3.1基本不等式与最大值最小值(1-2课时)

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1、2021/3/1113.3（1）基本不等式基本不等式（2）基本不等式的最大值与最小值基本不等式的最大值与最小值2021/3/112对于任意实数对于任意实数x,y,(,(x-y)2 200总是成立的总是成立的,即即x2 2-2xy+y2 2 00所以所以 ,当且仅当当且仅当x=y 时等号成立时等号成立 2 22 2x x+y y x x y y2 2如果如果a,b都是正数，那么都是正数，那么 ,当且仅当当且仅当a=b时时,等号成立等号成立.a a+b b a ab b2 2,xa yb设设 则由这个不等式可得出以则由这个不等式可得出以下结论下结论:一一.基本不等式基本不等式2021/3/113注

2、意：1这个定理适用的范围：aR 2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。上述不等式称为基本不等式,其中 称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.2abab2021/3/114对基本不等式的几何解释:以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DEAB,则 从而,abCBCACD2abCD 而半径2abAOCDab当且仅当C与O重合,即a=b时等号成立ADBEOCab2021/3/115 其中正确的推导为()A B C D例例12021/3/116例例2 已知x、y都是正数，求证：(1)yxxy(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.2；2021/3/117

3、1不等式不等式m212m中等号成立的条件是中等号成立的条件是()Am1 Bm1Cm1 Dm02已知已知a，bR，且，且ab2，则，则()Aab4 Bab4Cab1 Dab1练习练习2021/3/1182021/3/1192021/3/1110 已知两个正数已知两个正数x，y，求，求x+y与积与积xy的的最值最值.2p214s(1)xy为定值为定值p，那么当，那么当xy时，时，x+y有最小值有最小值 _；(2)x+y为定值为定值s，那么当，那么当xy时，时，积积xy有最大值有最大值 _.积定和小积定和小和定积大和定积大二二.基本不等式的最大值与最小值基本不等式的最大值与最小值2021/3/111

4、1xxxy0sin4sin103loglog3xxyx4yxx2x-xyee例例3.下列函数中，最小值为下列函数中，最小值为2的有的有那些那些?(1)(2)(3)(4)(5)(6)224yxxtan240yxxtanx2021/3/1112变式变式.已知已知 证明：证明：例例4.设设x,y为正实数，且为正实数，且2x+5y=20，求求 的最大值的最大值.912P（课本例）lglguxy91P（课本例3）1 1y=x+(xy=x+(x0),0),x x|y|y|2.2.想一想想一想:错在哪里？错在哪里？例例5.已知函数已知函数 ，求函数的最，求函数的最小值和此时小值和此时x的取值的取值1()(0

5、)f xxxx111:()2212.fxxxxxxxx 解当 且 仅 当即时 函 数 取 到 最 小 值运用均值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件2021/3/11131已知函数，求函已知函数，求函数的最小值数的最小值)2(23)(xxxxf233()2322236xf xxxxxxxx解：当且仅当即时，函数的最小值是。大大 家家 把把 x x=2 2+3 3代代 入入 看看 一一 看看，会会 有有 什什 么么 发 现？用用 什什 么么 方方 法法 求求 该 函函 数数 的的 最最 小小 值？用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足

6、“定值定值”这个条件这个条件练习练习2021/3/1114的最小值。，（其中求函数20sin4sin 3y。函数的最小值为解：4,4sin4sin2sin4siny 用均值不等式求最值用均值不等式求最值,必须注意必须注意“相等相等”的条的条件件.如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立,则不能取到该最值，那则不能取到该最值，那么用什么方法求最小值么用什么方法求最小值2021/3/1115正：正：两项必须都是正数；两项必须都是正数；定：定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。求两项积的最大值，它们的和应为定值。等等：等号成立

7、的条件必须存在等号成立的条件必须存在.注意注意:在使用在使用“和为常数，积有最大值和为常数，积有最大值”和和“积为常数，和有最小值积为常数，和有最小值”这两个结论时，应这两个结论时，应把握三点：把握三点：“一正、二定、三相等一正、二定、三相等、四最值四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件当条件不完全具备时，应创造条件.2021/3/1116例例4 4：设a,b均为正数,证明不等式:211abab注：变换形式再证2021/3/1117对这一不等式的几何解释:以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DDAB,过C作CEOD于E,则在RtOCD中,由射影定理可知,即 A BDD Cab2

8、DCDE OD22112DCabDEabODab由DCDE,得当且仅当C与O重合,即a=b时,等号成立OE211abab2021/3/1118例例5 5：设a,b均为正数,证明不等式:2222abab对这一不等式的几何解释:课本p89思考交流注：注：1.采用放缩法证明，证明思想很重要。采用放缩法证明，证明思想很重要。2.在放缩时不能过度放缩，也不能放缩不足在放缩时不能过度放缩，也不能放缩不足2021/3/11192.理解四个理解四个“平均数平均数”的大小关系；的大小关系；a，bR+，则则 其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等号.2222abab2ababab三三.基本不等式链基本不等式链

9、调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数算术平均数算术平均数 加权平均加权平均数或平方数或平方平均数平均数2021/3/1120(1)已知已知:x0,y0.且且2x+5y=20,求求 xy的最大值的最大值.方法方法1:基本不等式法基本不等式法2252510.1040 xyxyxy20252 2 5,10.xyx yxy方法方法2:减元构造函数减元构造函数构造法构造法下面请大家来研究下列几个问题下面请大家来研究下列几个问题:2021/3/1121(3)y=2x ,(0 x1),求求y的最大值的最大值22b21b21 x(4)已知已知a、b是正数是正数，且，且a2+=1，求求a 的最大值的最大值.

10、(2)已知已知a、b是实数，且是实数，且a+b=4,求求2a+2b的最小值的最小值当且仅当当且仅当a=b=2时时,2a+2b取得最小值取得最小值8.2222222211122213222224babababa2222212212122xxyxxx当且仅当2021/3/11221 1变形变形:函数函数 的最小值的最小值 是是2614(1)1xxyxx 10(4)已知，则函数已知，则函数 的最大值是的最大值是54x 14245yxx 2021/3/112322122xxyxx练习练习:求函数求函数 的最大值；的最大值；2021/3/1124+例例 6 6、已已 知知 a a、b b R R，且且

11、a a+2 2b b=1 1，1 11 1求求+的的 最最 小小 值.a ab b+练习：已：已知x、y知x、yR R，且，且lgx+lgy=1lgx+lgy=1，2525求求+的最的最小小值.xyxy用代换法构造基本不等式用代换法构造基本不等式2021/3/1125+例例7 7、已、已知a、b知a、bR R，且，且a+b+3=aba+b+3=ab，求求abab的最的最小小值.2,23abababab.解不等式可得。231330,0.1.13151411ababb aaababaaa aaaabaa 方法方法1方法方法29ab2021/3/1126例例8 8、求求函函数数y y=2 2x x-1 1+5 5-2 2x x的的最最大大值.1515(x)(x 1 1,求求证：l lo og g(n n-1 1)0 0,求求个人观点供参考，欢迎讨论