2015高考数学（理）一轮复习配套文档：第10章 第5节 古典概型

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1、第五节古 典 概 型【考纲下载】1理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等3古典概型的概率公式P(A).1在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？提示：不一定如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的2如何判断一个试验是否为古典概型？提示：关键看这个实验是否具有古典概型的两

2、个特征：有限性和等可能性1一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为()A. B. C. D.解析：选D一枚硬币连掷2次，其结果共有正正，正反，反正，反反四种结果，恰有一次正面朝上的有正反、反正两种结果因此，恰有一次正面朝上的概率为.2甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A. B. C. D.解析：选C甲、乙、丙三名同学站成一排共有如下6种情况：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，而甲站在中间的共有乙甲丙，丙甲乙两种情况，因此，甲站在中间的概率为.3从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3中随机选取一个数为b，则ba的概率是()A. B. C. D.解析

3、：选D依题意可知a，b共有如下15种情况：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，其中ba的共有3种情况所以ba的概率为.4若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线xy5的下方的概率为_解析：点P在直线xy5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种可能，故P.答案：5在集合A2,3中随机取一个元素m，在集合B1,2,3中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2y29内

4、部的概率为_解析：点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)这两种情况满足在圆x2y29内部，所以所求概率为.答案：考点一简单古典概型的求法 例1(1)(2013江西高考)集合A2,3，B1,2,3，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A. B. C. D.(2)(2013新课标全国卷)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A. B. C. D.自主解答(1)从A，B中各任意取一个数，共有6种取法，其中两数之和为4的是(2,2)，(3,1)所以两数之和等

5、于4的概率为.(2)任取两个数共有6种取法，取出两个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)2种结果所以概率为.答案(1)C(2)B【互动探究】在本例(1)中，若将“则这两数之和等于4的概率”改为“则这两数之和等于5的概率”，则结果如何？解：由原题知从A，B中各任意取一个数共有6种取法，其中两数之和等于5的是(2,3)，(3,2)，故其概率为. 【方法规律】1求古典概型概率的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式P(A)，求出P(A)2基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型(2)列表法：此法适合于从多个元

6、素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法.(2014重庆模拟)有编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6的6位同学，进行100米赛跑，得到下面的成绩：编号A1A2A3A4A5A6成绩(秒)12.212.411.813.111.813.3其中成绩在13秒内的同学记为优秀(1)从上述6名同学中，随机抽取一名，求这名同学成绩优秀的概率；(2)从成绩优秀的同学中，随机抽取2名，用同学的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率解：(1)由所给的成绩可知，优秀的同学有4名，设“从6名同学中随机抽取一名是优秀”为事件A，则P(A).(2)优秀的同学编号是A1，A2，A3，A5，

7、从这4名同学中抽取2名，所有的可能情况是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)；设“这2名同学成绩都在12.3以内”为事件B，符合要求的情况有：(A1，A3)，(A1，A5)，(A3，A5)，所以P(B).考点二较复杂古典概型的概率 例2(1)(2013安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A. B. C. D.(2)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此

8、员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力求此人被评为优秀的概率；求此人被评为良好及以上的概率自主解答(1)记事件A为“甲或乙被录用”从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件仅有(丙，丁，戊)一种可能，则A的对立事件的概率为P().故P(A)1P().(2)将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A

9、饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10种令D表示事件“此人被评为优秀”，E表示事件“此人被评为良好”，F表示事件“此人被评为良好及以上”，则P(D).因为P(E)，所以P(F)P(D)P(E).答案(1)D【方法规律】求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解甲、乙两校各有3名教师报

10、名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率解：(1)甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种从中选出两名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的

11、2名教师性别相同的概率为P.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种所以选出的2名教师来自同一学校的概率为P.高频考点考点三 古典概型与统计的综合应用1古典概型与统计的综合应用，是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题2高考对古典概型与统计的综合

12、应用的考查主要有以下几个命题角度：(1)由频率来估计概率；(2)由频率估计部分事件发生的概率；(3)求方差(或均值)等例3(2013天津高考)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标Sxyz评价该产品的等级若S4, 则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x, y, z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x, y, z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一

13、等品率；(2)在该样本的一等品中， 随机抽取2件产品，用产品编号列出所有可能的结果；设事件B为“在取出的2件产品中， 每件产品的综合指标S都等于4”， 求事件B发生的概率自主解答(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A

14、7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9，共15种在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共6种所以P(B).古典概型与统计综合应用的常见类型及解题策略(1)由频率来估计概率利用频率与概率的关系来估计(2)由频率来估计部分事件发生的概率往往结合题设条件注意事件的互斥、对立，利用概率的加法公式求解(3)求方差(或均值)结合题设中的数据、方差(或均值公式)求解一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)

15、：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：94,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率解：(1)依据条件可知，轿车A、B的抽样，A类轿车抽样比为.因此本月共生产轿车502 000(辆

16、)故z2 000(100300150450600)400(辆)(2)设所抽取样本中有a辆舒适型轿车，由题意得，则a2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(

17、A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个故P(E)，即所求概率为.(3)样本平均数(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7，9.3，9.0，共6个，所以P(D)，即所求概率为.课堂归纳通法领悟3种方法基本事件个数的确定方法(1)列举法：(见本节考点一方法规律)；(2)列表法：(见本节考点一方法规律)；(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求.2个技

18、巧求解古典概型问题概率的技巧(1)较为简单问题可直接使用古典概型的概率公式计算；(2)较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接法，先求事件A的对立事件的概率，再由P(A)1P()求事件A的概率1个构建构建不同的概率模型解决问题(1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易解决的古典概型问题；(2)作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同

19、”的问题，即“多题一解”. 答题模板(七)求古典概型的概率典例(2013山东高考)(12分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率快速规范审题第(1)问1审结论，明解题方向观察所求结论：求选到的2人身高都在1.78以下的概率2审条件，挖解题

20、信息观察条件：由表中的数据得出身高1.80以下的有A，B，C，D 4人，身高在1.78以下的有A，B，C 3人3建联系，找解题突破口身高1.80以下选2人有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种情况；身高1.78以下选2人有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种情况，利用公式求解第(2)问1审结论，明解题方向观察所求结论：求选到2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率应求从身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的选22审条件，挖解题信息观察条件：如表中数据得出该小组共有5人，其中身高都在1.70以上且体重

21、指标都在18.5,23.9)中的人有C，D，E，共3人3建联系，找解题突破口从该小组中选2人共有10种方法，从C，D，E中选2人共有3种方法，利用公式求解 准确规范答题 (1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种 2分由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人的身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种 4分因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P. 6分 (2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(

22、A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种 8分由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3种 10分因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为P1.12分答题模板速成求古典概型概率的一般步骤：第一步审清题意理清题意，列出所有基本事件，计算基本事件总数第二步建立数量关系分析所求事件，找出所求事件的个数第三步转化为数学模型根据古典概型的概率公式求

23、解得出结论第四步解决数学问题解后反思，规范解答步骤，检查计数过程是否有误全盘巩固1投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则得到点数相同的概率为()A. B. C. D.解析：选C投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为.2一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是()A. B. C. D.解析：选D小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求概率为.3连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(1,1)的夹角90的概率是()A. B. C. D.解析：选A因为(m，n)

24、(1,1)mnn.基本事件总共有6636(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共1234515(个)故P.4(2014杭州模拟)在一个盒子中有编号为1,2的红球2个，编号为1,2的白球2个，现从盒子中摸出两个球，每个球被摸到的概率相同，则摸出的两个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是()A. B. C. D.解析：选C从4个球中摸出2个球的情况共有6种，其中2球颜色不同且编号不同的情况有2种，故所求概率P.5已知A1,2,3，BxR|x2axb0，aA，bA，则ABB的概率是()A

25、. B. C. D1解析：选C因为ABB，所以B可能为，1，2，3，1,2，2,3，1,3当B时，a24b0就去打球，若X0就去唱歌，若X0就去下棋(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率解：(1)X的所有可能取值为2，1,0,1.(2)数量积为2的有，共1种；数量积为1的有，共6种；数量积为0的有，共4种；数量积为1的有，共4种故所有可能的情况共有15种所以小波去下棋的概率为P1；因为去唱歌的概率为P2，所以小波不去唱歌的概率P1P21.11将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个奇数的概率解：将一颗骰

26、子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能的基本事件(1)记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以P(A).所以两数之和为5的概率为.(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件所以P(B)1.所以两数中至少有一个奇数的概率为.12(2014雅安模拟)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3)，写出甲乙两人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，

27、则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲乙约定，若甲抽到的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由解：(1)方片4用4表示，则甲乙两人抽到的牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共12种不同的情况(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4，因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为.(3)甲抽到的牌比乙大，有(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)，(3,2)，共5种情况甲胜的概率为P1，乙胜的概率为P2.因为，所以此游戏不公平冲击名校现有编号

28、分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两道题的编号分别为x、y，且xy”(1)问有多少个基本事件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率解：(1)共有36个等可能的基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(

29、3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件A，则事件A为“x，y1,2,3,4,5,6,7,8,9，且xy11,17)，其中xy”由(1)可知事件A共包含15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，所以P(A).即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为.