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1、数 学 实 验报 告实验四 数列与级数学院：数学与信息科学学院 班级：09级数学（4）班姓名：*学号：*实验四 数列与级数实验名称数列与级数实验目的学习使用Mathematica4.0发现数列与级数的极限与规律以及极限状态的性质。通过作出Fibonacci数列的折线图，考察Fibonacci数列的极限与规律；以及讨论3n+1问题。实验环境Mathematica4.0系统实验的基本理论与方法对Fibonacci数列用计算机计算出Fibonacci数列的图像，观察其单调性以及增加速度；用直线去拟合数据，猜测通项公式满足，并进行尝试，带入差分方程，从中解出特征根；3n+1问题只需对奇数进行分析，如果
2、对每个n，数列中有某一项小于n，从n开始产生的数列最后都落于中。实验的内容与步骤一、 Fabonacci数列的极限规律1、递推关系式为 =+,n=1,2, =1,=1 的数列被称为Fibonacci数列。2、画Fibonacci数列折线图（1） 在计算机中打开Mathematica4.0系统；（2） 点击鼠标进入工作区后，输入以下语句；(3) 按Shift和Enter键运行。3、用直线去拟合（i,），i=1，2，。的函数（1） 在计算机中打开Mathematica4.0系统；（2） 点击鼠标进入工作区后，输入以下语句；（3） 按Shift和Enter键运行。4、演奏Fibonacci数列的函数
3、（1） 在计算机中打开Mathematica4.0系统；（2） 点击鼠标进入工作区后，输入以下语句；（3） 按Shift和Enter键运行。二、3n+1问题3n+1问题起源于20世纪50年代，又称为Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz问题，Hasse算法问题，Ulamw问题，Thwaites猜想等等，目前有人验证，猜想仍然成立。任给自然数n，如果n是偶数，则将n是奇数，则将n乘3加上1.重复上述过程得到一个无穷数列。例如： 上述数列可递归地定义为 对于初始值n=1,2,3,4,5。相应数列是 对于任意的n，会得到怎样的结果。编写一个产生数列的程序对n=有 对为奇数有 因此，我们只需要
4、对奇数进行分析。另一个有意义的观察是：如果对每个n, 数列中有某一项小于n, 则猜想成立。同时可以发现，3n+1问题与下列问题是等价的： （1）所有航班的航程有限； （2）所有航班的保持高度航程有限； （3）对所有n, E(n)有限； （4）对所有n, O(n)有限。3n+1问题可以推广到负数。迄今发现了三个不同的循环：-1-2-1，-5-14-7-20-10-5，-17-50-25-74-37-110-55-164-82-41-122-61-182-91-272-136-68-34-17，实验的结果和结果分析练习1、分别取N=20，50，100，200，500，观察Fibonacci数列的折
5、线图，Fibonacci数列是否单调增？是否趋于无穷？它增加的速度是快还是慢？N=20N=50N=100N=200N=500练习2、分别取N=2000，5000，10000，用直线去拟合数据，n=1,2,N,由此求数列的近似表示。N=2000N=5000N=10000练习3、取一整数m，将Fibonacci数列模m得到一周期数列，将该周期数列的值作为音高，编程演奏它，取不同的m，或将几段合并，感受旋律的变化。m=100m=500m=1000从上述实验的结果可以看出Fibonacci数列单调增，并且趋于无穷，随着N值的不断增大，它增加的速度也随之变快；经过直线拟合后发现其图像近似于一条直线，猜测到数列的通项具有形式。3n+1问题可以得到更大范围的推广。附录
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