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1、第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第九章)(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数,)(,)(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续,),(vu在点在点 t 可导,tvvztuuztzddddddz则复合函数证证:设 t 取增量t,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间
2、变量且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u,v,0t令,0,0vu则有to)(全导数公式全导数公式)tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu)(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,dd机动 目录 上页 下页 返回 结束 tvvztuuztzdddddd若定理中 说明说明:),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu,易知:,0)0,0()0,0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0,0()0,0(vfvz偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在,
3、2t0,22222vuvuvu,0022vu机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.推广推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微.tzdd321fff2)中间变量是多元函数的情形.例如,),(,),(,),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动 目录 上页 下页 返回 结束)(,)(,)(twtvtu又如,),(,),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时,有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意:这里xzxfx
4、z表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导xfxvvfyvvf与不同,v机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(
5、2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见,引入记号,2121vuffuff),(1
6、zyxzyxf例例4.设 f 具有二阶连续偏导数,),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解:令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff机动 目录 上页 下页 返回 结束(当 在二、三象限时,)xyarctan例例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在极坐),(yxfu 222222)2(,)()()1(yuxuyuxu解解:已知sin,cosryrxuryxyx标系下的形式xrruxu(1),则xyyxrarcta
7、n,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 xu2ryururusincosyuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu题目 目录 上页 下页 返回 结束 ryru2rxuuryxyx 已知rsin)(rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx)(rxu)(xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos)(r注意利用注意利用已有公式已有公式机
8、动 目录 上页 下页 返回 结束 22yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru题目 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数),(,),(,),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)dd(
9、yyvxxv微,则复合函数)(fz),(,),(yxyxudvzvd都可 其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )cos()sin(yxyxeyx例例1.,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6.利用全微分形式不变性再解例1.解解:)(dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos()sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx)cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)
10、dd(yxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如,),(,),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22.全微分形式不变性,),(vufz 对不论 u,v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P82 题7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx)1(y12)(11yx22yxxy22vuuP82 题7;8(2);P131 题11机动 目录 上页 下页 返回 结束 vuyvu
11、xyxz,arctanP82 题8(2)xuy11f 11fyyu1f)(2yx2f z1zu2f)(2zy2121fzfyx22fzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyyxfu,1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f yex21f 23f 作业作业 P82 2;4;6;9;10;11 P131题 11第五节 目录 上页 下页 返回 结束 yexuyxufz,),(备用题备用题,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1.已知求.),(22xyyxf解解:由1),(2xxf两边对 x 求导,得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.)1,1(,1()1(ff1)(dd3xxx1)1,1(f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf),(,(2xxfxf),(1xxf),(2xxf 1x 351,1)1,1(f,),(,()(xxfxfx,2)1,1(xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1,1(处可微,且设函数,3)1,1(yf解解:由题设23)32(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束
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