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1、20082009学年第一学期概率论与数理统计B试卷 答案 2009年6 月7 日 1. 已知事件和满足，且，则 0.6 2在3重伯努利试验中，已知事件至少出现一次的概率为0.992，则在一次试验中出现的概率为 0.8 3设随机变量，且，则 0.2 4设随机变量和的方差分别为，相关系数，则 85 5设是来自总体的样本，则的矩估计量是 6设是来自总体的样本,为样本均值,为样本方差,未知,若检验假设,应取检验统计量 .得分二、选择题（每小题3分，满分18分,把答案填在括号内）1设有4张卡片分别标以数字1，2，3，4，今任取一张；设事件为取到1或2，事件为取到1或3，则事件与是（ C ）（A）事件和互
2、不相容 （B）事件和互逆（C）事件和相互独立 （D）2设随机变量和的相关系数为0.7,若,则与的相关系数为 ( D )（A）0.3 （B）0.4 （C）0.6 （D）0.73设随机变量，则服从（ A ）（A）（B）（C）（D）4任何连续型随机变量的一阶中心矩都是( D )（A）0 （B） （C）1 （D）不确定5设随机变量和都服从标准正态分布,则( C )（A）服从标准正态分布 （B）服从分布 （C）和都服从分布 （D）服从分布6对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受那么在显著水平0.02下,下面结论正确的是( A )（A）必接受（B）可能接受,也可能拒绝（C）必拒绝（
3、D）不接受,也不拒绝得分三、计算题（共5题，满分50分）1.(10分) 某商店现有15台电脑，其中3台次品，已知售出了2台，问剩下的电脑中，任取一台是合格品的概率是多少？ 解 设表示事件“从剩下的电脑中任取一台是合格品”， 表示事件“售出的2台中恰有台合格品”，则5分由全概率公式，得 10分 2.(10分)已知随机变量X的概率密度为求(1)常数的值；(2) 分布函数F(x)； (3) 求PX0.5.解: (1)由即得到 , 解得 3分 (2) .当时，当时，当时，.所以，随机变量的分布函数为 .8分(3) PX0.5=3/8. 10分 3(10分) 若随机变量的概率密度为 求随机变量的概率密度
4、函数.解：由于只在区间内取值，所以也只在区间内取值。 于是，当时，； 当时，由，6分两边同时对求导，得，所以， （即）. 10分4(10分)设随机变量相互独立,都在区间(0,1)上服从均匀分布, 利用卷积公式求的概率密度解:解法1. 由已知可得随机变量X,Y概率密度为, 代入卷积公式 5分当,时, ,当时, ,当时,，所以 10分 解法2. 由已知可得随机变量X,Y概率密度为, 代入卷积公式 5分 10分5(10分)设总体概率密度函数为,为总体的一个样本,试求参数的最大似然估计量.解: 设是样本的观测值（）,则样本的似然函数为5分取对数 ，令 ，解得的最大似然估计值为 , 8分又故的最大似然估计量为,其中.10分得分四、证明题（共2道小题，满分14分）1（7分）设总体的均值及方差都存在，与均未知，是的样本，试证明不论总体服从什么分布，样本方差都是总体方差的无偏估计证明 因为4分7分2.（7分）设随机变量服从正态分布，服从正态分布,且,证明 证明: 由于 所以 ,则 ,同理 , 4分从而有 ,而单调不减,故 . 7分
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