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1、选修44坐标系与参数方程,知识梳理,考点自测,1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.,知识梳理,考点自测,2.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个O,叫做极点,自极点O引一条Ox,叫做极轴;再选定一个单位,一个单位(通常取)及其正方向(通常取方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记为
2、.,定点,射线,长度,角度,弧度,逆时针,距离|OM|,xOM,(,),M(,),知识梳理,考点自测,3.极坐标与直角坐标的互化 (1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,).,(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2的整数倍).一般取0,0,2).,知识梳理,考点自测,4.直线的极坐标方程 (1)若直线过点M(0,0),且从极轴到此直线的角为,则它的方程为:sin(-)=. (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程: 直线过极点:=0和; 直线过点M(a,0),且垂直于极轴:; 直线过 ,且平行于极轴:. 5.圆的极坐标方程 (1)若圆心为M(0,0),半径为r,
3、则圆的方程为. (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程: 圆心位于极点,半径为r:=; 圆心位于M(a,0),半径为a:=; 圆心位于 ,半径为a:=.,0sin(0-),= +0,cos =a,sin =b,r,2acos ,2asin ,知识梳理,考点自测,参数方程,参数,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,A,解析:化为普通方程为x=3(y+1)+2,即x-3y-5=0,由于x=3t2+22,77,因此曲线为线段.故选A.,知识梳理,考点自测,B,知识梳理,考点自测,D,解析:C的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=1,圆心C(-1,1),又直线kx+y+4=0
4、过定点A(0,-4),故当CA与直线kx+y+4=0垂直时,圆心C到直线的距离最大,kCA=-5,知识梳理,考点自测,5.在极坐标系中,点A在圆2-2cos -4sin +4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为.,1,解析:设圆心为C,则圆C:x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,故|AP|min=|PC|-r=2-1=1.,考点一,考点二,考点三,考点四,参数方程与极坐标方程间的互化 例1在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说明C1是哪一种
5、曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.,考点一,考点二,考点三,考点四,解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆. 将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0. (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0, 由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0, 从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)
6、,a=1. 当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上, 所以a=1.,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得1.无论是参数方程化为极坐标方程,还是极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程. 2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,求距离的最值,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参
7、和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件. 2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,求平面图形面积的最值 例3(2017全国,文22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2
8、上,求OAB面积的最大值.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和参数方程来解决,也可以通过直角坐标解决,但大多数情况下,把极坐标问题转化为直角坐标问题,把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题.这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练3在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2 =1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为 (R
9、),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.,考点一,考点二,考点三,考点四,求动点轨迹的方程,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得在求动点轨迹方程时,如果题目有明确要求,求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程,那么就按要求做;如果没有明确的要求,那么三种形式的方程写出哪种都可,哪种形式的容易求就写哪种.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,1.极坐标与平面直角坐标不同,极坐标与直角坐标之间不是一一对应的,所以我们规定0,02来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点. 2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅要把其中的参数消去,还要注意其中的x,y的取值范围,也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.,
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