解析几何难题——教师版,附解答

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1、解析几何【例01】点的坐标分别是，直线相交于点M，且它们的斜率之积为(1)求点M轨迹的方程.(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点、(在、之间)，试求与面积之比的取值范围(为坐标原点)解(1)设点的坐标为， 整理，得()，这就是动点M的轨迹方程(2)方法一 由题意知直线的斜率存在，设的方程为() 将代入，得，由，解得设，则 令，则，即，即，且 由得，即且且解得且，且OBE与OBF面积之比的取值范围是方法二 由题意知直线的斜率存在，设的方程为 将代入，整理，得， 由，解得 设，则 令，且 .将代入，得即 且，且即且解得且 ，且故OBE与OBF面积之比的取值范围是 【例02】在ABC中，

2、A点的坐标为(3，0)，BC边长为2，且BC在y轴上的区间-3，3上滑动(1)求ABC外心的轨迹方程(2)设直线ly=3x+b与(1)的轨迹交于E、F两点，原点到直线l的距离为d，求的最大值并求出此时b的值解 (1)设B点的坐标为(0，)，则C点坐标为(0，+2)(-31)，则BC边的垂直平分线为y=+1 由消去，得，故所求的ABC外心的轨迹方程为：(2)将代入得由及，得所以方程在区间，2有两个实根设，则方程在，2上有两个不等实根的充要条件是： 得又原点到直线l的距离为，当，即时，【例03】已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为(1)求椭圆的方程(2)设点在抛物线：上，在点处的切线与

3、交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值解(I)由题意得所求的椭圆方程为， (II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则， 设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1【例04】已知抛物线：上一点到其焦点的距离为(1)求与的值(2)设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点若是的切线，求的最小值解()由抛物线方程得其准线方程：，根

4、据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得()由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为.则，当 则.联立方程，整理得：即：，解得或，而，直线斜率为 ，联立方程整理得：，即： ，解得：，或，而抛物线在点N处切线斜率： MN是抛物线的切线， 整理得，解得(舍去)，或，【例05】已知双曲线的离心率为，右准线方程为(1)求双曲线的方程(2)设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力()由题意，得，

5、解得，所求双曲线的方程为.()点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，设A、B两点的坐标分别为，则，且，. 的大小为.【解法2】()同解法1.()点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得 切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设A、B两点的坐标分别为，则， 的大小为.(且，从而当时，方程和方程的判别式均大于零).【例06】椭圆E: (a、b0)过M(2，) ，N (，1)两点，O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，并且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的

6、取值范围，若不存在说明理由.解:(1)因为椭圆E: (a，b0)过M(2，) ，N (，1)两点，所以解得所以椭圆E的方程为(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为解方程组得，即， 则=，即，要使，需使，即，所以，所以又，所以，所以，即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.因为，所以， 当时因为所以，所以，所以当且仅当时取”=”. 当时，. 当AB

7、的斜率不存在时， 两个交点为或，所以此时，综上， |AB |的取值范围为即: 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题，主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.【例07】设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，动点 的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状(2)已知，证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且(O为坐标原点)，并求出该圆的方程(3)已知，设直线与圆C:(1R2)相切于A1，且与轨迹E只有一个公共点B1，当R为

8、何值时，|A1B1|取得最大值?并求最大值.解(1)因为，所以， 即. 当m=0时，方程表示两直线，方程为；当时， 方程表示的是圆当且时，方程表示的是椭圆； 当时，方程表示的是双曲线.(2).当时， 轨迹E的方程为，设圆心在原点的圆的一条切线为，解方程组得，即，要使切线与轨迹E恒有两个交点A，B， 则使=，即，即， 且，要使， 需使，即，所以， 即且， 即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为， 所求的圆为.当切线的斜率不存在时，切线为，与交于点或也满足.综上， 存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点且.(3)当时，轨迹E的方程为，设直线的方程为

9、，因为直线与圆C:(1R2时，由得 化简得 当时 由得化简得 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线，参见图1()如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A(2，)，B(2，)，直线AF，BF的斜率分别为=，=.当点P在上时，由知. 当点P在上时，由知 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为(i)当k，或k，即k-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M(，)，N(，)都在C 上，此时由知MF= 6 - NF= 6 - 从而MN= MF+ NF= (6 - )+ (6 - )=12 - ( +)由 得 则，是这个方程的两根，所

10、以+=*MN=12 - (+)=12 - 因为当 当且仅当时，等号成立.(2)当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则知， 设直线AF与椭圆的另一交点为E 所以.而点A，E都在上，且 有(1)知 若直线的斜率不存在，则=3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为.【例12】已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点.(1)求椭圆的方程.(2)求线段MN的长度的最小值.(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由.解 方法一(I)由已知得，椭圆

11、的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为()直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而 即又由得故又 当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值()由()可知，当取最小值时， 此时的方程为 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上.设直线由解得或 【例13】给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程. (2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M、N .当P为“准

12、圆”与轴正半轴的交点时，求的方程.求证|MN|为定值.解：(I)因为，所以 2分所以椭圆的方程为，准圆的方程为 . 4分(II)(1)因为准圆与轴正半轴的交点为P(0，2)， 5分设过点P(0，2)，且与椭圆有一个公共点的直线为， 所以，消去y ，得到 ， 6分因为椭圆与只有一个公共点，所以 ，7分解得. 8分所以方程为. 9分(2)当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是(或)，即为(或)，显然直线垂直；同理可证 方程为时，直线垂直. 10分 当都有斜率时，设点，其中，设经过点与椭圆

13、只有一个公共点的直线为，则，消去得到，经过化简得到:，因为，设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直.12分综合知：因为经过点，又分别交其准圆于点M，N，且垂直，所以线段MN为准圆的直径，所以|=. 13分【例14】设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P.(1)实数m的取值范围(用a表示).(2)O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a时，试求OAP的面积的最大值(用a表示).14. 解：(1)由 消去y得： 设，问题(1)化为方程在x(-a，a)上有唯一解或等根 只需讨论以下三种情况： 1=0得：，此时xp=-a

14、2，当且仅当-a-a2a，即0a1时适合； 2f (a)f (-a)0，当且仅当-ama； 3f (-a)=0得m=a，此时xp=a-2a2，当且仅当-aa-2a2a，即0a1时适合 f (a)=0得m=-a，此时xp=-a-2a2，由于-a-2a2-a，从而m-a 综上可知，当0a1时，或-ama；当a1时，-ama 10分(2)OAP的面积 0a，故-ama时，0a， 由唯一性得 显然当m=a时，xp取值最小由于xp0，从而yp=取值最大，此时， 当时，xp=-a2，yp=，此时 下面比较与的大小：令，得 故当0a时，此时 当时，此时 20分【例15】一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点

15、A且OA=a. 拆叠纸片使得圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合16.解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)设折叠时，O上点A/()与点A重合，而折痕为直线MN，则 MN为线段AA/的中垂线设P(x，y)为MN上任一点，则PA/=PA5分即10分 可得：1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分平方后可化为1，即所求点的集合为椭圆圆=1外(含边界)的部分20分【例16】过抛物线上的一点A(1，1)作抛物线的切线分别交轴于D、交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足；点F在线段BC上，满足，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.18.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点.5分设、，则由知，得EF所在直线方程为：化简得10分当时，直线CD的方程为：联立、解得，消去，得P点轨迹方程为：15分当时，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，所求轨迹方程为20分解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点. 5分令则因为CD为的中线，而是的重心.10分设因点C异于A，则故重心P的坐标为消去得故所求轨迹方程为20分Page 17 of 18