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1、与三角形有关的向量问题三角形有关的问题可以很好体现向量的核心问题如和差、数乘、数量积。在与三角形的重心、垂心、外心、内心等问题的联系上特别值得重视。一、 三角形基本问题例1. 如图ABC中，= c，= a，= b， 则下列推导不正确的是（D） A若a b 0，则ABC为钝角三角形。 B若a b = 0，则ABC为直角三角形。 C若a b = bc，则ABC为等腰三角形。D若c(a + b + c) = 0，则ABC为正三角形。 解：Aab = |a|b| 0，则 0，q为钝角 B显然成立 C由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等 Da + b + c = 0, 上
2、式必为0，不能说明ABC为正三角形ABCNM例2. 如图：已知MN是ABC的中位线，求证：MN=BC, 且MNBC证：MN是ABC的中位线，, MN=BC, 且MNBC 例 3. 已知：平面上三点O、A、B不共线，求证：平面上任一点C与A、B共线的充要条件是存在实数和，使=+ ，且+ = 1。证：必要性：设A,B,C三点共线，则可设= t (tR)则=+=+ t=+ t(-) = (1-t)+ t令1-t =，t = ，则有：=+ ，且+ = 1充分性：=-=+ -= (-1)+ = -+ = (-) = 三点A、B、C共线例4.（04浙江） 已知平面上三点满足，则的值等于 一般地对于的结论是
3、例 . 某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。 P B A Ovv-2a解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v - a，设= -a，= -2a+= = v - a，这就是感到由正北方向吹来的风速，+= = v -2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：PBO = 45, PABO, BA = AO 从而，POB为等腰直角三角形，PO = PB =a 即：|v | =a实际风速是a的西北风二、 三角
4、形重心问题例1 . 已知是内一点，+=，则是的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例1.1 已知是内一点， +2+3=，则问的面积与的面积的比是多少？解：（一）平行四边形法：设分别是的中点，则，故可得： ，即， 故，则（二）化归法：延长使，延长使，则是的重心， ，例2. 已知是平面内一点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例3. 已知是平面内一点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。 A B
5、 C E F D G证：设= b，= a，则=+= b+a, =A, G, D共线，B, G, E共线可设=，= ,则=(b+a)=b+a,= = (b+a)=b+a, 即：b + (b+a) =b+a(-)a + (-+)b = 0 a, b不平行，即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF三、 三角形垂心问题例1. 中，为其外心，为平面内一点， ，则是的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例2. 已知是平面内一点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心解：，且例3. 已知是所在平面上一点，若
6、，则是 A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例4. 如图，AD、BE、CF是ABC的三条高，ABCDEFH求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H，= a, = b, = h,则= h - a , = h - b , = b - a , 又点D在AH的延长线上，AD、BE、CF相交于一点例 4. 已知O为ABC所在平面内一点，且满足BCO|2 + |2 = |2 + |2 = |2 + |2，则是三角形的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心解：设= a, = b, = c,则= c - b, = a - c, = b - a由题设：2 +2 =2 +2
7、=2 +2，化简：a2 + (c - b)2 = b2 + (a - c)2 = c2 + (b - a)2 得： cb = ac = ba从而= (b - a)c = bc - ac = 0 同理：, 四、 三角形外心问题例1. 已知是所在平面上一点，若，则是的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例2. 已知是平面内一点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心解：点在的垂直平分线上五、 三角形内心问题例1. 已知是平面内一点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例2. 是所在平面上一点，所对的边分别是，若，则是的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心解：因为，又，所以，即例3. 三个不共线向量满足=则是的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例4. 若是的内心，所对的边分别是，为所在平面上一点，求证：六、 三角形心心关系在中，分别是的外心、重心、垂心。（1） 求证：；（2） 求证：三点共线；（3） 若，求的大小.解：连接BO并延长交外接圆于点D 连接AD,CD,AH,CH,显然，所以，同理，所以，即，所以因为是是的重心，所以=。，则，所以，两边平方并注意到，又=，七、
与三角形有关的向量问题
