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1、对于有非线性扰动的线性系统的时滞相关无源控制Li Caina & Cui Baotong控制科学与工程研究中心，江南大学，无锡，214122, 中华人民共和国（发表于2006年10月4日）摘要：对于有时变延迟状态和非线性扰动的线性系统的时滞相关无源控制的问题被解决了。主要的想法是设计一个时变延迟的状态的状态反馈控制器，使有非线性扰动的线性系统仍然持续、稳定。在这个系统中,延时是随时间变化的。延迟的求导也有最大和最小值。随时间变化的非线性扰动是允许被范数限界控制的。使用这个有效的线性矩阵不等式方法的充分条件是这个系统的主要获得物有鲁棒稳定性和无源性。随后状态反馈控制器的存在条件被给出了，控制器的
2、显式表达式是通过线性矩阵不等式的解算方法获得的。最后给出了一个数值例子用来证明该方法的有效性和适用性。关键词：无源控制、时滞相关的、时变延时。1、介绍 近年来，延时系统的无源控制已经越来越被重视了。使用无源性和正实性的经典定义对目前一些有延时的线性系统的无源控制，参考文献2, 3, 8, 10。非线性系统的无源控制，参考文献4。对一些有延时的离散系统的无源控制，参考文献6,11。最近，为了研究系统的无源性和稳定性，对于无源性的定义也用在了奇异系统里面，参考文献7。文献9是对于有延时的线性系统的时滞相关无源控制。文献12正在研究目前对于一类不确定的有延时的线性系统的基于观测器的无源控制。然而，很
3、少有人去研究对于有线性扰动的线性系统的时滞相关无源控制。这样就激起了关于设计一个对线性系统的有时变性的强力的时滞相关的状态反馈控制器的研究。在这种时滞相关的方案中，延时这一因素被放到了所需控制器的设计考虑因素中。因此，时滞相关方案已经被普遍地被认为是不比以前保守了，特别是在延时较小的情况下。 这篇文章主要是解决目前对于有非线性扰动和时变延迟状态的一些线性系统的时滞相关无源控制的问题。主要的目的是设计一个对于时变状态的状态反馈控制器，线性系统要保持鲁棒稳定性和无源性。在这个系统中，延时是时间的函数，延时的求导有最大值和最小值。这个随时间变化的非线性函数是允许被范数限界控制的。在使用这种有效的矩阵
4、不等式方法的过程中，得到了一种早时提到的问题的解决方式的存在条件。最后，给出了一个对于这种状态的轨迹的数值例子和仿真用来证明所提出方法的有效性和适用性。 注释：在这篇文章里面和分别表示转置阵和相反阵， 表示n维欧氏空间 ，表示所有 实矩阵的集。 表示有合适顺序的单位矩阵。 注释 此项目由中国自然科学基金支持(60674026; 60574051).对于有非线性扰动的线性系统的时滞相关无源控制表示一个对称正定（半正定，负定，半负定）矩阵。 2、对问题和事实的描述分析以下有延时状态的线性系统在这里是状态向量， 是可控输出， 是不稳定输入， 是一个连续向量值初始函数。是有适当尺寸的已知常数矩阵。是延
5、迟函数，满足 是已知的常数。是未知非线性时变函数，满足。假设 1：系统矩阵是渐近稳定的。假设 2： 定义 1动态系统被称作是完全无源的，如果这里存在一个标量，对所有的和所有的这里是一个与系统的初始条件有关的常数。 Li Caina & Cui Baotong实例 1：（舒尔补矩阵 ）给出了常数矩阵,这里而且 ，然后 成立当且仅当时实例 2： 对任何有适当维度A,B和一个标量的矩阵，它满足3、主要结论为了设计这个预想的控制器，提供实现预期设计目标的理论基础的一个引理被给出来了。引理1： 系统（）是完全无源的，当且仅当还有存在对称正定矩阵,和标量时，满足了线性矩阵不等式（LMI） 其中 证明： 定
6、义一个如下的李亚普诺夫函数其中K是一个有待决定的有适当维度的矩阵。对于所有的，下面的就得到了因此，接下来就是这样然后在这里设置接下来其中然后，因为所以，这样系统中。是完全无源的。使用著名的舒尔补矩阵后，这条引理就会很容易被证明。讨论 1： 用来证明引理1的主要方法是假设这个非线性函数满足范数限界控制，然后这个非线性函数就可以被转移到线性函数里面了。 接下来，一个状态反馈控制器就会为了这个系统而被设计出来。考虑到系统的情况如下：在这里是可控输入。将要被设计的状态反馈无源控制器为如下： 这里是一个有待决定的有合适维度的矩阵。把（19）代入中，就可以得到下面的闭合回路系统了。 定理 1： 系统（）被
7、称作是完全无源的，当且仅当时，存在如下对此正定矩阵,标量时，存在矩阵，都满足线性矩阵不等式（LMI）（22）。其中 证明： 观察系统的结构，可以看出它的结构与这个系统的结构相似，因此，定理1的证明和引理1相似。把系统的参数转入LMI（9）中，然后通过基本矩阵转换和使用舒尔补矩阵两次，LMI（线性矩阵不等式）就可以被容易地得到了。 讨论 2： 这篇文章只给出了这个状态反馈控制器，但我们想要的是一个动态的状态反馈控制器。因此，在对于动态实例的研究上我们还有许多工作要做。4 例子在这节内容里面，已知的理论结果已经通过一个仿真实例被建立起来了。系统具有被给出的如下参数：,已选中，然后使用MATLAB舒
8、尔补矩阵工具箱解舒尔补矩阵（22）和（23），得到的结果如下。，.理想的控制器是。选择这个扰动。对系统状态的仿真如下： 通过测量1与2。可以很容易地看出来被设计出来的控制器是能够保证闭合回路系统的稳定性和无源性的。 测量1： 当时系统状态的曲线测量2： 当时系统状态的曲线5 结论 这篇文章研究了关于有非线性扰动和时变性延时的线性系统的时滞相关无源控制的问题。通过使用线性矩阵不等式得到了静态状态反馈控制器。在最后，提出了一个数值定理和它的仿真，展示了研究结果的适用性。参考文献1 Yu L.线性矩阵不等式的鲁棒性控制 北京；清华大学，出版于，2002；174-178。2 Magdi S M, Xi
9、e Lihua.“延时系统的稳定性和正实性”,数学分析与应用.1999，239：7-19。3 Yu L, Chen G D.“线性延时系统的无源控制”，控制理论与应用，1999，16（1）；130-133（中文）。4 Feng C B, Zhang Kanjian, Fei Shumin.“鲁棒控制系统的基于无源设计”，自动化学报，1999，25（5）：577-5825 Shieh C S.“有时变性的线性系统的控制输出反馈和控制输入”，科技交流，2002, 28: 649357。6 Guan X P, Long C N, Duan Guangren.“对离散延时系统的鲁棒无源控制”，自动化学
10、报，2002, 28 (1): 14。7 Dong X Z, Zhang Q L, Guo Kai.“非线性类奇异系统的无源控制”，计算技术与自动化，2003, 22(3): 46。8 Magdi S M, Abdulla I.“延时系统的无源性”，数学分析与应用，2004, 292: 247258。9 Zhang X M, Wu Min.“有延时的线性系统的时滞相关无源控制”，控制理论与应用，2005, 22 (3): 391401。10 Li C N, Cui B T.“有时变性的不确定线性系统的无源控制”，第25届中国控制大会，2006: 1620。11 Cui B T, Hua M G
11、. “有时变性的不确定时间离散系统的无源控制”，混沌,孤波和分形 ， 2006, 29: 331341。12 Cui B T, Hua M G.“基于观测器的有参数不确定性的线性延时系统的无源控制”，混沌,孤波和分形 ，2007, 32: 160167。Li Caina 生于1981年。现正在中国江南大学攻读主要研究控制科学工程的硕士学位。现在研究的项目包括线性系统的鲁棒无源控制。电子邮件地址：licaina 228。Cui Baotong 生于1960年。他在2003年于中国华南理工大学自动化科学和工程学院获得了博士学位。他在2003-2005年间在上海交通大学担任博士后研究员。他在2003年任教中国江南大学，在通信与控制工程学院中担任正教授。他现在的主要研究项目包括系统的分析，稳定原理，人工神经网络，脉冲控制和混沌同步。电子邮件地址： btcui。
具有非线性扰动的线性系统的时滞相关被动控制
