T00075431k=1234561234562k=1230

37、001230003k=457000457000K=123456712345673912-6 12-6 等效结点荷载等效结点荷载F=K (1)结构体系刚度方程：结构体系刚度方程：一、位移法基本方程一、位移法基本方程k11 1+k12 2+k1n n+F1P=0 k21 1+k22 2+k2n n+F2P=0 kn1 1+kn2 2+knn n+FnP=0 K+FP=0.(2)F+FP=0.(3)将将(1)式代入式代入(2)式：式：表示结点位移表示结点位移 和结点力和结点力F之间的关系，反映了结构的刚度性质，而之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基

38、本方程。不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。基本体系在荷载单独作用下基本体系在荷载单独作用下产生的结点约束力。产生的结点约束力。基本体系在结点位移单独作基本体系在结点位移单独作用下产生的结点约束力。用下产生的结点约束力。40二、二、等效结点荷载的概念等效结点荷载的概念结点结束力结点结束力FP结点结束力结点结束力FP等效结点荷载等效结点荷载P原荷载原荷载显然显然 P=FP解决了计算解决了计算等效结点荷载的问题等效结点荷载的问题等效原则等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力K=FFP+=41三、按单元集成法求整体结构的等

39、效结点荷载三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载P(1)局部座标单元的等效结点荷载局部座标单元的等效结点荷载Pexe TPPPPPPPMYXMYXF222111ePe PF-e(2)整体座标单元的等效结点荷载整体座标单元的等效结点荷载Pe PTPTee(3)结构的等效结点荷载结构的等效结点荷载Pxy42 -1012010120PFP1112xy12348kN4.8kN/mABC5m2.5m2.5m单元单元1:1:-10120111PPPMYX-10120222PPPMYX单元单元2:2:540111PPPMYX-540222PPPMYX902a 4003211 0003212 0000432

40、1P1210-10+4+0-5-1012010120PF1-540540PF2 -504504PTFTP222-10512443K 求单元常数求单元常数TP原始数据、局部码、总码原始数据、局部码、总码解方程解方程K=P求出结点位移求出结点位移 开始开始单元刚度单元刚度矩阵矩阵ke单元固单元固 端力端力 PFe44例例.求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁b2h2=0.5m 1.26m，立，立柱柱b1 h1=0.5m 1m。（1）原始数据、局部码、总码（设）原始数据、局部码、总码（设E=1）31131114121103.83,1094.6,6,241,

41、5.0-lEAlEImlmImA12m6mABCDq=1kN/m331132113113111031.212,1094.66,108.274,109.132-lEIlEIlEIlEIABCD123xy13452600柱柱梁梁322322242221094.6,105.52,12,121,63.0-lEIlEAmlmImA332232223223221058.012,1047.36,108.274,109.132-lEIlEIlEIlEI45-1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosaaaaaaaaTee-lEIlEIlEIlEIl

42、EIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk46026061206120000026046061206120000022232322232346（2 2）形成局部座标系中的单元刚度矩阵）形成局部座标系中的单元刚度矩阵ke单元单元1 1和和3 3=10-3-8.2794.609.1394.6094.631.2094.631.20003.83003.839.1394.608.2794.6094.631.2094.631.20003.83003.83=10-3-8.2747.309.1347.3047.358.0047.358.00005.5200

43、5.529.1347.308.2747.3047.358.0047.358.00005.52005.52单元单元2 2（3 3）计算整体座标系中的单元刚度矩阵）计算整体座标系中的单元刚度矩阵ekk =TT keTe2k1k=3k47 单元单元1和和3的座标转换的座标转换矩阵矩阵 （a a=900）-100000001000010000000100000001000010T1k=10-3k =TT k1T3-8.27094.69.13094.60833003.83094.6031.294.6031.29.13094.68.27094.603.83003.83094.6031.294.6031.2

44、单元单元2 2（a a=0=0）2kk2=10-3-8.2747.309.1347.3047.358.0047.358.00005.52005.529.1347.308.2747.3047.358.0047.358.00005.52005.5248(4)用单元集成法形成整体刚度矩阵用单元集成法形成整体刚度矩阵KABCD123xy13452600 T6543212 T0003211 T0006543 3106.5547.394.69.1347.3047.388.83047.358.0094.6081.54005.529.1347.306.5547.394.647.358.0047.388.830

45、005.5294.6081.54-K49（5）求等效结点荷载）求等效结点荷载P12m6mABCDq=1kN/mABCD123xy13452600-330330PF1单单元元固固端端约约束束力力 单元单元1 （a a=90）-303303330330100000001000010000000100000001000010PTFTP111按按单单元元定定位位向向量量 0003211-000303P50（6 6）解基）解基本方程本方程-0003036.5547.394.69.1347.3047.388.83047.358.0094.6081.54005.529.1347.306.5547.394.6

46、47.358.0047.388.830005.5294.6081.54103BBBAAAvuvu求得结点位移求得结点位移:-5.9613.58244.2813.5847BBBAAAvuvu（7 7）求各单元杆端力）求各单元杆端力e F PFkFeeee PFkF111111 FTF F单元单元1：先求：先求F 然后求然后求 51 PFkF1111-8.27094.69.13094.60833003.83094.6031.294.6031.29.13094.68.27094.603.83003.83094.6031.294.6031.2=10-3-0004.2813.5847-49.843.07

47、6.409.243.024.130330311 FTF-49.876.443.009.224.143.02 F-04.343.024.109.243.024.13 F-38.424.143.004.324.143.0同样可得出：同样可得出：52（8 8）绘制内力图）绘制内力图1 F-49.876.443.009.224.143.02 F-04.343.024.109.243.024.13 F-38.424.143.004.324.143.0121X1Y1M2M2X 222111MYXMYXFeABCD8.492.093.044.38M图图(kNm)4.761.240.431.24Q图图(kN)

48、N图图(kN)0.430.431.2453k k k3 3 3k k k2 2 2k k k1 1 112-8 12-8 忽略轴向变形时忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析矩形刚架的整体分析123ABDxy000102103C1C2104000 T3012011 T0002012 T0004013单元定位向量单元定位向量123456123456102103102103123456123456123456123456102000102000104000104000541234K=12340000000000000000k k k3 3 3k k k2 2 2k k k1 1 112345612345

49、61021031021031234561234561234561234561020001020001040001040005512-9 12-9 桁架及组合结构的整体分析桁架及组合结构的整体分析一、桁架一、桁架e1u2u1Xe2Xe12-2121uulEAlEAlEAlEAXXaxe2XxyX1Y1X2Y21X 2211YXYXFe 2211vuvue-221122110000010100000101vuvulEAYXYXee-aaaaaaaacossin00sincos0000cossin00sincosT56llPEA=c12345ABCDxy12345678例：试用后处理法计算图示桁架各

50、杆内力，设各杆例：试用后处理法计算图示桁架各杆内力，设各杆EA为常数。为常数。（1）单元和结点编码，准备基本数据。）单元和结点编码，准备基本数据。（2）建立结点位移向量和结点力向量：）建立结点位移向量和结点力向量：=1 2 3 4 5 6 7 8TP=F1 F2 F3 F4 0 P 0 0T（3 3）建立整体座标系单刚）建立整体座标系单刚ek -00100001011lEAk对称 -00100001013lEAk对称12565678 -10010100002lEAk对称56781256347834785712345ABCD12345678（3 3）建立整体座标系单刚）建立整体座标系单刚ek -

51、00100001011lEAk对称12565678 -10010100002lEAk对称56781256 -00100001013lEAk对称34783478 -111111111124lEAk对称3456345612781278 -111111111125lEAk对称584.4.形成原始总矩阵位移法方程形成原始总矩阵位移法方程-354.1354.0354.110354.100354.0354.100354.0354.0354.001354.0354.0354.0354.1354.0354.00000354.0354.0354.00100354.0354.1lEA876543210004321PFFFF5.5.引进支座位边界条件引进支座位边界条件 1=2=3=4=0划去划去1 4行行(列列)对称12345678123456786.6.解矩阵位移法方程解矩阵位移法方程-000354.1354.0354.110354.100354.0354.18765PlEA对称对称