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1、课时规范练43空间向量及其运算课时规范练第69页一、选择题1.在下列命题中:若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;已知空间三个向量a,b,c,对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:A解析:中a与b所在的直线有可能重合;中a与b中可能有一个为零向量;中举反例“空间直角坐标系的三个坐标轴”;中前提必须是a,b,c不共面.2.对空间任意一点O,若,则A,B,C,P四点()A.一定不共面B.一定共面C
2、.不一定共面D.与O点的位置有关答案:B解析:由=1知P点在平面ABC内,即A,B,C,P四点共面.3.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=平行,则=()A.B.C.-D.-答案:C解析:ab,b=ma,mR.=-.4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,用a,b,c表示为()A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c答案:A解析:如题图,)=c+(b-a)=-a+b+c.5.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|取最小值时,x的值为()A.19B.-C.D.答案:C解析:=(1-x,2
3、x-3,-3x+3),|=.当x=时,|取最小值.6.若向量a=(1,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则等于()A.2B.-2C.-2或D.2或-答案:C解析:由已知得,8=3(6-),解得=-2或=.7.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.答案:A解析:如图,连接AC交BD于点O,连接C1O,过C作CHC1O于点H.CH平面C1BD,HDC为CD与平面BDC1所成的角.设AA1=2AB=2,则OC=,C1O=.由等面积法,得C1OCH=OCCC1,即CH=2,CH=.sinHDC=.故选A.
4、二、填空题8.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为.答案:解析:b-a=(1+t,2t-1,0),|b-a|2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2=5=5.当t=时,|b-a,|b-a|最小=.9.如图所示,已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为AD的中点,若=(),则=.答案:解析:如图所示,取AC的中点G,连接EG,GF,则).=.10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,B1A1C1=90,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为.答案:解析:以A为原点建立空间直角坐标系,如图所
5、示,A1(0,0,2),C(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,1,2),则=(1,-1,-1),=(0,1,-2),|=,|=1,cos=,故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为.三、解答题11.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.若m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直,求m,n应满足的关系式.解:a=(1,1,0),b=(-1,0,2),a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2),2a-b=(3,2,-2).m(a+b)+n(a-b)=(2n,m+n,2m-2n).m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直,m(a+b)+
6、n(a-b)(2a-b)=32n+2(m+n)-2(2m-2n)=12n-2m=0,m=6n,即当m=6n时,可使m(a+b)+n(a-b)与2a-b垂直.12.如图,在四棱锥S-ABCD中,ABAD,ABCD,CD=3AB=3,平面SAD平面ABCD,E是线段AD上一点,AE=ED=,SEAD. (1)求证:平面SBE平面SEC;(2)若SE=1,求直线CE与平面SBC所成角的正弦值.解：(1)证明:平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCD=AD,SE平面SAD,SEAD,SE平面ABCD.BE平面ABCD,SEBE.ABAD,ABCD,CD=3AB=3,AE=ED=,AEB=30,CED=60,BEC=90,即BECE.又SECE=E,BE平面SEC.BE平面SBE,平面SBE平面SEC.(2)解由(1)知,直线ES,EB,EC两两垂直.如图,以E为原点,EB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴,ES所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.则E(0,0,0),C(0,2,0),S(0,0,1),B(2,0,0),=(0,-2,0),=(2,-2,0),=(0,-2,1).设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,得x=,z=2,平面SBC的一个法向量为n=(,1,2).设直线CE与平面SBC所成角的大小为,则sin=,直线CE与平面SBC所成角的正弦值为.
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