高中数学2-1、2-2综合测试

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1、2012-2013学年第一学期邵武一中高二理科实验班学生自命试卷数学时间：120分钟 满分：150分钟 测试范围：新课标人教A版 数学选修2-1、2-2 命题人：王睿杰一、选择题（本大题共12小题,每题5分,共计60分.）()1.已知,则在复平面内,复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【测试要点】复数的计算；共轭复数的定义【答案】A 【解析】()2.方程=所表示的曲线是A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆【测试要点】圆与圆锥曲线【答案】D 【解析】解：由题意,首先,平方整理得()2+()2=1,若,则是以为圆心,以1为半径的右半圆 若,则是以为圆心,以1

2、为半径的左半圆 总之,方程表示的曲线是以为圆心,以1为半径的右半圆与以为圆心,以1为半径的左半圆合起来的图形 ()3.若A,B,C,则ABC的形状是A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形【测试要点】余弦定理；空间向量【答案】A【解析】解一(余弦定理)： 最大角为, , ABC是锐角三角形解二(空间向量)：=(3,4,2) =(5,1,3) 0 =(-3,-4,-2) =(2,-3,1) 0=(-5,-1,-3) =(-2,3,-1) 0三角形ABC的形状是锐角三角形()4. 在长方体中,M为AC与BD的交点,若,则下列向量中与相等的向量是A. B. C. D.【测试要点

3、】空间向量的表示【答案】D【解析】.故选D()5. 用数学归纳法证明不等式的过程中,由递推到时的不等式左边A.增加了1项:B.增加了2项: C.增加了“”,又减少了“” D.增加了,减少了“”【测试要点】数学归纳法【答案】C【解析】解：因为当时,左边为当时,则左边为可见左边的变化为选C()6.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E为侧面BCC1B1的中心.若,则的值为 A.1 B. C.2 D.【测试要点】空间向量的表示【答案】C 【解析】.所以,则.故选C()7.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积等于A. B. C.2 D. 【测试要点】圆锥曲线抛物线及其准线、双曲线及其渐

4、近线【答案】A【解析】抛物线的准线为,双曲线的两条渐近线为,它们组成的三角形为边长为的正三角形,所以面积为.()8.下列图中阴影部分面积与算式的结果相同的是【测试要点】函数图像、定积分的计算【答案】B【解析】本题考查数形结合思想,分别计算出图形对应面积即可.将边长为1的正方形绕其一顶点旋转,其中位于第一象限部分即为A中阴影部分,由正方形的对称性易知阴影部分面积为1；容易知道B选项三角面积为；C选项面积为1；D选项面积为1,又,故选B.()9.(2012重庆文科)设函数在R上可导,其导函数为,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是A. B. C. D.【测试要点】导数导数与极值；函数图像【答案

5、】C【解析】函数在处取得极小值,且函数在左侧附近为减函数,在右侧附近为增函数,即当时, ,当时, ,从而当时, ,当时, ,对照选项可知只有C符合题意故选 C()10. 设球的半径为时间t的函数.若球的表面积以均匀速度增长,则球的体积的增长速度与球半径A.成正比,比例系数为 B.成正比,比例系数为C.成反比,比例系数为 D.成反比,比例系数为【测试要点】立体几何；导数的应用【答案】D【解析】,故选D()11.(2011江西)如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系轴上方,其“底端”落在远点处,一顶点及中心在轴的正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸

6、轮”沿轴正向滚动过程中,“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置,应大致为A.B. C.D.【测试要点】函数图像；推理【答案】A【解析】本题宜用排除法,本题中图形的中心到三个顶点的距离最远,到三段弧的中点的距离最近,随着凸轮的滚动,点离轴的距离由小变大再由大变小,作周期性的变化,由图形可以看出,三角形的三个顶点到相对弧的中点位置是相等的,故当在最高点与最低点时,凸轮最高点到轴的距离相等,由这些特征即可排除错误选项根据中心的位置,可以知道中心并非是出于凸轮最低与最高中间的位置,而是稍微偏上,随着转

7、动,的位置会先变高,当C到底时,最高,排除CD选项；而对于最高点,当最高时,最高点的高度应该与旋转开始前相同,因此排除B,故选A()12.设函数,若时, 恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D. 【测试要点】导数的综合应用；三角函数【答案】B【解析】由于，,可求得,可知为奇函数,增函数,然后可得,从而得出,根据,即可求解.解：由函数,可知为奇函数, ,又当时, ,当或时,综上所述,对任意, 是增函数；恒成立,即恒成立,令,当,恒成立,等价于恒成立.,当时, 恒成立,当时, 恒成立,由得：.故选B.二、填空题（本大题共4小题,每题5分,共计20分.）13.下列说法中,正确的序号是 .

8、命题“若,则”的逆命题是真命题.已知,则是的必要不充分条件.命题为真命题,则“命题”和“命题”均为真命题已知,则“”是“”的充分不必要条件【测试要点】常用逻辑用语【答案】【解析】命题的逆命题：若,则是假命题；中为真命题只需中至少有一个为真命题；是的必要不充分条件考点：命题真假与充分条件必要条件点评：若,则是的充分条件,是的必要条件14.已知函数的图象在点处的切线方程是,则 .【测试要点】导数的几何意义【答案】3【解析】,所以.15.观察下列一组等式：,那么,类比推广上述结果,可以得到的一般结果是： .【测试要点】推理与证明【答案】或【解析】观察下列一组等式：,照此规律,可以得到的一般结果应该是

9、或 (注意到)故答案为：或 16. 如图,抛物线与轴的正半轴交于点A,将线段OA的n等分点从左至右依次记为,过这些分点分别作轴的垂线,与抛物线的交点依次为,从而得到个直角三角形, , ,当时,这些三角形的面积之和的极限为.【测试要点】推理与证明；极限【答案】【解析】如图,抛物线与轴的正半轴交于点A(1,0),将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,Pn1,过这些分点分别作x轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q1,Q2,Qn1,从而得到n1个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn1Pn2Pn1, ,当时,这些三角形的面积之和的极限为.整理得.三、解答题（本大题共6小题,共计70分.）1

10、7. 如图,在正四棱柱中,为的中点,.() 证明：平面；()证明：平面.【测试要点】立体几何；空间向量【答案】()证明：因为,所以因为面,面,所以平面6分()连接,因为,所以所以四边形为正方形所以因为,所以8分又因为,所以面所以 因为=,所以平面18.(本小题满分14分)已知曲线的离心率=,直线过,两点,原点到的距离是.()求双曲线的方程；()过点作直线交双曲线于,两点,若=-23,求直线的方程.【测试要点】圆锥曲线双曲线；平面向量【答案】()依题意,直线的方程为：,即.由原点到的距离是,得=又=,.故所求双曲线方程为.6分()显然直线不与轴垂直,设方程为,则点,坐标,是方程组的解,消去,得依

11、题意知, .由根与系数关系,知,10分=23,解得,当时,方程有两个不等的实数根故直线方程为或.14分19.已知,函数,.(1)求的极值；(2)若在上为单调递增函数,求的取值范围；【测试要点】导数的综合应用【答案】(1)由题意, ,当时, ；当时, ,所以, 在上是减函数,在上是增函数,故,无极大值. 4分(2),由于在内为单调增函数,所以在上恒成立,即在上恒成立,故,所以的取值范围是.9分20.已知动圆过定点,且与直线相切. (1) 求动圆的圆心轨迹的方程；(2) 是否存在直线,使过点(0,1),并与轨迹交于两点,且满足？若存在,求出直线的方程；若不存在,说明理由.【测试要点】圆锥曲线抛物线

12、；平面向量【答案】(1)如图,设为动圆圆心, ,过点作直线的垂线,垂足为,由题意知：, 即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线, 动点的轨迹方程为 (2)由题可设直线的方程为,由得 , 设,则, 由,即 ,于是,即, ,解得或(舍去),又, 直线存在,其方程为 .21.设函数=.(1)若当时, 取得极值,求的值；(2)在(1)的条件下,方程恰好有三个零点,求的取值范围；(3)当时,解不等式.【测试要点】导数的综合应用；不等式【答案】 (1)由=又当时,.经验证,是的一个极值点,所以符合要求.(2)当时,所以由得或,且当时,；当时,；当时,.因此,

13、在处取得极大值,在处取得极小值,在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数.又当时,；当时,所以,函数的图像与直线有三个不同的交点因此,(3),又 ,恒成立,从而,在定义域上为增函数.故,解得.因此,当时,不等式的解集为22. 已知函数,当时,函数取得极大值.(1)求实数的值；()已知结论：若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明：若,函数=,则对任意,都有；(3)已知正数,满足,求证：当,时,对任意大于-1,且互不相等的实数,都有 .【测试要点】推理与证明数学归纳法；导数的综合应用【答案】解：(1),时,函数在上递减；时,函数在上递增；函数在处取得极大值,故.(2)令则函数在上可导,存在使得,当时, 在上递增,；当时, 在上递减,；故对任意,都有(3)用数学归纳法证明. 当n=2时,且,由()得,即,当n=2时,结论成立.9分假设当时结论成立,即当时, . 当时,设正数,令, 则,且.13分当时,结论也成立.综上由,对任意,结论恒成立. 14分