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1、选修4-5 不等式选讲课 题： 不等式的基本性质二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：、如果ab，那么ba，如果bb。(对称性)、如果ab，且bc，那么ac，即ab，bcac。、如果ab，那么a+cb+c，即aba+cb+c。推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d即ab， cd a+cb+d、如果ab，且c0，那么acbc；如果ab，且c0，那么acb 0，那么 (nN，且n1)、如果ab 0，那么 (nN，且n
2、1)。课 题： 含有绝对值的不等式的证明一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1） （2）（3） （4）请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？显然，当且仅当时等号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）。同样，当且仅当时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常
3、常利用、及绝对值的和的性质。二、典型例题：例1、证明 （1）， （2）。证明（1）如果那么所以如果那么所以 （2）根据（1）的结果，有，就是，。 所以，。探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例4、已知 ，求证 证明 （1）， （2）由（1），（2）得：例5、已知 求证：。证明 ，由例1及上式，。注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。课 题： 含有绝对值的不等式的解法一、引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一
4、些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即。2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。第一种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式的解集是 ，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（a，a），如图所示。 图1-1 如果给定
5、的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。第二种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式的解集是 或它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间的并集。如图1-2所示。 图1-2同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。课 题： 平均值不等式一、引入： 1、定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”） 证明： 1指出定理适用范围：强调取“=”的条件。2、定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”） 证明： 即： 当且仅当时 注意：1这个定理适用的范围：； 2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3、定理3：如果，那么（当且仅当时取“=”） 证明： 上式0 从而指出：这里 就不能保证。 推论：如果，那么。（当且仅当时取“=”） 证明： 4、算术几何平均不等式：如果 则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数；基本不等式： （） 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。的几何解释：以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DDAB 则，从而，而半径。课 题： 不等式的证明方法之一：比较法课 题： 不等式的证明方法之二：综合法与分析法课 题： 不等式的证明方法之三：反证法课 题： 不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式4
数学选修4-5不等式选讲教案
