傅立叶变光学

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1、第六章第六章 傅立叶变换光学傅立叶变换光学主要内容主要内容衍射系统的屏函数衍射系统的屏函数夫琅和费衍射的傅立叶频谱分析夫琅和费衍射的傅立叶频谱分析阿贝成像原理阿贝成像原理变换光学w处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是研究光的相干叠加。这是传统光学的一般方法。w可以从另外一个角度分析这类问题。入射波场，遇到障碍物之后，波场中各种物理量重新分布。衍射障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。w所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。w从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非相干系统中的一切使波场或者波面产生改变的因素，它们的作用都可以应用变换的方法处理。5.1 衍射系统的屏函数衍射系统

2、的屏函数w能使波前的复振幅发生改变的物，统称为衍射屏。w衍射屏将波的空间分为前场和后场两部分。前场为照明空间，后场为衍射空间。w波在衍射屏的前后表面处的复振幅分别称为入射场、透射场（或反射场），接收屏上的复振幅为接收场。),(1yxU),(2yxU),(yxU入射场 透射或反射场接收场(,)x y衍射屏(,)xy接收屏z1(,)Ux y入射场2(,)Ux y衍射场(,)U xy接收场衍射空间照明空间(,)x y衍射屏(,)x y接收屏z1(,)Ux y入射场2(,)Ux y衍射场(,)U x y接收场衍射空间照明空间(,)x y衍射屏(,)x y接收屏z1(,)Ux y入射场2(,)Ux y衍

3、射场(,)U x y接收场衍射空间照明空间w衍射屏的作用是使入射场转换为透射场（或反射场）。用函数表示，就是透过率或反射率函数，统称屏函数。),(),(),(12yxUyxUyxt衍射屏函数),(exp),(),(yxiyxtyxtt),(yxt),(yxt屏函数的模。模为常数的衍射屏称为位相型的，如透镜、棱镜等。屏函数的幅角即位相。幅角为常数的衍射屏称为振幅型的，如单缝、圆孔等。相因子判断法 w知道了衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进而完全确定接收场。w但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难，完全确定屏函数几乎是不可能的。w只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。w了解了屏函数的位

4、相，则能通过研究波的位相改变来确定波场的变化。这种方法称为相因子判断法。w一般都是在傍轴近似下进行判断。波前的相因子)sin(sinexp21yxik2exp22zyxik2exp22zyxik2(exp0022zyyxxzyxik2(exp0022zyyxxzyxikw以原点位相为0，xoy平面上点（x，y）的位相因子2exp22zyxik22exp2xyikzikzQ(,)x yzozw以物点位相为0，xoy平面上点（x，y）的位相因子w以原点位相为0，xoy平面上点（x，y）的位相因子w以物点位相为0，xoy平面上点（x，y）的位相因子Q(,)x yzoz00(,)xy2(exp0022

5、zyyxxzyxik22000exp(2xxyyxyikrikzz0r透镜的位相变换函数（透过率函数 w透镜的有效口径为D。w忽略透镜的吸收 2,02,),()(exp),(1212DrDreyxaiAAtyxiLL1/),(12AAyxa),(),(exp),(exp),(12yxyxiyxiyxtLL对于薄透镜，采取傍轴近似，认为镜中的光线平行于光轴。从图上可以求得经透镜后的位相差),(2),(21yxndyxL)(221021dn)(1(2210n002nd近轴条件下 122212212221112)11()(),(ryxryxryxrryx2222222222)(),(ryxyxrry

6、xFyxkyxrrnyxL2)(11(212),(222221)11)(1(121rrnF可得透镜的位相变换函数为2exp),(22FyxikyxtL其相因子为 Fyxik222棱镜的位相变换函数（透过率函数）w薄的楔形棱镜，可以得到)(2)(2),(0nndndyxP)1(20nx0d棱镜中心处的厚度 xnkyxP)1(),()(1(exp),(21yxnikyxtP二维情况下5.2 夫琅和费光栅衍射的傅里叶频夫琅和费光栅衍射的傅里叶频谱分析谱分析1空间频率的概念空间频率的概念 在空间上也可以定义周期和频率，空间在空间上也可以定义周期和频率，空间周期周期d的倒数就是空间频率，即有的倒数就是空

7、间频率，即有f=1/d。f称称为空间频率。为空间频率。2正弦光栅的傅立叶变换正弦光栅的傅立叶变换平行光正入射平行光正入射)2cos()(010fxttxt11)(AxU112)()()(AxtxUxU)2cos(010fxtt)2(exp)2(exp21)2cos(000fxifxifx1101221)(tAtAxU)2(exp21)2(exp0110fxitAfxi)()()()(1102xUxUxUxU)2(exp21011fxitA)(1xU透射波实际上变为三列波 fkx21ffkkx22sin1111010)(tAxU0级波，方向 0sin0)(1xU)2(exp21011fxitA+

8、1级波，方向 f1sin)(1xU)2(exp21011fxitA-1级波，方向 f1sin6.3 阿贝成像原理w对于衍射屏，可以用Fourier变换将其展开为Fourier级数或Fourier积分2200()eennif xif xnnnt xttt/22/21()endif xndtt xdxd11nfnfnfndd：衍射屏的（空间）周期f：衍射屏的（空间）频率1f基频w以简单的平面波入射，透射波为222111eennif xif xnnUU tAtAt2enif xntn级平面波n级平面波的振幅 ntFourier 频谱频谱ntw可以用屏函数表示衍射波（透射波）2enif x的方向sin

9、nnfxz阿贝对成像过程的理解w一、可以从几何光学的角度，即光线的折射来说明成像过程w二、也可以从Fraunhofer衍射的角度，即对波前的变换来说明成像的过程w以正弦光栅的成像说明阿贝成像原理22O1 01 11 111()ee22ifxifxUxAtAtAtO101(,)(cos2)Ux yA ttfx1111ABC0S1S1SABC第一步，物光波（屏函数的平面波）经过透镜在其焦平面上汇聚成衍射斑，即点光源第二步，焦平面上的衍射斑作为相干的点光源，发出的次波在像平面上相干叠加xxzzF1x1x0S1S1Sxxzz像平面的光波是三个衍射斑发出光波的相干叠加),(),(),(),(110yxU

10、yxUyxUyxUI02200(,)exp()2SxyUx yUik S Bikz122111(,)exp()2Sx xxyUx yUik S Bikikzz0(,)(,)(,)ikreU x yKU x y Fr 近轴条件下0(,)ikrKU x y er(,)eikrU x y三个衍射斑（点光源）发出的光波在像平面上的复振幅ABC1x1x1111ABC0S1S1SABCxxzzF1x1x1x xkz阿贝正弦条件11sinsinnyn y 11sinsinV 11sinx xkkxz1sinkx1V1sinxkV2()xfV2fxV122112(,)exp()2SxyfxUx yUik S

11、BikizV02200(,)exp()2SxyUx yUik S Bikz001 0exp()SUAtik BS衍射斑ABC0S1S1SxzF11 111exp()2SUAtik BS)2cos(),(101fxttAyxUO设物平面B点的位相为0物光波是正弦光栅的屏函数221 000exp()exp()2xyAtik BSik S Bikz221 11112exp()exp()22xyfxAtik BSik S BikizV221 00exp()2xyAtik BS Bikz1111ABC0S1S1SABCxxzzF1x1x2201 000(,)exp()exp()2xyUx yAtik B

12、Sik S Bikz2211 11112(,)exp()exp()22xyfxUx yAtik BSik S BikizV221 1112exp()exp22xyfxAtik BS BikizVzABC0S1S1SABCxxzF1x1x2201 00(,)exp()2xyUx yAtik BS Bikz2211 1112(,)exp()exp22xyfxUx yAtik BS BikizV0()BS B物像间等光程1()BS B1()BS B220()2xyk BS Bkz 221()2xyk BS Bkz(,)x y(,)1 0eix yAt(,)1 112exp2ix yfxAt eiV(

13、,)11 112(,)eexp2ix yfxUx yAtiV(,)01 0(,)eix yUx yAt),(),(),(),(110yxUyxUyxUyxUI(,)1eix yA(,)101e(cos2)ix yfAttxV)2cos(),(101fxttAyxUO(,)IUx y像平面光波与物平面光波是相似的，即两者是物像关系空间频率：ff/V，表示像的几何放大或缩小。像质的反衬度：交流部分与直流部分的比值。反衬度不变像光波物光波1022exp()exp()2tifxifxtVV空间滤波w空间频率与波的衍射角相关，sinnnnfd df1衍射屏或物的空间频率 低通高通带通可以据此做成低通、高

14、通或带通的滤波装置低通高通带通sinnnf阿贝（阿贝（1874）波特（波特（1906）空间滤波实验空间滤波实验 w以黑白光栅为物，单色平行光照射 w在傅氏面上加一可调狭缝，观察像的变化Z像平面傅氏面黑白光栅可调光阑dabx)(xt10 xnnfxineaxt2)()()(ndxtxtsin(/)/nana dadna d只让0级，即直流成分通过，则像平面被0级斑发出的球面波照明。近轴条件下，被均匀照明让0级和1级通过，则像平面上是0和1三个衍射斑发出的次波的相干叠加 1012cos()IxUaakxz120122cos()2cos()IxxUaakxakxzz让0级、1和2级通过，则像平面上是5个衍射斑发出的次波的相干叠加 31241234cos()cos()cos()cos()IxxxxUakxakakakzzzz除0级外，全开放