群论-第二章群表示理论.ppt

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1、第二章 群表示理论,Representation theory of group,1,设V 和V 均是线性空间，T 是一个变换规则。若V 中任一向量x 在T变换下对应着V 中唯一的向量 x ，则称T 为V 到V 的算符，记作 x = T x ， x V ， x V ,2,第一节,1. 群表示的定义,通常，V 是V 自身，此时称T 为V 上的算符。,3, x , y V, , 数域P， 若有 T(x+y) = Tx+Ty 则T 为线性算符。,线性空间V 上，满足群定义的线性算符集合构成线性算符群。,一线性空间V 上有一个线性算符群 与群G=e, g1, g2, 同态，则集合T 称为群G的一个在V

2、 空间上的表示。 V 称为表示空间， 其维数称为表示的维数。,4,V：基矢 。 算符T(g) 与一个矩阵 M(g) 对应， 矩阵群 ， 基矢组选取不同， T 对应不同矩阵群。,群表示的另一种定义： 设G是群，M是一个n维方阵集合，如果M与G同态，则称M是G的一个n维表示。与群元g 对应的矩阵M(g)称为群元g 的表示矩阵。,若M与G同构 ，则M 为G的真实(faithful)表示。若同态，则为非真实表示。,5,2. 单位表示 任一 n 维空间上，定有一个单位算符 T(e) ，有 T(e)对应单位矩阵 I0 。 ，T(e)是G的单位表示（也称恒等表示或平庸表示）。 (一维， n维 ),6,3.

3、群表示的确定（非单位表示）,例1. C3v 群在三维实空间中直角坐标系下的表示。,基矢 群元 g 算符T(g) ， 则T(g) 是g的一个表示,7,，也可写成,取决于,可按上述思路计算，也可如下计算：,？,8,同理，,9,习题：确定D3群在空间坐标系下的表示。,例2. C3v 群在以 为基矢的二维函数空间中的矩阵表示。,先考查一个物理问题： 一个物体有温度分布 。gG，是一个旋转操作。g操作后，r点温度值 为 ，为 在 点的值：,10,即， T(g) | g G 构成与群G同构的算符群。, T(g)构成线性空间中的一个算符群,11,12,13,群表示的封闭线性空间： 只有所选线性空间在算符群中

4、所有算符的作用下都不变时，算符群才能给出群的表示。这样的空间称为群表示的封闭线性空间。,若所选空间基矢（基函数）不恰当，以致于经算符变换后，新基矢不能用原基矢的线性组合表示，则所选线性空间对于所研究的群不是封闭的，即，所选空间不足以表示所研究的群，需要寻找一个更大或更合适的空间来表示该群。,14,一个群有多少种表示？,设矩阵群D是G的一个表示，D(g)是对应群元g的矩阵。有一非奇异矩阵S，有 集合D(g) | gG构成矩阵群，也是G的一个表示。（相似变换不影响矩阵间的运算关系）,称 是 的等价表示。（注意：对所有群元gG， 用一个矩阵S得到）, 采用不同的S，可构造出无穷多种表示，彼此都是等价

5、表示。,15,所有等价的表示都认为是相同的表示。,定理1. 若有限群G有一个非单位矩阵表示，则必能经相似变换将其变为幺正矩阵表示。 （对gG,有表示矩阵D(g),存在一个矩阵S，使 ，且有 。）,等价表示构成一个表示的类。,16,证明：群G的一个矩阵表示 ， 对应各群元的表示矩阵。定义 , H是厄米阵（ ）。,对厄米阵H ，存在幺正阵V使其对角化,17,定义对角矩阵,18,群的一切等价表示都有一个等价的幺正表示。 研究群表示时，只需研究其幺正表示。,可见，对于gG，一定存在非奇异矩阵S =VD1，通过相似变换 使一般的群表示变成幺正表示。,19,一个群的表示有无穷多种：,20,定理2.若D1和

6、D2是群G的等价幺正表示，则有幺正矩阵U，使得 。,证明：D1和D2等价，必存在一非奇异矩阵S， 对gG，有,21,对厄米矩阵，总有幺正矩阵V使其对角化，,22,U是幺正矩阵。证：,证毕。,对有限群，只需研究幺正表示及其幺正变换。,23,若群G有两个幺正表示D1和D2，则 g G ，表示矩阵D1(g)和D2(g)的直和,是准对角矩阵（块状对角矩阵）。,群的这个表示都是准对角矩阵。,24,推论： 由D1(g) 堆积成,这种由相同结构的准对角矩阵构成的表示，称为可约表示 (reducible representation)。,可约表示的一般定义： 若所有群元的表示矩阵可由一个矩阵S 的相似变换而变

7、成相同结构的准对角矩阵，则该矩阵表示是可约表示。相似变换过程称为可约表示的约化（可约表示矩阵块状对角矩阵）。,也是G的一个表示。,可构造无穷多种此类表示，均是准对角阵。,25,不可约表示（irreducible representation） 上述情况不成立时的群表示，称为不可约表示。即，不可约表示是不能用更低维数的矩阵来描述的表示。,推知： 可约表示 = 一些不可约表示的直和,26,第二节 舒尔引理（Schurs lemma）,有一非零矩阵A与群G的某个表示的所有矩阵对易。 （1）若该表示是不可约的，则A必为单位矩阵的常数倍。 （2）若A不是单位矩阵的常数倍，则该表示必为可约表示。,（2）是

8、（1）的逆否命题,27, 证明舒尔引理对厄米矩阵H和J这种特殊情况成立即可。 （1）若H和J是单位阵常数倍， A也必是； （2）若A不是单位阵常数倍， H和J中至少有一个也不是。,28,若 ，则至少有一个对角元 即，N 维时最多N 1个对角元相同。,29,设 矩阵对角元有两种： 则,对 做相似变换（变换矩阵P ），将行和列重新排序，使 分别集中。 P矩阵是由0和1构成的幺正矩阵。,矩阵P同样使 相似变换成块状矩阵： ，可见 是可约表示。,运用反证法和第（2）点结论，易证第（1）点。,30,所以，若 ，即A cI0 ，D(g)必是可约表示。约化过程： 第（2）点得证。, V1是V 的子空间，T是

9、V上的线性算符群，若T只能将V1中的向量变换为V1中的向量，则V1关于T中每个算符都是不变的，称V1是T的不变子空间， V1关于T不变。, 使 块状对角化过程就是表示空间基矢重排序过程，即，将原来的基矢序列 分类集中为 ，两组基矢构成算符群的两个不变子空间。,31,证明：可约表示必可约化为准对角阵，设为 ，构建 显然g G ，AD(g)=D(g)A 成立， 后半部分得证。 前半部分用反证法易证。,舒尔引理的逆定理：若AD(g)=D(g)A，且A只能是 I0 的常数倍，则该表示必是不可约表示。反之，若该表示是可约的，则必有一非零且不是 I0 常数倍的矩阵A与其对易。,Schur引理的理解： 群G

10、有表示D=D(g)，gG ，有矩阵A和D对易。若所有A都是cI0 ，则D是不可约表示；若D是不可约表示， A只能cI0 。 若存在A不是cI0 ，则D必是可约的；若D是可约表示，则必能找到A cI0与D对易。,32,找到某个矩阵A时， 当A cI0 ，D可约； 当A= cI0 ，D不一定是不可约的（A也与可约表示对易）。,判断表示矩阵是否可约的一种方法： 设C是G 的一个共轭类 A与G的表示D对易， 即 此法用来构造对易矩阵A，判断群表示的可约性。,33,群表示理论要解决的问题： 1. 判断群表示可约与否？ 2. 不可约表示有多少个？ 3. 找到所有不可约表示。 4. 可约表示由哪些不可约表示

11、构成？ 5. 通过不可约表示研究对称性中蕴含的物理意义。 哈密顿算符群有n个不可约表示，则 的本征值n重简并。,34,第三节,不可约表示的正交性定理（表示矩阵元的正交性定理） 若有限群G有两个不可约幺正表示D i 和D j ，则有,35,证明：构建矩阵,36,38,39,40,41,42,1. 定义 群G有一表示D，群元g 的表示矩阵D(g) ，该矩阵的迹 称为群元g在表示D中的特征标。,第j个不可约表示D j(g)的特征标,43,第四节 特征标 (Character),G中所有群元在D中的特征标，称为表示D的特征标系（也简称特征标）。,2. 性质 (1) 等价表示的特征标系相同。,44,（2

12、）同一个表示中，同类元素的特征标相同。,45,（3）可约表示的特征标可约化为不可约表示 的特征标,46,3. 不可约表示特征标的正交性定理 对于两个不可约幺正表示 的特征标，有,47,48,4. 约化系数公式,如果约化系数=1，则该表示是不可约的。, 已知所有不可约表示的特征标，对于一个表示D， 求出其特征标系，便可得到约化系数。,49,（1）若一个表示和某个不可约表示具有相同特征标系，则该表示是不可约的，且与此不可约表示等价。,（2）若某一表示与所有不可约表示的特征标系均不同，则该表示必是可约的。,5. 特征标与表示的可约性：,（3）不可约表示的判据： 一个表示，若其特征标满足 ，则其必是不

13、可约表示，否则为可约表示。,50,例1.,51,例2. C3v 群在三维实空间中的表示（见例题）中， 1-2行列的块状矩阵，是不可约表示。,52,例3. 一个六阶群，有如下表示D：,53,第五节 群元空间,1. 群元空间（Group element space）,54,55,正交归一性的证明：,56,所有不可约表示的维数平方和 。 例：C3v 群无3维不可约表示。,2. 类空间 (Class space) 定义类矢量： 群G的元素按类划分： C1 ， C2 ， ， Cc 有 c 个类矢量，彼此线性独立：,57,以c个类矢量为基矢，构成 c维线性空间，称为类空间。 （群元空间的子空间）,58,对

14、每个不可约表示，在类空间中构造一组线性独立的矢量：, 综上：,群元运算：群乘，内积，加法，数乘,59, 群元素在群元空间中既是矢量，又是算符。 群元算符,3. 正规表示（ regular representation) 群元空间作为表示空间，群元本身作为算符，其作用在此空间基矢上，对应的变换矩阵构成群的一个表示，称为群的正规表示。,60,类似于函数空间：,正规表示的特点： 1. 每行、每列仅一个元素 = 1，其余 = 0； 2. 表示矩阵维数 = g ； 3. 除单位元，其它群元的表示矩阵的对角元均 = 0。 习题：构造 D3 群的正规表示。,61,正规表示的特征标：, 不可约表示的维数定理：

15、 （勃恩赛特(Burnside)定理）,62,一个群的全部不可约表示的维数的平方和等于群阶。,C3v 群的不可约表示：3个（1维、1维、2维）,63,不可约表示矩阵元的完全（备）性定理,64,不可约表示特征标的完备性定理：,65,不可约表示特征标的正交性定理：,证明：,66,M矩阵：li维，Cl 类中所有群元的第i个不可约表示矩阵之和。 M(il)与不可约表示Di对易，M(il)必为 yI0 。 类似有,67,68,特征标表： 将一个群的所有不等价不可约表示的特征标系一行一行地排列起来形成的表。,69,类特征标表： 以类的名称为群元标志给出的特征标表。,例1. 确定C2群的特征标表。,70,有

16、 2 个类， l1 =1, l2 =1,有限群特征标表的确定方法： 1. 确定不可约表示的个数和相应维数； 2. 必有单位表示； 3. 单位元表示的特征标等于表示的维度； 4. 利用特征标的正交性、完备性定理； 5. 利用某些群元的特殊性质； 6. 利用商群。,71,例2. C3v 群有几个不可约表示？各自维数是多少？ 求出特征标和表示矩阵。 解：,72,一维表示：特征标就是表示矩阵。有：,73,以x, y为基矢， 可得C3v的2维不可约表示D(3)如下：,74,C3v 的一个三维表示D（丁培柱 p53 : x2, y2, 2xy 空间）,75,根据不可约表示的判据： 此表示为可约表示。,76

17、,1. 有限Abel群，所有不可约表示都是1 维的；,77,2. 除单位表示外，有限群的任何不可约表示的特征标对所有群元求和=0。,由 令 为单位表示，有,例3. 确定C4v群的所有不可约表示的特征标系。,78,79,80,1和3列对应相乘再加=0， x2= 2； 类推 留作习题,对于一个群表示，需要做： 判定一个矩阵表示是否可约。 把一个可约表示化成不可约表示的直和。 （表示空间的约化）,81,第六节 可约表示的约化： 投影算符法,有限群G在某线性空间V中有可约表示D，,82,D(R)的约化计算并不容易。,新基矢 ： j：不可约表示；i：出现次数；k：基矢所属列。,83,准对角化过程，相当于

18、空间基矢做变换,84,由已知的可约表示基矢可确定不可约表示的基矢。,构成V 的一个不变子空间(D j 不可约表示的表示空间)。,投影算符方法可由可约表示基矢确定不可约表示基矢。,85,投影算符Pj 的涵义（1）： 从不可约表示基矢中，投影出 基矢（i=1aj）。,j 固定， (i=1aj)构成一个 aj 维空间( E j子空间)。V 中任一函数： Pj 作用后：,投影算符Pj 的涵义（2） ： Pj 是V 到 E j上的投影算符。 （或说，Pj 是V 中任意函数f 到E j上的投影算符。）,86,定理1. f1fN是空间V 的基矢， 共N个矢量中必有且仅有aj个线性独立的矢量，可作为E j子空

19、间的基矢。,证明：只需证E j中任意矢量均可由N个矢量 线性组合表示。,87,定理2. E j子空间中有一个归一化矢量 ，必可根据该矢量生成lj个正交归一矢量，构成不可约表示D j的基矢。,88,89,可作为第j个不可约表示的正交归一基矢，生成不可约表示D j 的一个不变子空间 。 证毕。,90,类似地，共可构造aj个不同的基矢组： 生成 aj个按D j变换的不变子空间 ， 它们彼此正交。,91,即，可由一个 得到 ，进而可由 得到 。,定义位移算符：,92,例1. f1 = x2, f2 = y2, f3 = 2xy，D3群的表示矩阵如下。,93,D3群不可约表示的特征标表：,D3群的2维不

20、可约表示D(3)：,94,3维表示的特征标系：3，0，0，1，1，1., 构造投影算符：,96,用位移算符确定 ：,97,例2. 群 和 的直积群：,98,构造直积群的两个群必须满足： 1. 只有一个公共元素（单位元）； 2. 来自两直积因子中的任两个元素对易。 如：,99,循环群是Abel群 ，类的数目=群阶，6个不可约表示。 所有不可约表示都是一维的，特征标就是表示矩阵。,循环群，生成元为 。 问题(1) ：求所有不可约表示的特征标系。,100,101,102,一维表示肯定是不可约的，而且，特征标的模一定等于1 (否则发散，一个表示的特征标有多个)。,C3h 的正规子群： C3，C1h 一

21、个商群：C3h/C3与C1h同构。,103,二阶群的表示唯一（一维，Abel群）。,104,另一商群： C3h /C1h与 C3 同构。,三阶群的表示唯一（一维，Abel群）。,105,问题(2)：求 C3h 在三维实空间上的表示并将其约化。,设 c3 的转轴为z轴，建立坐标系，基矢为 ， ， ， 对应 x，y ，z 轴单位矢量。,三维实空间是 C3h 群的封闭空间，各群元在其中必有表示。其他群元的表示可由群乘求出。,106,C3h的不可约表示都是一维的，所以上述表示是可约的。现用投影算符法将可约表示空间分解。,107,108,109,110,111,对应于 的不可约表示 。同理可得其他元素的

22、不可约表示。, 新的基矢 将三维实空间分解为C3h 群的3个不变子空间。,112,第七节 直积群的表示,113,； 如何构造直积群G的表示？,114,la维与lb维方阵的直积是lalb 维方阵。 （mn矩阵与pq矩阵直积为mpnq 维）,矩阵直积的定义：, 直积群的表示就是直因子群表示的直积。 （直因子群表示的直积构成直积群的表示）,115,证明：只需证对 有 即, 两个直因子群的不可约表示的直积构成直积群 的不可约表示。,116,不可约表示判据：, 直因子群所有不可约表示的直积给出直积群的 全部不可约表示。,117,可见， ，即，直因子群所有不可约表示的直积表示的个数=直积群的不可约表示的个数，命题成立。,证：G= GaGb，Ga 的不可约表示Da ，维度 la ； Gb：Db , lb ；G的不可约表示D，维度Labg = la lb 。 有,118,例：由 C3和 C1h的不可约表示确定C3h的不可约表示：,