平面向量高中人教版

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1、平面向量教学目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等，进行向量计算理解向量共线的充要条件。能用两个不共线向量表示一个向量； 或一个向量分解为两个向量。要求学生理解点P分有向线段所成的比的含义和有向线段的定比分点公式，并能应用解题。教学难点：根据图形判定向量是否平行、共线、相等，进行向量计算理解向量共线的充要条件。能用两个不共线向量表示一个向量； 或一个向量分解为两个向量。要求学生理解点P分有向线段所成的比的含义和有向线段的定比分点公式，A B一、实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图

2、）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 提出课题：平面向量1 意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等注意：1数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 A(起点) B（终点）a 2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。2 向量的表示方法： 1几何表示法：点射线 有向线段具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度AB北 记作（注意起讫） 2字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm表示5n mail（海里）3 模的概念：向量

3、的大小长度称为向量的模。 记作：| 模是可以比较大小的4 两个特殊的向量： 1零向量长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2单位向量长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？ 答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。二、向量间的关系：1 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。abc 记作： 规定：与任一向量平行2 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相

4、等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。3 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。C O B A = = =例：（P95）略变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（）三、向量的加法一、 提出课题：向量是否能进行运算？A B C1.某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：C A B 2、 若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，A BC 则两次的位移和：3、某车从A到B，再从B改变方向到C，A BC 则两次的

5、位移和：4、船速为，水速为， 则两速度和：提出课题：向量的加法 二、1定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）a a2三角形法则：Caa+bbabba+ba+bBA 强调： 1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2可以推广到n个向量连加 3 4不共线向量都可以采用这种法则三角形法则OABaaabbb 3例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点， 作 则4加法的交换律和平行四边形法则 上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同 从而得到：1向量加法的平行四边形法则 2向量加法的交换律：+=+ABCDaca+b+

6、cba+bb+c5 向量加法的结合律：(+) +=+ (+)证：如图：使, , 则(+) += + (+) =(+) +=+ (+)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。四、向量的减法1 用“相反向量”定义向量的减法 1“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = -b, b = -a, a + b = 0 3向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a - b = a + (-b)

7、求两个向量差的运算叫做向量的减法。2 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：OabBaba-b 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O， 作= a, = b 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。 注意：1表示a - b。强调：差向量“箭头”指向被减数 2用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。OABaBb-bbBa

8、+ (-b)aba-bAABBBOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-b4 abc a - b = a + (-b) a - b 例一、 设a表示“向东走3km”，b表示“向北走3km”， B a+b bO a A 则a + b表示向东北走km 解：= + (km)例二、 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。A B D CO 证：由向量加法法则： = +, = + 由已知：=, = = 即AB与CD平行且相等 A BO P C E F ABCD为平行四边形例三、 在正六边形中，若= a, = b，试用 向量a、b将、表示出来。 解：设正六边形中心为P 则a + b +

9、a a + b + a + b 由对称性：= b + b + a五、实数与向量的积1引入新课：已知非零向量 作出+和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN=+=3=(-)+(-)+(-)=-3 讨论：13与方向相同且|3|=3| 2-3与方向相反且|-3|=3|2从而提出课题：实数与向量的积 实数与向量的积，记作：定义：实数与向量的积是一个向量，记作： 1|=|20时与方向相同；时 两边向量的方向都与同向当0且1时在平面内任取一点O，作 则+ +由作法知：有OAB=OA1B1 |=| OABOA1B1 AOB= A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，|=| 与方向也相同AOBB1A1(+

10、)=+ 当0(内分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-10内分 0外分 -1 若P与P1重合，=0 P与P2重合 不存在 2 中点公式是定比分点公式的特例3 始点终点很重要，如P分的定比= 则P分的定比=24 公式：如 x1, x2, x, 知三求一例四 过点P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点，使| P1P|:| PP2|=3, 求P点坐标OP1PP2P 解：当P内分时 =3 当P外分时=-3当=3得P(5,0)当=-3得P(8,-3)例五 ABC顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) BAC平分线交BC边于D, DBCA求D点坐标解：AD平分角BAC|AC|=|AB|=D分向量所成比=设D点坐标(x, y) 则 D点坐标为：(1,)