平面解析几何初步一轮复习有答案

《平面解析几何初步一轮复习有答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面解析几何初步一轮复习有答案（21页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第四章平面解析几何初步第1课时 直线的方程基础过关1倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角叫做直线的倾斜角当直线和x轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0倾斜角的范围为_斜率:当直线的倾斜角90时,该直线的斜率即ktan；当直线的倾斜角等于90时,直线的斜率不存在2过两点P1,P2的直线的斜率公式若x1x2,则直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为903直线方程的五种形式名称方程适用范围斜截式点斜式两点式截距式一般式典型例题例1.已知直线xy4m1当m时,直线的倾斜角为45当m时,直线在x轴上的截距为1当m时,直线在y轴上的截距为当m时,直线与

2、x轴平行当m时,直线过原点解： 1 2或或2 变式训练1.1直线3yx2=0的倾斜角是A30 B60 C120 D1502设直线的斜率k=2,P13,5,P2x2,7,P1,y3是直线上的三点,则x2,y3依次是A3,4 B2,3 C4,3 D4,33直线l1与l2关于x轴对称,l1的斜率是,则l2的斜率是A B C D4直线l经过两点1,2,3,4,则该直线的方程是解：1D提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是2C提示：用斜率计算公式3A提示：两直线的斜率互为相反数42y3x1=0提示：用直线方程的两点式或点斜式例2.已知三点A1,-1,B3,3,C4,5.求证：A、B、C三点在同一条直线上.证

3、明方法一A1,-1,B3,3,C4,5,kAB=2,kBC=2,kAB=kBC,A、B、C三点共线.方法二A1,-1,B3,3,C4,5,|AB|=2,|BC|=,|AC|=3,|AB|+|BC|=|AC|,即A、B、C三点共线.方法三A1,-1,B3,3,C4,5,=2,4,=1,2,=2.又与有公共点B,A、B、C三点共线.变式训练2.设a,b,c是互不相等的三个实数,如果Aa,a3、Bb,b3、Cc,c3在同一直线上,求证：a+b+c=0.证明A、B、C三点共线,kAB=kAC,化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2,b2-c2+ab-ac=0,b-ca+b+c=0,a、b、c互不相等

4、,b-c0,a+b+c=0.例3. 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 .试求：的最大值与最小值.解：由的几何意义可知,它表示经过定点P-2,-3与曲线段AB上任一点x,y的直线的斜率k,如图可知：kPAkkPB,由已知可得：A1,1,B-1,5,k8,故的最大值为8,最小值为.变式训练3.若实数x,y满足等式2+y2=3,那么的最大值为A. B.C. D.答案D例4.已知定点P与直线l1:y4x,过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点,与x轴正半轴交于点M求使OQM面积最小的直线l的方程解：Q点在l1: y4x上,可设Q,则PQ的方程为：令y0,得：x1, M SOQM4x01010240

5、当且仅当x01即x02取等号,QPQ的方程为：,xy100变式训练4.直线l过点M,且分别交x轴y轴的正半轴于点A、B,O为坐标原点当AOB的面积最小时,求直线l的方程；当取最小值时,求直线l的方程解：设l：y1k则A,B由S4当且仅当4k,即k时等号成立AOB的面积最小值为4此时l的方程是x2y40|MA|MB|24当且仅当k即k1时等号成立此时l的方程为xy30本题也可以先设截距式方程求解小结归纳1直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系式,由斜率公式可导出直线方程的五种形式这五种形式各有特点又相互联系,解题时具体选取哪一种形式,要根据直线的特点而定2待定系数法是解析几何中常用

6、的思想方法之一,用此方法求直线方程,要注意所设方程的适用范围如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率,截距式中横纵截距存在且不为0,两点式的横纵坐标不能相同等变形后除处3在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4在运用待定数法设出直线的斜率时,就是一种默认斜率存在,若有不存在的情况时,就会出现解题漏洞,此时就要补救：较好的方法是看图,数形结合来找差距.第2课时 直线与直线的位置关系基础过关一平面内两条直线的位置关系有三种_1当直线不平行坐标轴时,直线与直线的位置关系可根据下表判定直线条件关系l1：yk1xb1l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20平行重合

7、相交2当直线平行于坐标轴时,可结合图形判定其位置关系二点到直线的距离、直线与直线的距离1P到直线AxByC0 的距离为_2直线l1l2,且其方程分别为：l1：AxByC10 l2：AxByC20,则l1与l2的距离为三两条直线的交角公式若直线l1的斜率为k1,l2的斜率为k2,则1直线l1到l2的角满足2直线l1与l2所成的角满足四两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数五五种常用的直线系方程.过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1xB1yC10.与直线ykxb平行的直线系方程为ykxm .过定点的直线系方程为yy0k与xx0.与AxByC0平行的直线

8、系方程设为AxBym0 .与AxByC0垂直的直线系方程设为BxAyC10 .典型例题例1.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+y+a2-1=0,1试判断l1与l2是否平行；2l1l2时,求a的值.解1方法一当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a1且a0时,两直线可化为l1:y=-3,l2:y=-,l1l2,解得a=-1, 综上可知,a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行. 方法二由A1B2-A2B1=0,得aa-1-12=0,由A1C2-A2C10,得a-160, l1l2a

9、=-1, 故当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.2方法一当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立.当a1时,l1:y=-x-3,l2:y=-,由=-1a=. 方法二由A1A2+B1B2=0,得a+2=0a=.变式训练1.若直线l1：ax+4y-20=0,l2：x+ay-b=0,当a、b满足什么条件时,直线l1与l2分别相交？平行？垂直？重合？解：当a=0时,直线l1斜率为0,l2斜率不存在,两直线显然垂直.当a0时,分别将两直线均化为斜截式方程为：l1：y= x+5,l2：y= x+ .1当 ,即a2时,两直线相交.2当 = 且5 时,即a=

10、2且b10或a= 2且b10时,两直线平行.3由于方程= 1无解,故仅当a=0时,两直线垂直.4当 =且5= 时,即a=2且b=10或a= 2且b=10时,两直线重合例2.已知直线l经过两条直线l1：x2y0与l2：3x4y100的交点,且与直线l3：5x2y30的夹角为,求直线l的方程解：由解得l1和l2的交点坐标为,因为直线l3的斜率为k3,l与l3的夹角为,所以直线l的斜率存在. 设所求直线l的方程为y1k则tan1k或k,故所求直线l的方程为y1或y1即7x3y110或3x7y130变式训练2.某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80米,塔所在的山高OB=22

11、0米,OA=200米,图中所示的山坡可视为直线l,且点P在直线l上,l与水平地面的夹角为,tan=.试问,此人距水平地面多高时,观看塔的视角BPC最大不计此人的身高？解如图所示,建立平面直角坐标系,则A200,0,B0,220,C0,300.直线l的方程为y=tan,则y=.设点P的坐标为x,y,则Px, .由经过两点的直线的斜率公式kPC=,kPB=.由直线PC到直线PB的角的公式得tanBPC= .要使tanBPC达到最大,只需x+-288达到最小,由均值不等式x+-2882-288,当且仅当x=时上式取得等号.故当x=320时,tanBPC最大.这时,点P的纵坐标y为y=60.由此实际问

12、题知0BPC,所以tanBPC最大时,BPC最大.故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角BPC最大.例3. 直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线,若A、B坐标分别为A、B,求点C的坐标并判断ABC的形状解：因为直线y2x是ABC中C的平分线,所以CA、CB所在直线关于y2x对称,而A关于直线y2x对称点A1必在CB边所在直线上设A1则得即A1由A1,B求得CB边所在直线的方程为：3xy100又由解得C又可求得：kBC3,kACkBCkAC1,即ABC是直角三角形变式训练3.三条直线l1：x+y+a=0,l2：x+ay+1=0,l3：ax+y+1=0能构成三角形,#数a的取值范围.解：

13、aR且a1,a-2提示：因三条直线能构成三角形,故三条直线两两相交且不共点,即任意两条直线都不平行且三线不共点.1若l1、l2、l3相交于同一点,则l1与l2的交点-a-1,1在直线l3上,于是a+1+1=0,此时a=1或a= -2.2若l1l2,则-1 = - ,a=1.3若l1l3,则-1 = - a,a=1.4若l2l3,则- = -a,a= 1.例4.设点A和B,在直线l：3x4y40上找一点p,使为最小,并求出这个最小值解：设点A关于直线l的对称点A的坐标为,则由AAl和AA被l平分,则解之得a3,b3,Amin|AB|5kAB18AB的方程为y318解方程组得P变式训练4：已知过点

14、A1,1且斜率为m0的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点,过P、Q作直线2xy0的垂线,垂足分别为R、S,求四边形PRSQ的面积的最小值解：设l的方程为y1m,则P1,0,Q0,1m从则直线PR：x2y0；直线QS：x2y20 又PRQS | RS |又| PR |,| QS |而四边形PRSQ为直角梯形, SPRSQ223.6四边形PRSQ的面积的最小值为3.6小结归纳1处理两直线位置关系的有关问题时,要注意其满足的条件如两直线垂直时,有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直2注意数形结合,依据条件画出图形,充分利用平面图形的性质和图形的直观性,有助于问题的解决3利用直线系方程

15、可少走弯路,使一些问题得到简捷的解法4解决对称问题中,若是成中心点对称的,关键是运用中点公式,而对于轴对称问题,一般是转化为求对称点,其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上,如例4基础过关第3课时 线性规划1二元一次不等式表示的平面区域一般地,二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不含边界线,不等式AxByC0所表示的平面区域包括边界线对于直线AxByC0同一侧的所有点使得AxByC的值符号相同因此,如果直线AxByC0一侧的点使AxByC0,另一侧的点就使AxByC0或AxByC所表示的平面区域时,只要

16、在直线AxByC0的一侧任意取一点,将它的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足不等式,不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式,就表示这个点所在区域的另一侧平面区域由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划基本概念名称意义线性约束条件由x、y的一次不等式组成的不等式组,是对x、y的约束条件目标函数关于x、y的解析式如：z2xy,zx2y2等线性目标函数关于x、y的一次解析式可行解满足线性约束条件x、y的解x,y叫做可行解可行域所有可行解组成的集合叫做可行域最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下

17、的最大值或最小值的问题用图解法解决线性规划问题的一般步骤：设出所求的未知数；列出约束条件；建立目标函数；作出可行域和目标函数的等值线；运用图解法即平行移动目标函数等值线,求出最优解有些实际问题应注意其整解性典型例题例1.若ABC的三个顶点为A,B,C,写出ABC区域含边界表示的二元一次不等式组解：由两点式得AB、BC、CA直线的方程并化简得AB：x2y10,BC：xy20,CA：2xy50结合区域图易得不等式组为变式训练1：ABC的三个顶点为A、B、C,则ABC的内部可用二元一次不等式组表示为ACyxB例2.已知x、y满足约束条件分别求： z2xy z4x3y zx2+y2的最大值、最小值？解

18、：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分其中A,B,C 作与直线2xy0平行的直线l1：2xyt,则当l1经过点A时,t取最大,l1经过点B时,t取最小zmax9 zmin13 作与直线4x3y0平行的直线l2：4x3yt,则当l2过点C时,t最小,l2过点B时,t最大zmax14 zmin18 由zx2y2,则表示点到的距离,结合不等式组表示的区域知点B到原点的距离最大,当为原点时距离为0zmax37 zmin0变式训练2：给出平面区域如下图所示,目标函数taxy, 若在区域上有无穷多个点可使目标函数t取得最小值,求此时a的值 若当且仅当x,y时,目标函数t取得最小值,#数a的

19、取值范围？x0ACBy解：由taxy得yaxt要使t取得最小时的有无穷多个,则yaxt与AC重合akAC由KAC a KBC 得 a.例3. 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种72立方米,第二种有56立方米,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米,第二种木料0.08立方米,可获利润6元,生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米,第二种0.28立方米,可获利10元,木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y,所获利润为z,则：xyMO即则z6x10y作出可行域如图由得即M由图可知

20、,当直线l：6x10y0平移到经过点M时,z6x10y最大,即当x350,y100时,z6x10y最大变式训练3：某厂要生产甲种产品45个,乙种产品55个,可用原料为A、B两种规格的金属板,每张面积分别为2m2和3m2,用A种可造甲种产品3个和乙种产品5个,用B种可造甲、乙两种产品各6个问A、B两种产品各取多少块可保证完成任务,且使总的用料最小解：设A种取x块,B种取y块,总用料为z m2,则AxylO515 z2x3y 可行域如图：最优解为A,x5,y5时,zmin25,即A、B两种各取5块时可保证完成任务,且总的用料最省为25m2例4.预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子,希

21、望桌子的总数尽可能的多,但解：椅子的总数不能少于桌子的总数,但不多于桌子数的1.5倍,问桌椅各买多少才合适？设桌椅分别买x、y张,由题意得：由解得：点A由解得点B满足以上不等式组表示的区域是以A、B、O为顶点的AOB与内部设xyz,即yxz；当直线过点B时,即x25,y,z最大 yz,y37买桌子25张,椅子37张是最优选择变式训练4：A1、A2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨,需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B1、B2两车站外运,用汽车将煤运到车站,A1的煤运到B1、B2的运费分别为3元/吨和5元/吨,A2的煤运到B1、B2的运费分别为7元/吨和8元/吨,问如何设计调运方案可使总运费最

22、少？xyAl1O102018解：设A1运到B1 x万吨,A2运到B1 y万吨,总运费为z万元,则A1运到B2万吨,A2运到B2万吨,z3x57y8 1842xy,x、y满足可行域如图阴影部分当x8时,y12时,zmin156即A1的8万吨煤全运到B1,A2运到12万吨运到B1,剩余6万吨运到B2,这时总运费最少为156万元小结归纳1二元一次不等式或不等式组表示的平面区域：直线确定边界；特殊点确定区域2线性规划实际上是数形结合的数学思想的体现,是一种求最值的方法3把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点,求解关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解而在考虑约

23、束条件时,除数学概念的条件约束外,还要深入其境、考虑实际意义的约束4解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的,所以作图尽可能精确,图上操作尽可能规范.但最优点不易辨别时,要逐一检查基础过关第4课时 曲线与方程、1直接法求轨迹的一般步骤：建系设标,列式表标,化简作答除杂2求曲线轨迹方程,常用的方法有：直接法、定义法、代入法相关点法、转移法、参数法、交轨法等典型例题例1.如图所示,过点P2,4作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A,l2交y轴于B,求线段AB中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标为x,y,M是线段AB的中点,A点的坐标为2x,0,B点的坐标为0,2y.=2x-2,-4,=-2,2y

24、-4.由已知=0,-22x-2-42y-4=0,即x+2y-5=0.线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.变式训练1：已知两点M-2,0、N2,0,点P为坐标平面内的动点,满足|+ =0,求动点Px,y的轨迹方程.解由题意：=4,0,=x+2,y,=x-2,y,|+=0,+x-24+y0=0,两边平方,化简得y2=-8x.例2.在ABC中,A为动点,B、C为定点,B,C且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是A.=1 B.=1 C.=1y0的左支D.=1y0的右支答案D变式训练2：已知圆C1：2+y2=1和圆C2：x-32+y2=9,动圆M同时与圆C1与圆C2相外切,

25、求动圆圆心M的轨迹方程.解如图所示,设动圆M与圆C1与圆C2分别外切于点A和点B,根据两圆外切的充要条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2,C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支点M到C2的距离大,到C1的距离小,这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为x,y,其轨迹方程为x2-=1 .例3. 如图所示,已知P4,0是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足APB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨

26、迹方程.解设AB的中点为R,坐标为x1,y1,Q点坐标为x,y,则在RtABP中,|AR|=|PR|,又因为R是弦AB的中点,依垂径定理有RtOAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-.又|AR|=|PR|=,所以有x1-42+=36-.即-4x1-10=0.因为R为PQ的中点,所以x1=,y1=.代入方程-4x1-10=0,得-10=0.整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.变式训练3：设F1,0,M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.解设Mx0,0,P0,y0,Nx,y,由=2得x-x0,y=2-x0,y0,即,=, =,1,-y0=

27、0,x0+=0.小结归纳-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.1直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件,找出动点满足的等量关系,这个等量关系有的可直接利用已知条件,有的需要转化后才能用2回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径3所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动,常用代入法求轨迹第5课时 圆的方程基础过关1圆心为C,半径为r的圆的标准方程为_2圆的一般方程x2y2DxEyF00,圆心为,半径r3二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的方程的充要条件是4圆C：22r2的参数方程为_x2y2r2的参数方程为_5过两圆的公共点的圆系方程：设C1：x2y2D1x

28、E1yF10,C2：x2y2D2xE2yF20,则经过两圆公共点的圆系方程为典型例题例1.根据下列条件,求圆的方程 经过A,B两点,并且圆心在直线3x10y90上 经过P,Q两点,并且在x轴上截得的弦长为6解：AB的中垂线方程为3x2y150由解得圆心为C,半径r故所求圆的方程为2265设圆的一般方程为x2y2DxEyF0将P、Q两点坐标代入得令y0得x2DxF0由弦长|x1x2|6得D24F36 解可得D2,E4,F8或D6,E8,F0故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0变式训练1：求过点A2,3,B2,5,且圆心在直线x2y3=0上的圆的方程由A2,3,B2,5,得直线

29、AB的斜率为kAB= = ,线段AB的中点为0,4,线段AB的中垂线方程为y4=2x,即y2x4=0,解方程组得圆心为1,2,根据两点间的距离公式,得半径r=所求圆的方程为x122=10例2.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OPOQO为坐标原点,求该圆的圆心坐标与半径.解方法一将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设Px1,y1,Q,则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=OPOQ,x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6+4y1y2.m=3,此时0,圆心坐标

30、为,半径r=.方法二如图所示,设弦PQ中点为M,O1MPQ,.O1M的方程为:y-3=2,即：y=2x+4.由方程组解得M的坐标为-1,2.则以PQ为直径的圆可设为x+12+y-22=r2.OPOQ,点O在以PQ为直径的圆上.0+12+0-22=r2,即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中,O1Q2=O1M2+MQ2.2+5=m=3.半径为,圆心为.方法三设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+=0.由OPOQ知,点O0,0在圆上.m-3=0,即m=3.圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+x+y2+2y=0.圆心M,又圆在PQ上.-+23-3=0,=1,

31、m=3.圆心为,半径为.变式训练2：已知圆C：x-12+2=25与直线l:x+y=7m+4 .1证明：不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交；2求直线l被圆C截得的弦长的最短长度与此时的直线方程.1证明直线l可化为x+y-4+m=0,即不论m取什么实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立,解得交点为3,1,又有3-12+1-22=525,点3,1在圆内部,不论m为何实数,直线l与圆恒相交.2解从1的结论和直线l过定点M3,1且与过此点的圆C的半径垂直时,l被圆所截的弦长|AB|最短,由垂径定理得|AB|=2=此时,kt=-,从而kt=-=2.l的方程为y-1=2,即2

32、x-y=5.例3. 知点Px,y是圆2+y2=1上任意一点.1求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；2求x-2y的最大值和最小值；3求的最大值和最小值.解1圆心C-2,0到直线3x+4y+12=0的距离为d=.P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=,最小值为d-r=-1=.2设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆x+22+y2=1有公共点.1.-2t-2,tmax=-2,tmin=-2-.3设k=,则直线kx-y-k+2=0与圆x+22+y2=1有公共点,1.k,kmax=,kmin=.变式训练3：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.1

33、求y-x的最大值和最小值；2求x2+y2的最大值和最小值.解1y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时,解得b=-2.所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.2x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为=2,所以x2+y2的最大值是2+2=7+4,x2+y2的最小值是2-2=7-4.例4.设圆满足：截y轴所得的弦长为2；被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为31在满足条件的所有圆中,求圆心到直线l：x2y=0的距离最小的圆的方程.解法一设圆的圆

34、心为Pa,b,半径为r,则点P到x轴y轴的距离分别为b、a.由题设条件知圆P截x轴所得的劣弧所对的圆心角为90,圆P截x轴所得的弦长为r,故r2=2b2又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a21,从而得2b2=a21点P到直线x2y=0的距离为d=,5d2=2=a24b24ab= 2a22b24ab1=2211当且仅当a=b时取等号,此时,5d2=1, d取得最小值由a=b与2b2=a21得,进而得r2=2所求圆的方程为x122=2或x122=2解法二同解法一,得d=,所以a2b= da2=4b24bd5d2,将a2=2b21代入整理得2b24bd5d21=0 把看成关于b的二次方程,由于

35、方程有实数根,故0即85d210, 5d21可见5d2有最小值1,从而d有最小值,将其代入式得2b24b2=0, b= 1, r2=2b2=2, a2=2b21=1, a= 1由a2b=1知a、b同号故所求圆的方程为x122=2或x122=2变式训练4：如图,图O1和圆O2的半径都等于1,O1O24,过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN,使得PMPN,试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程O1O2NMPOxy22O1O2NMP解：以O1、O2的中点为原点,O1O2所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则O1、O2如图：由PMPN得PM22PN2 PO1212,设P 2y2122y2

36、1即2y233为所求点P的轨迹方程小结归纳1本节主要复习了圆的轨迹方程,要明确：必须具备三个独立条件,才能确定一个圆的方程2求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关,可先由已知条件求出圆的半径,用标准方程求解；若条件涉与过几点,往往可考虑用一般方程；若所求的圆过两已知圆的交点,则一般用圆系方程3求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算4运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便5点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.基础过关第6课时 直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,

37、设它的判别式为,圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切dr0相交相离2圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,则两圆的位置关系满足以下条件：外离d Rr外切相交内切内含3. 圆的切线方程圆x2y2r2上一点p处的切线方程为l: .圆22r2上一点p处的切线方程为l :.圆x2y2DxEyF0上一点p处的切线方程为.典型例题P2P1PxyO例1.过：x2y22外一点P向圆引切线求过点P的圆的切线方程若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程解：设过点P的切线方程为y2k即kxy+24k0 则d解得k1或k切线方程为：xy20或x7y100 设切点1、P

38、2,则两切线的方程可写成l1: x1xy1y2,l2：x2xy2y因为点在l1和l2上则有4 x12y12 4x22y22这表明两点都在直线4x2y2上,由于两点只能确定一条直线,故直线2 xy10即为所求变式训练1：1已知点P和圆C：,过P作C的切线有两条,则k的取值范围是A.kR.k. D.2设集合A=x,y|x2y24,B=|22r2,当AB=B时,r的取值范围是A0,1 B0,1 C0,2 D0,3若实数x、y满足等式,那么的最大值为A.4过点M且被圆截得弦长为8的直线的方程为5圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆和的交点的圆的方程是.解：1D提示：P在圆外2C提示：两圆内切或内含3

39、D提示：从纯代数角度看,设t=,则y=tx,代入已知的二元二次方程,用0,可解得t的范围.从数形结合角度看,是圆上一点与原点连线的斜率,切线的斜率是边界4提示：用点到直线的距离公式,求直线的斜率5.提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出,其中的一个待定系数,可依据圆心在已知直线上求得例2. 求经过点A,且与圆：x2y22x6y50相切于点B的圆的方程解：圆C的方程可化为225圆心C,直线BC的方程为：x2y50又线段AB的中点D,kAB1线段AB的垂直平分线方程为：yx即xy20 联立解得x3,y1所求圆的圆心为E,半径|BE|所求圆的方程为225变式训练2：求圆心在直线5x-3y=

40、8上,且与坐标轴相切圆的标准方程解：设所求圆的方程为2+2=r2,圆与坐标轴相切,a=b,r=a又圆心在直线5x-3y=8上.5a-3b=8,由得所求圆的方程为：x-42+2=16或2+21例3. 已知直线l：yk与圆O：x2y24相交于A、B两点,O为坐标原点AOB的面积为S试将S表示为k的函数S,并求出它的定义域求S的最大值,并求出此时的k值解：圆心O到AB的距离d由d21 k 1|AB|4 S4 解法一：据令1k2t k2t11 t S4442当即k时,等号成立k为所求解法二：ABD的面积S|OA|OB|sinAOB2sinAOB当AOB90时,S可取最大值2,此时,设AB的中点为C则O

41、C|OA|由O到直线的距离为|OC|得,k变式训练3：点P在直线上,PA、PB与圆相切于A、B两点,求四边形PAOB面积的最小值答案：8.提示：四边形可以分成两个全等的直角三角形,要面积最小,只要切线长最小,亦即P到圆心距离要最小例4.已知圆C方程为：,直线l的方程为：2m1xy7m4=01证明：无论m取何值,直线l与圆C恒有两个公共点.2求直线l被圆C截得的线段的最短长度,并求出此时的m值提示：1用点到直线的距离公式,证明r2d20恒成立2求1中r2d2的最小值,得直线l被圆C截得的线段的最短长度为4,此时的m值为变式训练4：已知圆系,其中a1,且aR,则该圆系恒过定点答案：1,1提示：将a取两个特殊值,得两个圆的方程,求其交点,必为所求的定点,故求出交点坐标后,只须再验证即可.另一方面,我们将方程按字母a重新整理,要使得原方程对任意a都成立,只须a的系数与式中不含a的部分同时为零小结归纳1处理直线与圆、圆与圆的位置关系的相关问题,有代数法和几何法两种方法,但用几何法往往较简便2圆的弦长公式l2利用这一弦长公式比用一般二次曲线的弦长公式l要方便3为简化运算,处理交点问题时,常采用设而不求的方法,一般是设出交点后,再用韦达定理处理,这种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中也常常用到- 21 - / 21