毕业设计论文随机环境中分枝过程的灭绝问题

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1、随机环境中分枝过程的灭绝问题郑州轻工业学院本科毕业设计(论文)题目随机环境中分枝过程的灭绝问题学生姓名专业班级信息与计算科学2004级2班学号院（系）数学与信息科学系指导教师(职称)完成时间2008年5月30日20随机环境中分枝过程的灭绝问题摘 要分枝过程作为一种经典的马尔可夫过程，在研究种群繁衍、细胞分裂和原子堆中质点的裂变情况时，可以建立很好的模型对整个过程进行讨论。应用随机过程中的矩母函数和概率母函数的性质以及马尔可夫过程的性质得到了经典分枝过程分枝链的矩、分布极限分布以及灭绝的条件和结论。通过对随机环境分枝过程灭绝概率的讨论，应用条件概率和条件期望的性质结合得到的经典分枝过程的结论得出

2、了关于存活概率的界，此结论可以确定该过程是否灭绝，对研究该过程的灭绝时是有帮助的。关键词 分枝过程/随机过程/马尔可夫过程/概率母函数/灭绝概率The Problem of Extinction of Branching Processes in Random EnvironmentABSTRACTThe branching process, as a branch of the classic Markov process, when the research population multiplies, in the cell division and the atomic pile th

3、e particle fission situation, may establish the very good model to carry on the discussion to the entire process. Applied in the stochastic process the moment generating function and the probability generating function nature as well as the Markov process nature obtains the classical branching proce

4、ss to divide the condition which and the conclusion branched chains moment, the distribution limit distribution as well as exterminated. Through exterminated the probability to the random environment branching process the discussion, the classical branching process conclusion which the application c

5、onditional probability and conditional expectations nature union obtained has obtained about the survival probability, this conclusion might determine whether this process did exterminate, to studied this process exterminated when has the help.KEY WORDS branching process, stochastic process, Markov

6、process, probability generating function, extinction probability目 录摘 要IABSTRACTII1 引言12 随机过程12.1 随机过程简介12.1.1 随机过程的定义22.2 马尔可夫过程22.2.1马尔可夫链32.3 条件概率与条件期望32.4 概率母函数53 经典分枝过程73.1 经典分枝过程简介73.2 经典分枝过程的定义73.3 经典分枝问题的灭绝104 随机环境中的分枝过程144.1 随机环境中分支过程定义144.2 基本命题154.3 主要结论16结束语18致 谢19参考文献201 引言自然界的某一物种的繁衍、原子

7、反应堆中质点的裂变、人体中某类细胞的分裂等等现象中，其数学模型常常涉及一类很重要的随机过程分枝过程。随机环境中分枝过程（BPRE）的研究始于二十世纪六十年代，是当前国际上随机环境中随机过程研究中成果最丰富的方向之一，已取得一系列十分深刻的结果。Athreya和Karlin对随机环境分枝过程的灭绝概率和极限理论作了系统的研究,得到了较完美的结果。J.C.D. Souza研究了变化环境中Galton-Watson过程的灭绝时。胡迪鹤研究了随机环境中正则分枝过程(分枝链)的存在性及矩。本文主要研究了随机环境中分枝过程的一般模型的基本性质,并应用这些性质研究了其灭绝概率的确定和需满足的条件。在第二节中

8、我们将介绍随机过程的基本知识和一些性质。在第三节中我们将重点介绍在确定环境下分枝过程的相关性质和灭绝问题。在第四节中我们将在随机环境中讨论分枝问题，并得到确定灭绝的条件。2 随机过程2.1 随机过程简介随机过程是对一连串随机事件间动态关系的定量描述。随机过程论与其他数学分枝如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。 一般来说，把一族随机变量定义为随

9、机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。研究的主要内容有：多指标随机

10、过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。而我们将要研究的分枝过程就属于马尔可夫过程。2.1.1 随机过程的定义定义1 设是概率空间，使给定的参数集，若对每个，有一个随机变量与之对应，则称随机变量组是上的随机过程，简记为随机过程。称为参数集。通常表示时间，在本文中为有限集或可数集。从数学的观点来说，随机过程是定义在上的二元函数。对固定的，是上的随机变量；对固定，是定义在上的普通函数，称为随机过程的一个样本函数或者轨道，样本函数的全体称为样本函数空间。本文将要研究的分枝过程主要涉及随机

11、过程中的马尔可夫过程，下面我们具体介绍一下马尔可夫过程的定义和相关性质。2.2 马尔可夫过程定义2 设为随机过程，若对任意正整数及，且其条件分布(1)则称为马尔可夫过程。(1)式称为过程的马尔可夫性（或无后效性）。它表示若已知系统的现在状态，则系统未来所处状态的概率规律性就已确定，而不管系统是如何到达现在的状态。换句话说，若把看作“现在”，则就是“未来”，而就是“过去”，“”表示系统在时刻处于状态。上式说明，系统在已知现在所处状态的条件下，它未来所处的状态和过去所处的状态无关。2.2.1马尔可夫链假设马尔可夫过程的参数集是离散的时间集合，即，其相应可能取值的全体组成的状态空间是离散的状态集。本

12、文主要涉及时间与状态都是离散的马尔可夫过程，称为马尔可夫链。2.3 条件概率与条件期望研究随机过程离不开讨论一族随机变量相互之前的关系，这就要用到条件概率和条件期望这些基本的概念和工具。下面我们给出条件概率和条件期望的定义及其性质。设，是离散型随机变量。一般，对所有使的，定义给定时取得条件概率为而给定，的条件期望定义为对一般的连续型随机变量，如果对任何包含的小区间总有，则定义。否则，若，就可以定义这里的意思是使包含的小区间的长度缩小为0。除了个别例外的值这一极限总是存在。相应地，定义给定时，得条件分布函数为记作。进一步，如果存在一非负函数（记作）使得对任何集合恒有且，则称为是在给定时的条件密度

13、。不难看出条件分布函数是关于条件密度对变量从到的积分，即如果把与的联合密度看作质量为1的平板的密度（面密度），则条件密度就是固定时的线密度。它们之间的关系是其中为随机变量的边缘密度。此时，给定，得条件期望定义为是的函数，是的一个可能值。若在已知的条件下，全面地考虑的均值，需要以代替，是随机变量的函数，也是随机变量，称为在下的条件期望 。条件期望有些重要的性质我们总结为下面的结论：性质 若随机变量与的期望存在，则 (2)如果是离散型随机变量，则上式为如果是连续型，具有概率密度，则(2)式为证 我们仅对与都是离散随机变量证明(2)式。 证毕。从(2)式我们可以看到，是给定时，的条件期望的一个加权平

14、均值，每一项所加的权是作为条件的事件的概率。命题2.1 (a) 若与独立，则(b)条件期望有所谓的平滑性：(c)对随机变量，的函数，恒有证 (a)注意到与独立时，给定时的条件分布与无条件分布是一样的。由此不难得证。对于(b)仅证明离散随机变量的情形： (3)由定义，再由条件概率的定义，(3)右边为先对求和即得，由定义正是。2.4 概率母函数定义3 随机变量的矩母函数定义为随机变量的期望，记作，即定义4 设随机变量的分布列为则称实变量的实函数为的概率母函数。在不引起混乱的情况下，常简记为。矩母函数刻画了随机变量的许多特征，是研究随机过程特性的重要工具。当矩母函数存在时它唯一地确定了的分布。下面我

15、们给出本文中将用到的概率母函数的一些性质及其证明。1、证2、，其中，均为常数且为非负整值随机变量。证3、设为相互独立的随机变量，且分别有概率母函数则的概率母函数为证 4、如果，则的2阶导数存在，且证 因为，而，又因存在，所以存在，从而级数绝对收敛，故存在，且。类似可证存在，且所以得.3 经典分枝过程3.1 经典分枝过程简介1873年，Galton和Waston分别就他们在探讨英国贵族姓氏继承和谱系消亡问题中建立起来的一种新的随机过程模型发表了论文，正是这两篇论文奠定了经典分枝过程的理论基础。因此，尽管萌发这一新模型的思想还可上溯30年，但通常称经典分枝过程为Galton-Waston 过程（以

16、下简记为GW过程）。经典分枝过程是一个取非负整数值的马尔可夫链，一个GW过程可设想为一个种群繁衍演化模型：设在开始时刻有个称为第0代或“祖先”的个体，它们根据同一概率分布或同一概率母函数相互独立且随机地繁殖若干个新个体，这些新个体的总数恰是个服从同一概率分布或具有共同的概率母函数的相互独立随机变量之和。这个新个体构成第代并重复上辈的演化过程而繁殖出个第代个体，以下依次规律，一代代繁衍下去，不论哪一代中的哪一个个体，其产生下一代的个体数目只取决于上述的概率分布和概率母函数，而不受其前辈或同代的其他个体产生多少下一代个体的影响。以表示第代个体的总数，则恰是上述的经典分枝过程。3.2 经典分枝过程的

17、定义下面我们给出GW过程的数学定义。定义5 设是概率空间上的一族独立同分布的取非负整数的随机变量，其公共分布为。若是上任一取正整数的随机变量，且则称是一个离散时间的分枝过程或分枝链。这就是所谓的Galton-Watson分枝过程。令，称为分布的概率母函数，又是也称为的矩母函数。显然Galton-Watson分枝过程是一时齐的可数状态的马尔可夫链。若令是其步转移概率，令是其步（阶）转移矩阵，则有其中视或而定。显然，而且对任何，是一个概率分布。令为概率母函数。对于分枝链，研究它的矩、分布、极限分布，特别是极限分布中的两个特例与有着重要的意义。前者意味着该系统要“爆炸”的概率，而后者则是该系统要“灭

18、绝”的概率。对分枝链的研究，概率母函数扮演着一个重要角色。定理3.1 设是分枝链。若是一正整数，是的概率母函数，是的本原概率母函数，则(a) (b) (c) (d) 其中证 通过直接计算，可由上面给出的概率母函数的性质得到(a)，(b)，(c)，下面证明(d)。事实上，而由(b)有 (4)所以若令 (5)并注意： (6)则由(c)及上面三式得 (7)反复利用(7)递推可得 (8)由(8)，(6)可得(9)当时，由(9)得当时，由(9)得定理3.1得证。3.3 经典分枝问题的灭绝定义6 设是一个分枝链，称为的灭绝概率。由于，所以定理3.2 设是分枝链，是其本原概率母函数，是灭绝概率，则(a) (

19、b) 当且时，有(c) 当时，是方程式 (10)的唯一解。证 首先注意：若令是的概率母函数，由于，所以(a)由及之定义即得。(b)(A)先设，则在是严格上升函数。但是，所以假设，则存在，使由上两式得知这与矛盾，所以。(B)再设，则，所以(c)设，则必有，所以在内严格上升。如果我们能证明存在，使 (11)则令得所以而(1)中已证，故是方程式(10)的一个解。再证方程式(10)的解惟一。若是方程式(10)的任意两个解。不妨令，则必存在，使得所以 (12)而今，在内严格上升，所以(12)不可能成立。这就说明了方程式(10)的解是惟一的。最后我们补充证明(11)，因为所以存在，使。但是当时，必有使，且

20、次即。定理证毕。定理3.2中假定了初始状态，对于一般的，亦有类似的定理，如下：定理3.3 设是分枝链，是其本原概率母函数，。令是其灭绝概率。再令（由定理3.2有），则。证 令为的概率母函数，则所以定理3.4 设是分枝链，是其本原概率母函数，。令则(a) 其中是强度为的负指数分布，是连续型分布函数，其特征函数满足其中如定理3.3中所定义；(b) 其中的分布函数在有跃度，在其他地方均连续；(c) 证 证明参考5。20-21。我们这里的分别是那里的。定理3.3解决了分枝链的灭绝问题。定理3.1解决了分枝链的爆炸问题，因此在定理3.1(3)中有（当时）。4 随机环境中的分枝过程GW过程中不同个体全部遵

21、循同样的概率分布律而独立繁衍后代这种时齐性假设，在数学处理及许多实际模型的简化上带来极大的方便，但由于自然界中的增殖繁衍过程大多都受个体间相互作用以及其它因素影响而具有某种相互依赖的关系 因而使得经典分枝过程模型在应用上受到一定的限制。随机环境中分枝过程的产生在某种意义下弥补了GW过程时齐性假设而造成应用上有局限性的不足。作为一种改进，BPRE较之GW过程的不同之处，就在于它考虑了“环境”因素的影响。4.1 随机环境中分支过程定义定义7 设是一个概率空间。为取非负整数值的随机变量的所有非平凡概率分布的集合，即：。易见是所有有界实数序列构成的Branch空间的一个Borel代数，设是从到的映射序

22、列且，且每一个这种从到的映射唯一确定一个中的概率母函数：其中是相应于的概率分布。这样的映射序列称为一个随机环境。设为一随机环境中的分枝过程，其中为随机环境序列。对于每个关于条件独立同分布，即令4.2 基本命题命题4.1 命题4.2 证 ，而 (4.1)式中：因为所以，等式(4.1)两边同时除以且由代替，然后两边对从到求和，可得：显然令中分子为，分母为，并由命题1可得：即有4.3 主要结论定理4.3 设为随机环境分枝过程，则有证明 由命题4.2，令，即可证得。定理4.4 设为随机环境分枝过程，若对固定的，有 (13)其中，则有其中 证 令，由文献7知由此可得：因此有由Holder不等式又有于是

23、得证。推论1 若为随机环境中分枝过程，满足条件 (14)则当时，有证 由条件知，存在，当时，有由定理4.3有推论2 若为满足条件(13)和(14)的随机环境分枝过程，且对充分大的，有则存在有限数及充分大的，使证 由定理4.3和定理4.4即可证得。由推论1和推论2知，随机环境分枝过程在一定条件是灭绝的。结束语经典分枝过程是在随机变量是相互独立的基础上来讨论的，而在实际上由于多种因素的影响，使得各个随机变量之间有了相互关系，而这更符合现实中分枝过程的情况。通过研究经典分枝过程，来确定分枝过程的一些基本定理，进而推广至随机环境下的分枝过程。本文利用随机过程的基本理论，通过概率母函数和生成函数来刻画分

24、枝过程中的随机变量，进而研究经典分枝过程的矩、灭绝概率。进一步的，结合经典概率中的条件概率与条件期望，我们在随机环境下讨论分枝过程，从而得出了关于存活概率的界，此结论可以确定该过程是否灭绝，对研究该过程的灭绝时是有帮助的。并最终确定了随机环境下分枝过程确定灭绝的条件。致 谢本论文能得以顺利完成，首先应该感谢我的毕业设计导师荣民希老师。在这次毕业设计中，他给了我大力的支持和热心的帮助。在我整个毕业设计的过程中，对我严格要求，一丝不苟，当我遇到不能解决的问题时，给我提供了很多解决问题的方法和思路，并不厌其烦的为我指导，其富有创造性的思维方法、丰富的教学经验和对科学研究的远见卓识深深激励了我。对他的

25、指导和帮助我深表感谢。论文后列出的文献为我的写作提供了丰富的背景材料，在此也对那些文献的作者们表示感谢。除此之外我要感谢我们组的其他成员在整个毕业设计的过程中给我的帮助和支持，感谢系里老师对我的理解，感谢图书馆的工作人员为我们毕业生提供了很多方便。祝各位老师，工作顺利，万事如意！参考文献1 胡迪鹤. 随机过程论M：基础、理论、应用. 武汉大学出版社，2000.2 刘次华. 随机过程M. 华中科技大学出版社. 2001.3 方兆本,缪柏其. 随机过程M. 北京：科学出版社，2004.4 张俊英关于随机过程分枝过程存活概率的几个定理J. 太原理工大学学报. 2003.11.5 胡迪鹤可数状态的马尔

26、可夫过程论M 武汉：武汉大学出版社，1983.6 Harris E. The Theory of Branching ProcessJ. Springer2Verley ，1963.7 NeveuJ. Multiplicative martingalesfor spatial branching processesJ.ed.Cinlar E,Chung KL and Getoor R K. Progressesin Probability and Statistics,1987:2332241.8 Lu Zhun2wei.On branching process with random env

27、ironmentsJ.Appl Prob aband Statis,1998,14(4) :3132325.9 Shi-xia Ma, Bisexual Galton Branching Processing in Random Environments JVol.22,No.3 (2006) 419-428.10 Hull，DM A necessary condition for extinction in those bisexualGalton-Watson branching processes governed by superadditive mating funtionsJApp

28、1Prob，19：847850(1982).11 Molina，M.，Mota，M，Ramos，ABisexual Galton-W atson branching process with population-size-dependent matingJ.App1.Prob,39：479-490 (2002).12 Molina，M.,Mota，M，Ramos，A Bisexual GaltonW aston branching process in varyingenvironmentsJ.StochAna1App1.，21：1353 1367 (2003).13 胡杨利，杨向群随机环境中分枝过程的等价定理J应用数学学报，Vol.30,No.3, 2000.5.14 卢准炜随机环境中的分支过程J应用概率统计，第十四卷，第二期，1998.8.15 卢准炜，白永强.一类两环境状态S-W BPRE 灭绝概率的精确等价函数J.华北工学院学报.Vol.22 No.5 . 2001.