等效思想在解物理竞赛题中的运用

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1、模型巧等效 快捷解问题谈等效思想在解竞赛类物理问题中的运用姜树青（浙江省平湖中学， 浙江 平湖 314200）在物理学中，从力学中力的合成和分解，到重心、惯性力概念；从电磁学中电像法、等效电压源和等效电流源、等效电路，到交流电的有效值、分子电流、位移电流概念；从热学中的热功当量，到光学系统成像的虚物概念无不闪烁着等效思想的光辉不仅如此，等效思想在物理解题中更是发挥着独特而奇妙的作用尤其是竞赛类问题，题目难度大，技巧性强，能力要求高，一些问题按常规思路来考虑，似乎无从下手，或者需要借助高等数学才能解决但如果巧用等效思想，常常能化难为易，学化繁为简，用中数学知识即可把问题完满解决下面笔者介绍两类等

2、效 巧用已知模型和构建新模型 1 巧用已知模型等效这类等效法是指将题目和常见、简单、熟知且早有结论的已知问题模型等效，利用已知问题的处理方法和结论，来解决题给问题介绍以下三种情形：1.1 类比已知模型进行等效 将题目和已往熟知的已知问题模型作类比，找出它们的共同点，类比已知问题的求解方法和结论，解决题给问题例1. 真空中两完全相同的金属半球半径为R，分别带有电量为Q / 2的等量、同种电荷求当两半球充分正对接近时，两者之间库仑斥力的大小见图1.1所示分析与解答 本题中当两半球充分正对接近时，可视为一个带电量为Q的整球不难看出，电荷将在两半球面上将作均匀分布 考虑如右模型：将半径为R的薄球壳内抽

3、成真空，球壳外界为压强为P 0的大气压环境由马德堡半球实验知道，球外空气对半个球壳外表面压力的合力为R2P 0把图1.1中半球受库仑力和图1.2中球壳外表面受压力作类比，可知两者模型等效这样，只要求出本题中库仑斥力的等效压强，即可求出每个半球受到的库仑力的合力了求解如下：当两半球球充分正对接近时，球面上电荷的面密度为设想在球面上取面积微元ds，则电量微元dq为电量微元dq在面元两侧产生的场强相同，设为E1，有因两半球充分正对接近，故可视为一个整球因球面内侧附近的场强为0，故电量微元dq和两半球面上其余电量在面积微元ds内侧附近产生的场强一定等大反向，设其余电量在面积微元ds附近产生的场强大小为

4、E2 ，有电量微元dq受到其余电量的库仑斥力，方向沿球心与面元中心连线指向球外，大小为于是球面的等效压强为类比马德堡半球实验，得两半球之间的库仑力的合力大小为【点评】按常规思路，球面上任意电量微元均受到整个球面上其余电量的库仑力，欲求其中一个半球受到的合力，必须采用球面积分，且运算烦琐本题求解通过类比马德堡半球模型，把问题巧妙地等效成“恒定的压强P作用于面积R2，求压力”，避免了复杂的积分运算，做到了化难为易、化繁为简，学生在中学数学程度即可求解1.2 “组合”已知模型进行等效把复杂问题用两个（或更多）已知的简单模型“组合”起来进行等效替代，从而使复杂问题简单化通常原有问题模型常见、熟知，有些

5、现成结论又可直接拿来使用，用这种方法解题往往显得轻车熟路、快捷准确例2. 滑块（视为质点）静放在粗糙水平面上，原长足够长的轻质水平弹簧，左端固定在墙壁上，右端与滑块相连，弹簧处于原长状态时，滑块静止于O处，如图2.1所示如果把滑块向右拉离平衡位置x0的距离然后释手，滑块恰能保持静止今将滑块向右拉离平衡位置x（xx0）的距离释手，问：欲使滑块释手后运动方向总共改变n次，x须满足什么条件？（设弹簧总在弹性限度内，滑块受最大静摩擦力与滑动摩擦力相等）分析与解答 本题中滑块在粗糙水平面上运动，除受弹簧弹力外还受滑动摩擦力作用虽滑动摩擦力大小恒定，但是弹簧弹力则为变力，滑块受合力大小和方向均不恒定，似乎

6、不用高等数学知识无法求解其实本题可由弹簧振子装置在重力场中竖直悬吊模型（见图2.2甲）和下端竖直支持模型（见图2.2乙） 等效组合得到：当物块从右向左振动时，与图2.2甲中物块向上振动情形相当；当物块从左向右振动时，与图2.2乙中物块向上振动情形相当所不同的是，图2.2中的平衡位置在物块重力和弹簧弹力相平衡处，而图2.1中的平衡位置则在物块受滑动摩擦力和弹簧弹力相平衡处这样，本题中的物块振动有两个等效平衡位置：当物块从右向左振动时，以O1为平衡位置；当物块从左向右振动时，以O2为平衡位置。物块最终静止时，必落在O1O2= 2 x0之内，如图2.3所示滑块第1，3，5，次改变运动方向发生在左侧；

7、第2，4，6，次改变运动方向发生在右侧欲使滑块最终恰好静止在O2处，条件是x = 3x0，7x0，11x0，15x0；欲使滑块最终恰静止在O1处，条件是x = 5x0，9x0，13x0，17x0于是有如下递推关系：欲使释手后滑块运动方向总共改变1次，条件是 3x0 x 5x0 ；欲使释手后滑块运动方向总共改变2次，条件是 5x0 x 7x0 ；欲使释手后滑块运动方向总共改变3次，条件是 7x0 x 9x0 ；所以，欲使释手后滑块运动方向总共改变n次，必须满足的条件是（2n+1）x0x （2n+3）x0 【点评】本题滑块在振动中受弹簧的弹力是变力，受滑动摩擦力大小虽恒定，但方向随速度方向改变而改

8、变，滑块运动满足相应的动力学微分方程，在中学范围内，似乎无法求解本题把弹簧振子装置在重力场中的两种悬吊方式下的振动模型巧妙地“组合”在一起，等效替代滑块的阻尼振动由于弹簧振子装置在重力场中振动的规律和结论熟知，最终轻松归纳出题目中x必须满足的条件1.3 将已知模型的情景推向极端进行等效将已知模型物理情景推向极端，使之（或其部分）与要解决的新问题进行模型等效，从而求解题给问题至于将物理情景推向极端，解题中经常用到，比如在定性的分析判断中，常把某个物理量设想为极端值，或者趋于0，或者趋于无穷，或者趋于某一定值、特殊值等，即属此类思维方法如果题目所给模型不能直接采用此种等效方法，则可考虑将题目模型先

9、行化简，然后再用见如下例3 例3. 如图3.1：将质量分别为m1和m2、相距为R的两质点同时自静止释放问：经多长时间，两质点在相互万有引力的作用下才能相碰？（设万有引力恒量为G，两质点除受相互万有引力外，不受其它任何外力）分析与解答 本题在利用已知问题模型之前，先把问题简化等效成一个固定质点吸引一个可动质点模型 两质点m1和m2不受其它任何外力，它们将于系统质心O处相碰以m1为例，它所受m2的引力，可用一个放于质心O、质量为m的“固定”质点等效替代这里m为等效质量，如图3.2所示则 由（1）、（2）两式，得到等效质量 然后，我们将“行星绕太阳做椭圆轨道运行模型”推向极端：设想一质量为m1的行星

10、绕“固定”在O点的质量为m的恒星运动，如图3.3所示行星初速vo不同，其运行轨道的偏心率不同可以推测，若行星初速vo= 0，轨道将“压扁”成偏心率e = 1的特殊的“椭圆” 一条往返直线，对应的半长轴为l/2，单程运动的时间半个周期T/2，恰为m1从静止运动至等效质点m所用的时间，亦即本题中m1和m2自释放到相碰所经历的时间由开普勒第三定律知道，只要m1绕m运行的椭圆轨道的半长轴相同，不论偏心率如何，周期必定相同为此再次把“行星绕太阳做椭圆轨道运行模型”推向极端：设想一质量为m1的行星绕“固定”在O点的质量为m的恒星做偏心率e = 0的特殊的“椭圆”运动 以半径a = l / 2做匀速圆周运动

11、情形，如图3.4所示有 得到周期 将（2）、（3）代入（5）式，得到本题最终结果【点评】两质点因万有引力而向相运动，间距减小，引力增大，故它们的运动并非是匀变速的若以常规思路，需要求解关于牛顿第二定律的微分方程本题通过将熟知的“行星绕太阳运行模型”推向极端令椭圆的偏心率趋于1，让椭圆运动变成直线运动，从而使题目模型得以和“改造”得到的行星绕太阳运动模型等效；为了求时间，再次将“行星绕太阳运行模型”推向另一个极端令椭圆的偏心率趋于0，让椭圆运动变成匀速圆周运动，利用开普勒第三定律结合匀速圆周运动知识，照样解出本题这里所用全部知识均没有超出中学范畴2 “无中生有”构建等效新模型如果在各种已知问题中

12、，无法直接找到与题给模型对应的等效模型，这时可以考虑“无中生有”地构建一个新的等效模型，通过求解等效新模型，使问题迎刃而解此法很显独特，让人回味悠远，妙不可言 例4. 一只老鼠离开洞穴沿直线前进，它行走的速度与它到洞穴的距离成反比当它行走到离洞穴距离为d1 的甲处时，瞬时速度为v1 问：它从甲处行走到离洞穴距离为d2 的乙处需用多少时间？分析与解答 本题求解方法很多，但以构建新模型法求解最为绝妙“老鼠走的速度与它到洞穴的距离成反比”，以往我们没有现成的模型可以与之等效为此，构建如下新的等效模型设想用功率恒为P的拉力，去牵引劲度系数为k的轻弹簧，如图4所示由P = Fv =（kx）v，得 其中x

13、为弹簧的伸长量可见，在P、k均恒定下，v 与x成反比所以只需适当取定P和k，老鼠的运动即可用“恒功率的拉力牵引轻弹簧”模型等效替代求解如下：由题意，当x = d1时，v = v1，代入（1）式定出P/ k = v1d1 （2）由功能关系，拉力所做的功等于弹簧弹性势能的增加，即 （3）其中t为弹簧伸长量从d1到d2所用的时间，也是老鼠从甲处到乙处所用的时间联立（2）、（3）两式得到本题最终结果【点评】“老鼠”和“弹簧”，原本风马牛不相及，然而在这里我们却让它们发生了“联系”！可见只要我们适当地约定或控制某个物理量（例如本题中我们约定拉弹簧的外力的功率不变），就可能把两个貌似千差万别、似乎毫无关联

14、的物理问题进行模型等效例5. 如图5.1所示，在半径为R的接地金属球外有一点电荷问：将该点电荷放在球外距球心多远处，可使金属球面上离点电荷最远点处的感应电荷的面密度最大？（设整个系统置于真空中）分析与解答本题可依据电像理论构建如下等效新模型： 在点电荷与金属球心连线上适当位置、放置一个适当电量的点电荷（像电荷），用来等效替代球面感应电荷在球外空间产生的电场如图5.2，设点电荷电量为Q，距球心为r（rR），则像电荷距球心的距离r及像电荷的电量q为对于球面上任一点P，容易求出点电荷Q和像电荷q产生的合场强E为（推导过程从略） 其中为OP和OQ所夹的角于是点P处感应电荷面密度为表达式中前面的“”号表

15、示感应电荷的电性与Q相反令=，得到球面上离点电荷最远点处的感应电荷的面密度远从上式知道，在rR和r两种极端情况下，都有远0故适当取r值，远有最大值由于可以看出，当（rR）= 4R2 /（rR），即r = 3R时， |远|取极大值（另一根r = R不满足题意舍弃）故：将点电荷放在距球心3R处，可使金属球面上离点电荷最远点处的感应电荷的面密度最大【点评】在电场中，定量讨论导体球表面感应电荷的分布，常规思路是求解静电场满足的数理方程，这是中学知识无法做到的本题中“虚构”了一个像点电荷q模型，用它代替球面感应电荷在球外空间产生的电场，巧妙地表达出球面感应电荷的分布规律，为本题的最终解决起到至关重要的作

16、用当然，我们之所以可以这样构建等效模型，是有电像理论作支撑的例6. 请用物理方法求抛物线y = Ax2某点的曲率半径分析与解答一个方向的匀速直线运动和另一个与之垂直方向的匀加速直线运动的合运动轨迹就是抛物线所以本题可虚构这样一个运动模型来等效替代：以速度vo沿x轴正向的匀速直线运动和以加速度a沿y轴的匀变速直线运动如图6甲所示，为抛物线y = Ax2的图象因图象关于y轴对称，只需考虑x正半轴对于图线上任一点P（x，y），有对比题给抛物线方程y = Ax2，立即定出又P点合速度vP与两分速度之间有关系 见图6乙 将P点的加速度a分解，如图6丙所示法向加速度为由公式 可得P点的曲率半径将（2）、（

17、3）两式代入并整理，得到这就是本题最终结果其中x为曲线上任一点P的横坐标，由对称性知，上式x在整个x轴取值均成立【点评】求曲线上某点的曲率半径，按照通常思路要用到高等数学知识，似乎超出中学知识的范畴然而通过“虚构”等效物理模型小球做平抛运动，将题给抛物线方程赋予物理意义，使问题在中学知识范围内顺利解决还须指出的是，在等效法解题中，题目的等效模型和题目本身涉及的可能是同一部分内容，也可能不是，甚至可能不是同一学科内容比如本文例1题目是电学内容，等效模型是力学内容；例4题目是运动学内容，等效模型是功能关系内容；例6题目是高等数学导数的应用内容，等效模型是物理力学内容因此，在寻找和构建题目的等效模型时，要放开思路，大胆联想，不拘一格只有这样，我们才能把等效法用活用好，用出精彩！