第十章曲线积分与曲面积分

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1、(二) 线面积分的计算方法1曲线积分的计算 基本方法：曲线积分定积分第一类线积分：设在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分）其中在上具有一阶连续导数，且，则【例1】 求，其中L是由所表示的曲线上相应于的一段弧.解 （法一）,故 原式=. （法二）容易看出积分弧段关于轴对称，而被积函数是关于变量的奇函数，故OAB【例2】 求，其中L是以为顶点的三角形(图10.1)边界.解 【例3】求,式中L为圆周解 L的极坐标方程为 则【例4】求，其中L是曲线解 ，于是第二类线积分：设在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，当单调地时，（要解决1、积分限，

2、2、被积函数，3、弧微分）点从L的起点沿运动到终点，在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则【例1】 求，其中是曲线上从点到点的一段弧.解 由得，故原式=B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(-1,0)xy【例2】求，其中如图10.2所示图10.2解（法一）原式=解（法二） 因为 ,又 ,故 原式=【例3】 求，其中C为曲线，解 当时，则；当时，则； 基本技巧 利用对称性简化计算；【例1】 求，其中为圆周.解 由对称性得，故【例2】求,其中解 利用对称性 利用格林公式(注意：添加辅助线的技巧)；【定理10.1】 格林（Green）公式 设函数和在分段光滑的闭曲线所围成的闭区域上具有一阶

3、连续偏导数，则有 其中是的正向边界.【例1】计算,其中是,顺时针方向l 计算对于坐标的曲线积分第二种解法: 利用格林公式求解，计算前必须使用代入技巧,消去分母,否则工作量太大.因为是反向的,所以使用格林公式是需要补加一个负号.解 将代入被积分式中，=根据格林公式，原式。【例2】计算,其中是的上半圆周,顺时针方向.l 不易直接计算,应该检验.补充由2至0, 原式=.然后利用格林公式.解 设 .补:由2至0,与所围成的区域记为.原式= 利用积分与路径无关的等价条件【定理10.3】（积分与路径无关的条件）设函数和在单连通区域内具有一阶连续偏导数，则下列四个条件相互等价，即互为充要条件：(1)在内与路

4、径无关；(2)在内存在一个函数，使 ,其中 为内任一取定的点.（3），其中L为内任一分段光滑的闭曲线（4）在内等式恒成立【例1】求,其中L为从点到点的一段弧解 ,故积分与路径无关,选取折线路径 原式=【例2】适当选取,使是某个函数的全微分,并求出解 因为令 ,比较系数得 【例3】试确定可导函数,使积分与路径无关,且求为时的积分值.此处解 令 ,则有 ,解一阶线性非齐次微分方程得,代入 得,即 .当为时,积分为 【例4】 计算，其中为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线.解 设则，除去原点以外一切点上式都成立.当曲线的内部不含原点时.当曲线的内部含原点时,可在的内部做一个充分小的椭圆，从到

5、.利用复连通域上的格林公式，有 利用两类曲线积分的联系公式【定理10.2】（两类曲线积分之间的关系） 其中，和表示曲线的切向量的方向角.2.曲面积分的计算 基本方法：曲面积分二重积分第一类面积分：当曲面由方程给出，(为在面上的投影区域)要解决1、曲面方程如及投影区域，2、被积函数，3、面积微分）注：如果积分曲面由方程或给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分.【例1】 求，其中为锥面介于及之间的部分.解 曲面在坐标平面上的投影为.,，故【例2】求，为曲面被平面割下的部分解 设表示在第一卦限内部分，则第二类面积分：，(其中由方程给出前侧取正，后侧取负), (其中由方程给出右侧取正，左

6、侧取负)，(其中由方程给出上侧取正，下侧取负)【例1】求，为锥面及平面和所围成的立体表面的外侧解 设 ，其中 ，在面上的投影分别为【例2】设是椭球面的外侧,求. 解 设是的上半椭球面的上侧和下半椭球面的下侧，在面的投影为，则同理得，所以 基本技巧 利用对称性及重心公式简化计算；【例1】求,为球面的外侧.解 记 ，利用Gauss公式，有原式=，由重心坐标得原式= 利用高斯公式(注意公式使用条件，添加辅助面的技巧)；【定理105】高斯(Gauss)公式 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有或这里是的整个边界曲面的外侧，是在点处的法向量的方向余弦【例1】 求，其中是球面内侧.解 【例2】 求，其中是球面外侧.解 由已知得 ，则由Gauss公式得原式=【例3】 求，其中是曲面的下侧.解 补充 ，取上侧 两类曲面积分的转化.【定理104】两类曲面积分之间的联系，其中是有向曲面在点处的法向量的方向余弦.【例1】 计算,其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧.解 化为第一类曲面积分，因为的正法线的方向余弦为所以其中为平面上的面积元素原式