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1、 宿迁市20142015学年度高三年级第一次考试数学参考答案与评分标准数学 必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14二、解答题: 本大题共6小题， 1517每小题14分，1820每小题16分，共计90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（1）由余弦定理得， 3分因为，所以，即 5分解之得，（舍去）所以. 7分（2）因为， 所以 9分 11分(第16题图)PBCADO所以 14分16（1）连接AC，交BD于点O，连接PO
2、 因为四边形ABCD为菱形，所以 2分 又因为，O为BD的中点， 所以 4分 又因为 所以，又因为 所以7分（2）因为四边形ABCD为菱形，所以 9分 因为 所以 11分又因为，平面平面 所以 14分17(1)由题意知， 2分， 5分因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，所以所以 ， 7分(2)记,则， 9分令，得， 11分列表x(0，)(，)0f (x)递增极大值递减所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，13分即， 答：观光路线总长的最大值为千米 14分18（1）因为，所以， 2分令，因为，得或， 5分所以的单调增区间为和； 6分（2）因为对任意且，均有成立，不妨设，根据在
3、上单调递增，所以有对恒成立，8分所以对，恒成立，即对，恒成立，所以和在都是单调递增函数，11分当在上恒成立，得在恒成立，得在恒成立，因为在上单调减函数，所以在上取得最大值，解得 13分当在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，因为在上递减，在上单调递增，所以在上取得最小值，所以， 15分所以实数的取值范围为 16分19（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，1分又点在椭圆上，所以，2分联立，解得 3分所以所求圆的方程为 4分（2）因为直线：，：，与圆相切，所以,化简得6分同理，7分所以是方程的两个不相等的实数根，8分因为点在椭圆C上，所以，即，所以，即 1
4、0分（3）是定值，定值为36，11分理由如下：法一：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,联立解得12分所以，同理，得，13分由，所以 15分(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上： 16分 法二：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,因为，所以,即， 12分因为在椭圆C上，所以， 即， 13分所以，整理得，所以， 所以 15分(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上： 16分20（1）设数列的首项为，公差为，由，得， 2分解得，所以4分（2）因为，若，因为，所以，此方程无整数解； 6分若，因为，所以，此方程无整数解；8分若，因为，所以，解得，所以，满足题意10分 由知，则，一般的取， 13分此
5、时，则，所以为一整数平方因此存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方16分数学部分21【选做题】A(选修41：几何证明选讲)因为BE切O于点B，所以， （第21A题图）因为，由余弦定理得4分又因为，所以，8分所以 10分 B（选修42：矩阵与变换）设矩阵，这里，因为是矩阵A的属于的特征向量，则有 ， 4分又因为是矩阵A的属于的特征向量，则有 6分根据，则有 8分从而所以 10分C（选修4-4：坐标系与参数方程）由得两式平方后相加得， 4分因为曲线是以为圆心，半径等于1的圆得即曲线的极坐标方程是 10分D（选修45：不等式选讲）因为 5分所以原不等式解集为R等价于 所以所以实数的取值范围为 10分22建立如图所示的空间直角坐标系（1）因为AB=AC=1，3，所以各点的坐标为,， 2分因为,，所以所以向量和所成的角为，所以异面直线与所成角为 4分zyxFEB1ACBAA（2）因为，所以 设平面的法向量为，则，且即，且令，则所以是平面的一个法向量 6分又，则，又因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得， 10分23（1）因为 ，当时，由，即有，解得因为为正整数，故 2分当时，由，解得，所以 4分（2）由，猜想：5分下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立6分2假设成立，则， 由条件得，所以， 8分所以 9分因为，又，所以即时，也成立由1，2知，对任意， 10分
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