一类与中值公式相关的辅助函数的构造方法

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1、一类与中值公式相关的辅助函数的构造方法微分中值定理在数学分析中起着非常重要的作用，关于定理本 身的证明以及应用中值定理证明某一些等式，都需要构造相应的辅 助函数，使其满足罗尔定理的条件，从而达到证明目的。一、构造辅助函数的具体方法证明中值定理及相关等式往往与函数在某一点 ？灼的导数有关， 因此在构造辅助函数时一般需分三个步骤：第一，先将等式两端的 点？灼换成X；第二，分别求出等式两端函数的原函数；第三，求出 等式两端原函数的差即为所求的辅助函数。如拉格朗日中值定理的 结论是f ( ?灼)二，首先将？灼换成X,即为f ( X)二，而左端 的原函数为f (X),右端的原函数为X,令f (X) =f

2、 (X) -X，则容 易验证f ( X)满足罗尔定理的三个条件，因此定理立即得证。例1,设f (X)在a, b上可微，试证明存在？灼( a, b), 使 2?灼f (b) -f (a) = (b2-a2) f(?灼)分析：将？灼换成 X 得 2x f (b) -f (a) = (b2-a2) f(x), 左端的原函数为x2 :f (b) -f (a),右端的原函数为(b2-a2) f(x),于是作辅助函数 f (x) =x2 f (b) -f (a) ( b2-a2) f (x)即可。证明：令 f (x) =x2f (b)-f (a) ( b2-a2)f ( x),则 f(x)在a, b 上可微，且满足f (a) =a2f(b) -b2f(a) =f(b),所以f (x)在a, b 上满足罗尔定理条件，于是存在？灼( a, b),使得 f( ?灼)=0,即 f( ?灼)=2？灼： f (b) -f (a)-