高中数学解三角形辅导讲义

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1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 高中 课时数： 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：课 题解三角形授课时间：备课时间： 教学目标重点、难点正余弦定理的运用考点及考试要求解三角形一、 正弦定理在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又, 则 从而在直角三角形ABC中，对于任意的三角形可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1.1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C 同理可得， b a从而 过A作单位向量垂直于由+ = 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90+|cos

2、(90C)=| |cos(90A) =同理，若过C作垂直于得： = =从而 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；(2）等价于，从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。：根据正弦定理，因为，所以，或(1) 当时， ，(2) 当时， ，【课堂练习】1、中，则

3、等于（ ）A B C D 2、在ABC中，已知，B=，C=，则等于 A. B. C. D.3、在ABC中，a，b，B45，则A等于（）A30 B60 C30或120 D 30或1504、在ABC中，分别是三内角的对边, ,则此三角形的最小边长为（ ）A B C D 5、在中，B=，C=，c=1，则最短边长为（ ）A B C D6、在中，若边，且角，则角C= _ ；7、在中，已知，则 _ ; 8、在ABC中，则边的值为 _ ; 9、已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且，则的值为 _; 10、在中，若，则=_;在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的

4、重要应用。应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。(1) 定理的表示形式：；或，(2) 正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。二、 余弦定理如图1.1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和C，求边c。如图11-5，设，那么c=a-b， =cc=(a-b) (a-b) A=a a + b b -2ab b c从而 C a B 同理可证 (图11-5)于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 从余弦定理，又可得到以下推论：从

5、而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？若ABC中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例 在ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41，解三角形(角度精确到1，边长精确到1 cm）。(课本P7 例3)解：根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-26034cos413 600+1 156-4 0800.754 71 676

6、.82，所以，a41 cm.由正弦定理得sinC=0.544 0.因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用算器可得C33,B=180-(A+C)=180-(41+33)=106.注：在利用余弦定理解三角形时，也要注意判断有两解的情况【课堂练习】1、中，若，则A 的大小为（ ）A B C D 2、在ABC中，若，则C=（ ） A. 60B. 90C. 150D. 1203、在中，则（）A.B.或C.D.4、边长为的三角形的最大角的余弦是（ ）. A B C D 5、若的内角、的对边分别为、，且，则角A的大小为 （ ）A B C D或6、在中，分别是三内角的对边，且，则角等于( )A B C

7、 D7、中，若那么角=_8、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则 9、ABC的三个内角，所对的边分别为， ，则10、已知是的内角，并且有，则_小结：(1) 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；(2) 余弦定理的应用范围： 已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边。三、 解三角形的应用1.正弦定理：= = = 。2.余弦定理： ， ， 。 ， ， 。1.与测量有关的术语、名词（1）仰角、俯角：视线与水平线所成角中，视线在水平线上的称为仰角，在水平线下的称为俯角。如图所示：（2）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。如图，方向

8、线PA、PB的方位角分别是40、240。（3）方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于90的角，叫做方向角，她是方位角的另一种表示形式。如图：目标OA、OB的方向角分别为北偏东60和南偏西30。此外还有特殊方向角，如正东方向，东南方向等。（）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角。如图：.应用解三角形知识解实际问题的个步骤是：（1）根据题意作出示意图；（2）确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知和未知元素；（3）选用正、余弦定理求解；（4）给出答案。类型一：水平面上测量距离问题练习1:如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸标记物C，测得,AB=120m，求河

9、的宽度。类型二：竖直面上测量高度问题练习2：地面上竖着一根旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上取一点A，在A处测得P点的仰角为，测得点A到旗杆底部O的距离为米，求旗杆的高度。类型三：航海问题练习3：两艘游艇A、B与海洋观察站C的距离都等于，游艇A在C北偏东，B在C南偏东，求A、B之间的距离。练习4：某船开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行45海里后看见灯塔在正西方向，求这时船与灯塔的距离。【综合训练】1、在ABC中，a10，B=60,C=45,则等于 （ ）ABCD 2、在ABC中，a12，b13，C60，此三角形的解的情况是（ ）A无解B一解C二解D不能确定 3、在ABC中，已

10、知，则角A为（）AB CD 或4、在ABC中，若，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形 5、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）ABCD 6、甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A分钟B分钟C21.5分钟D2.15分钟7、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75，这时飞机与地面目标的水平距离为（ ）A5000米

11、B5000米C4000米D 米8、在ABC中，若A:B:C=1:2:3,则 9、在ABC中，150，则b 10、在ABC中，A60，B45，则a ；b 11、已知ABC中，121，则此三角形解的情况是 12、在ABC中，已知，A45，在BC边的长分别为20，5的情况下，求相应角C。13、在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。14、 在ABC中，证明：。15、海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一 轮船在岛北60东C处,俯角30,11时10分,又测得该船在岛的北60西B处, 俯角60. 这船的速度每小

12、时多少千米？ 如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千 米？作业1. 已知ABC中，ac2，A30，则b()A. B. 2C. 3 D. 12. ABC中，a，b，sinB，则符合条件的三角形有()A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 0个3(2010天津卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2b2bc，sinC2sinB，则A()A30 B60C120 D1504.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）A B CD 5.在ABC中，若，则ABC是（ ）A有一内角为30的直角三角形 B等腰直角三角形C有一内角为30的等腰三角形D等边三角形 6在ABC中，若b1，c，C，则a_.7(2010山东卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，sinBcosB，则角A的大小为_8. 如图，OAB是等边三角形，AOC45，OC，A、B、C三点共线(1)求sinBOC的值；(2)求线段BC的长学生签名： 签字日期：