2013高中数学精讲精练(新人教A版)第07章立体几何初步

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1、2013高中数学精讲精练 第七章 立体几何初步【知识图解】空间几何体构成几何体的基本元素柱、锥、台、球的特征直观认识线面平行与垂直表面积与体积中心投影与平行投影直观图与三视图的画法点、线、面之间的位置关系平面的基本性质确定平面的位置关系空间中的平行关系直线与直线的平行关系直线与平面平行的判断及性质平面与平面平行的判断及性质空间中的垂直关系直线与平面垂直的判断及性质平面与平面垂直的判断及性质直线与直线的垂直关系【方法点拨】立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的

2、位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点：1注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。2归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。3抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。4复习中要加强数学思想方法

3、的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。第1课 空间几何体【考点导读】1观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。【基础练习】1一个凸多

4、面体有8个顶点，如果它是棱锥，那么它有 14 条棱， 8 个面；如果它是棱柱，那么它有 12 条棱 6 个面。2.（1）如图，在正四面体ABCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 。 （2）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的 （要求：把可能的图的序号都填上）.【范例导析】例1下列命题中，假命题是 （1）（3） 。（选出所有可能的答案）（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形（3）有两

5、个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。例2是正ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么ABC的面积为_。解析：。点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。例3（1）画出下列几何体的三视图（2）（2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视

6、图。解析：（1）这两个几何体的三视图分别如下：（2）该几何体为一个正四棱锥。点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。【反馈演练】1一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是。2如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.

7、若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=。解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加R2r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3=R2r。故。答案为。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。3在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120（如图所示），若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是。4空间四边形中，分别是边上的点，且为平行四边形，则四边形的周长的取值范围是_。5三棱锥中，其余棱长均为1。PABCM（1）求证：；（2）求三棱锥的体积的最大值。解：（1）取中点，与均为正三角形， 平面。 (2)当平面时，三棱锥的高为，此时6已知

8、圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）求圆锥的全面积 解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，由题意得：,即,所以母线和底面所成的角为(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与AC的交点，则OO1/AB且在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物线的顶点，所以抛物线方程为x2=2py，点N的坐标为（R，R），代入方程得：R2=2p（R），得：R=2p，l=2R=4p.圆锥的全面积为.说明：将立体几何与解析几

9、何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. 第2课 平面的性质与直线的位置关系【考点导读】1掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。2掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。3理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。【基础练习】1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3） 。（1）， （2），（3）， （4），2下列推断中，错误的是 （4） 。（1） （2），A,B,C不共线重合（3） （4）3判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2

10、）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）（3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）4如右图，点E是正方体的棱的中点，则过点E与直线和都相交的直线的条数是： 1 条5完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE是异面直线证明：假设_ 共面于g，则点A、E、B、D都在平面_ _内 QAa，Da，_. QPa，P_.QPb，Bb，Pc

11、，Ec _ _g， _g，这与_矛盾 BD、AE_答案：假设BD、AE共面于g，则点A、E、B、D都在平面 g 内。Aa，Da， a g. Pa，P g .Pb，Bb，Pc，Ec. b g，c g，这与a、b、c不共面矛盾BD、AE是异面直线翰林【范例导析】例1已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面分析 ：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，也可以转化为直线共面的条件即几何证法。解：法一：（1）四边形是平行四边形，共面；（2），又，所以，平面平面法二：（1） 同理 又 共面；（2）由（1）知：，从而可证同理可证，所以，平面平面点评：熟练掌握定理是证明的

12、关键，要学会灵活运用。例2已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若ACBD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若ABBCCDDA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇分析：证明两条直线异面通常采用反证法。证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，所以A、B、C、D四点共面这与空间四边形ABCD的定义矛盾所以对角线AC与BD是异面直线 (2)解：E,F分别为AB,BC的中点,EF/AC,且EF=AC.同理HG/AC,且HG=AC.EF平行且相等HG,EFGH是平行四边形.又F,G

13、分别为BC,CD的中点,FG/BD,EFG是异面直线AC与BD所成的角.ACBD,EFG=90o.EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。例3如图，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形简证：由可以证得所以 又可以由正方体的性质证明所以四边形是平行四边形例4：如图，已知平面，且是垂足（）求证：平面；（）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论解：（）因为，所以同理又，故平面（）平面平面。证明如下：设与平面的交点为，连结、因

14、为平面，所以，所以是二面角的平面角又，所以，即在平面四边形中，所以故平面平面【反馈演练】1判断题（对的打“”，错的打“”） （1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（ ） （2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则ABCD（ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60（ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（ ）答案：（1） （2） （3） （4） 2定点P不在ABC所在平面内，过P作平面，使ABC的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有 4 个。3给出以下四个命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线

15、上有一点在平面外，则该直线在平面外；（3）若直线a,b,c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；（4）两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。DBCA4如图，已知（A,B不重合）过A在平面内作直线AC，过B在平面内作直线BD。求证：AC和BD是异面直线。证明：（反证法）若AC和BD不是异面直线，设确定平面，则由题意可知：平面和都过AC和AC外一点B，所以两平面重合。同理可证平面和也重合，所以平面和也重合。这与已知条件平面和相交矛盾。所以AC和BD是异面直线。第3课 空间中的平行关系【考点导读】1掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。2明确定义与定理

16、的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。3要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。【基础练习】1若为异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是 异面或相交。 2给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行. 垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 4 个。3对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l 垂直 。4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，、r是三个不重合的平面，下面六个命题：ac，bcab；ar，brab；

17、c，c；r，r；ac，ca；ar，ra其中正确的命题是 。 【范例导析】例1如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形求证：AB平面EFG证明：面EFGH是截面点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上EH 面ABC，GF 面ABD，由已知，EHGFEH面ABD又EH 面BAC，面ABC面ABD=ABEHABAB面EFG例2 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN平面AA1B1B.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种转化方式。简证：法1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。

18、即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，如图所示作平行线即可。ABCDNFEMA11B11D11C11法2：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连CN并延长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MNB1P.法3：把证“线面平行”转化为证“面面平行”。过M作MQ/BB1交BC于B1，连NQ,则平面MNQ与平面ABB1A1平行，从而证得MN平面ABB1A1.点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。【反馈演练】1对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（3）。（1）若则 （2）若则（3）若则 （4）若、与所成的角相等，则2. 设a、b是两条异面直线，那么

19、下列四个命题中的假命题是 （2） 。（1）经过直线a有且只有一个平面平行于直线b（2）经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b（3）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面（4）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面3关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（4） 。（1）若aM，bM，则ab （2）若aM，ba，则bM（3）若aM，bM，且la，lb，则lM （4）若aM，aN，则MN4“任意的，均有”是“任意，均有”的 充要条件 。5.在正方体AC1中，过A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD .6在长方体ABCDA1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1

20、,CC1相交于E,F两点，则四边形EBFD!的形状为 平行四边形 。7. 已知为平行四边形所在平面外一点，为的中点，求证：平面证明 连交于，连，则为的中位线，平面，平面，平面 8如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点（1）求证：平面；（2）若， 求异面直线与所成的角的大小略证：（1）取PD的中点H，连接AH， 为平行四边形 (2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是异面直线与所成的角，由，得，OM=2，ON=所以，即异面直线与成的角9两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM

21、=FN，求证：MN平面BCE。证法一：作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，则MPAB，NQAB。MPNQ，又AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45RtMCPRtNBQMP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形MNPQPQ平面BCE，MN在平面BCE外，MN平面BCE。证法二：如图过M作MHAB于H，则MHBC，连结NH，由BF=AC，FN=AM，得 NH/AF/BE由MH/BC, NH/BE得:平面MNH/平面BCEMN平面BCE。第4课 空间中的垂直关系【考点导读】1掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。2线面垂直是线线垂直与面面垂

22、直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。【基础练习】1“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的 必要 条件。2如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。3在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。4两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内 。5在正方体中，写出过顶点A的一个平面_AB1D1_，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。【范例导析】例1如图,在四棱锥PABCD中,底面A

23、BCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.（1）证明PA/平面EDB； （2）证明PB平面EFD.解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO.底面ABCD是正方形,点O是AC的中点在中,EO是中位线,PA / EO而平面EDB且平面EDB,所以,PA / 平面EDB（2）PD底面ABCD且底面ABCD,PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,. 同样由PD底面ABCD,得PDBC.底面ABCD是正方形,有DCBC,BC平面PDC.而平面P

24、DC,. 由和推得平面PBC. 而平面PBC,又且,所以PB平面EFD.例2如图，ABC 为正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE DA ；（2）平面BDM 平面ECA ；（3）平面DEA 平面ECA。分析：（1）证明DE DA ，可以通过图形分割，证明DEF DBA。（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM 平面ECA。证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。 EC 平面ABC ，BD CE ，得DB

25、 平面ABC 。 DB AB ，EC BC。 BD CE ，BD CE FC ，则四边形FCBD 是矩形，DF EC。又BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以DE DA。（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ， M 是EA 的中点， MN EC。由BD EC ，且BD 平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM MN。 DE DA ，M 是EA 的中点， DM EA 又EA MN M ， DM 平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA 平面BDM。（3） DM 平面ECA ，DM 平面DEA ， 平面DEA 平面ECA。点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、

26、线线垂直的问题解决。例3如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90，AA1 ，D 是A1B1 中点（1） 求证C1D 平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 平面C1DF ？并证明你的结论。分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D 平面A1B。（2）由（1）得C1D AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。证明：（1）如图， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90。又 D 是

27、A1B1 的中点， C1D A1B1 . AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B。（2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 平面C1DF ，点F 即为所求。 C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1DF 。点评：本题（1）的证明中，证得C1D A1B1 后，由ABCA1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 平面AA1B1B ，立得C1D 平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆

28、向思维的方法分析问题。【反馈演练】1下列命题中错误的是（3） 。（1）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线（2）若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直（3）若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面（4）若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直2设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若，且”为真命题的是 （填所有正确条件的代号）x为直线，y，z为平面x，y，z为平面x，y为直线，z为平面x，y为平面，z为直线x，y，z为直线 3在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有_4_个。4若的中点到平面的

29、距离为，点到平面的距离为，则点到平面 的距离为_2或14_。5命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等）6、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线.给出四个论断：mn n m 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 。答案：m，n，mn或mn，m，n7在直角梯形ABCD中，A=D=90，ABCD，SD平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；（2）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使DMC为直角三角形？请给出证明.解：（1）CDAB，AB平面SAB CD平面SAB面EFCD面SAB=EF，CDEF 又面 平面SAD，又 为直角梯形 (2)当时，为直角三角形 . ,平面平面.在中，为SB中点，.平面平面 为直角三角形。