2015高考数学（理）一轮复习配套文档：第10章 第3节 2项式定理

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1、第三节二项式定理【考纲下载】1能利用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)二项式系数二项展开式中各项系数C(r0,1，n)二项式通项Tr1Canrbr，它表示第r1项2二项式系数的性质1二项式(xy)n的展开式的第k1项与(yx)n的展开式的第k1项一样吗？提示：尽管(xy)n与(yx)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换2二项式系数与项的系数一样吗？提示：不一样二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数

2、是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关1(xy)n的二项展开式中，第r项的系数是()AC BC CC D(1)r1C解析：选D本题中由于y的系数为负，故其第r项的系数为(1)r1C.2(2012四川高考)(1x)7的展开式中x2的系数是()A42 B35 C28 D21解析：选D依题意可知，二项式(1x)7的展开式中x2的系数等于C1521.3CCCCCC的值为()A62 B63 C64 D65解析：选B因为CCCCCC(CCCCCCC)C26163.4.n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n等于_解析：展开式中只有第6项的二项式系数最大，n10.答案

3、：105(2014南充模拟)(x1)9的展开式中x3的系数是_(用数字作答)解析：依题意知，(x1)9的展开式中x3的系数为CC84.答案：84高频考点考点一 求二项展开式中的特定项或特定项的系数 1二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题2高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度：(1)求二项展开式中的第n项；(2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数例1(1)(2013江西高考)5展开式中的常数项为()A80 B80 C40 D40(2)(2013辽宁高考)使n(nN*)的展开

4、式中含有常数项的最小的n为()A4 B5 C6 D7自主解答(1)此二项展开式的通项为Tr1C(x2)5r(1)r2rx3rC(1)r2rx105r.因为105r0，所以r2，所以常数项为T3C2240.(2)Tr1C(3x)nrxrC3nrxnrrC3nrxn(r0,1,2，n)，若Tr1是常数项，则有nr0，即2n5r(r0,1，n)，当r0,1时，n0，不满足条件；当r2时，n5.答案(1)C(2)B【互动探究】若本例(2)中的条件“nN*”改为“n3”，其他条件不变，则展开式中的有理项最少有_项解析：由本例(2)中的自主解答可知：Tr1C3nrxn(r0,1,2，n)即当为整数时，Tr

5、1为有理项显然当n3时，r的取值最少，有r0，r2，即有理项为T1、T3两项答案：2 求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的第n项可依据二项式的通项公式直接求出第n项(2)求展开式中的特定项可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可(3)已知展开式的某项，求特定项的系数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数1若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为()A6 B10 C12 D15解析：选CTr1C()nrr(2)rCx，当r4时，0，又nN*，所以n12.2(2014昆明模拟)(1)4的展开式中x的系数是_

6、解析：(1)4的展开式中x的项为C10()4xC14()02xx3x.所以x的系数为3.答案：3考点二二项式系数或各项系数和 例2(1)(2013新课标全国卷)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m()A5 B6 C7 D8(2)若CC(nN*)且(3x)na0a1xa2x2anxn，则a0a1a2(1)nan_.自主解答(1)由题意得：aC，bC，所以13C7C，13，解得m6，经检验为原方程的解，选B.(2)由CC，得3n1n6(无整数解)或3n123(n6)，解得n4，问题即转化为求(3x)4的展开式中各

7、项系数和的问题，只需在(3x)4中令x1即得a0a1a2(1)nan3(1)4256.答案(1)B(2)256【方法规律】赋值法的应用(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可(2)对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.1设(1x)na0a1xanxn，若a1a2an63，则展开式中系数最大的项是()A15x3 B20x3 C21x3 D

8、35x3解析：选B在(1x)na0a1xanxn中，令x1得2na0a1a2an.令x0，得1a0，a1a2an2n163，n6.而(1x)6的展开式中系数最大的项为T4Cx320x3.2(2014丽水模拟)若(12x)2 014a0a1xa2 013x2 013a2 014x2 014(xR)，则的值为()A2 B0 C1 D2解析：选C令x0，则a01，令x，则a00，1.考点三二项式定理的应用 例3(1)已知2n23n5na能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值(精确到小数点后三位)自主解答(1)2n23n5na42n3n5na46n5na4(51)n5na4(C5

9、nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172.【方法规律】1整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断2求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.求证：(1)32n28n9能被64整除(nN*)；(2)3n(n2)2n1(nN*，n2)证明：(1)32n28n93232n8n999n8n99(81)n8n

10、99(C8nC8n1C8C1)8n99(8nC8n1C82)98n98n9982(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n，显然括号内是正整数，故原式能被64整除(2)因为nN*，且n2，所以3n(21)n展开后至少有4项(21)n2nC2n1C212nn2n12n12nn2n1(n2)2n1，故3n(n2)2n1(nN*，n2)课堂归纳通法领悟1个公式二项展开式的通项公式通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点：(1)Canrbr是第r1项，而不是第r项；(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒；(3)通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的

11、四个，就可以求出第五个，即“知四求一”3个注意点二项式系数的三个注意点(1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法；(3)展开式中第r1项的二项式系数与第r1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错 前沿热点(十六)与二项式定理有关的交汇问题1二项式定理作为一个独特的内容，在高考中总有所体现，常常考查二项式定理的通项、项的系数、各项系数的和等2二项式定理作为一个工具，也常常与其他知识交汇命题，如与数列交汇、与不等式交汇、与函数交汇等因此在一些题目中不仅仅考查二项式定

12、理，还要考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系即可典例(2013陕西高考)设函数f(x)则当x0时，ff(x)表达式的展开式中常数项为() A20 B20 C15 D15解题指导先寻找x0时f(x)的取值，再寻找ff(x)的表达式，再利用二项式定理求解解析x0时，f(x)0，则二项式6的展开式中的常数项是_解析：由a2a20，且a0，可得a2，所以二项展开式的通项是Tr1 C(2)6rrC26r(1)rx3r，令3r0，得r3，故二项展开式中的常数项是 C23160.答案：160全盘巩固1在5的二项展开式中，x的系数为()A10 B10 C40 D40解析：选DTr1C(2

13、x2)5rr(1)r25rCx103r，令103r1，得r3.所以x的系数为(1)3253C40.2在(1)2(1)4的展开式中，x的系数等于()A3 B3 C4 D4解析：选B因为(1)2的展开式中x的系数为1，(1)4的展开式中x的系数为C4，所以在(1)2(1)4的展开式中，x的系数等于3.3(2013全国高考)(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是()A56 B84 C112 D168 解析：选D(1x)8展开式中x2的系数是C，(1y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1x)8(1y)4展开式中x2y2的系数为CC286168.4.5的展开式中各项系数的和为

14、2，则该展开式中常数项为()A40 B20 C20 D40解析：选D由题意，令x1得展开式各项系数的和为(1a)(21)52，a1.二项式5的通项公式为Tr1C(1)r25rx52r，5展开式中的常数项为xC(1)322x1C(1)223x408040.5在(1x)na0a1xa2x2a3x3anxn中，若2a2an30，则自然数n的值是()A7 B8 C9 D10解析：选B易知a2C，an3(1)n3C(1)n3C，又2a2an30，所以2C(1)n3C0，将各选项逐一代入检验可知n8满足上式6设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12解析：选D5

15、12 012a(1341)2 012a，被13整除余1a，结合选项可得a12时，512 012a能被13整除7(2014杭州模拟)二项式5的展开式中第四项的系数为_解析：由已知可得第四项的系数为C(2)380，注意第四项即r3.答案：808(2013四川高考)二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)解析：由二项式定理得(xy)5的展开式中x2y3项为Cx53y310x2y3，即x2y3的系数为10.答案：109(2013浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为A，则A_.解析：因为5的通项Tr1C()5rr(1)rCxx(1)rCx.令155r0，得r3，所以常数项为(

16、1)3Cx010.即A10.答案：1010已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解：令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)(12x)7展开式中a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 18

17、7.11若某一等差数列的首项为CA，公差为m的展开式中的常数项，其中m是777715除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值解：设该等差数列为an，公差为d，前n项和为Sn.由已知得又nN*，n2，CACACA54100，a1100.777715(761)77157677C7676C7611576(7676C7675C)1476M14(MN*)，777715除以19的余数是5，即m5.m的展开式的通项是Tr1C5rr(1)rC52rxr5(r0,1,2,3,4,5)，令r50，得r3，代入上式，得T44，即d4，从而等差数列的通项公式是an100(n1)(4)1044n.设其

18、前k项之和最大，则解得k25或k26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，S25S2625251 300.12从函数角度看，组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是r|rN，rn(1)证明：f(r)f(r1)；(2)利用(1)的结论，证明：当n为偶数时，(ab)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大解：(1)证明：f(r)C，f(r1)C，f(r1).则f(r)f(r1)成立(2)设n2k，f(r)f(r1)，f(r1)0，.令f(r)f(r1)，则1，则rk(等号不成立)当r1,2，k时，f(r)f(r1)成立反之，当rk1，k2，2k时，f(r)f(r1)成立f(k)C最大，即(ab)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大冲击名校1(2013新课标全国卷)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()A4 B3 C2 D1解析：选D已知(1ax)(1x)5的展开式中，x2的系数为CaC5，则a1.2(2014湖州模拟)6的展开式中的系数为12，则实数a的值为_解析：二项式6展开式中第r1项为Tr1C(2)6rrC26rarx3r，当3r2，即r5时，含有的项的系数是C2a512，解得a1.