课时提升作业[二十三]模拟方法、概率的应用

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1、 .wd.温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节适宜的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十三)模拟方法概率的应用一、选择题(每题3分,共18分)1.(2014辽宁高考)将一个质点随机投入如以下列图的长方形ABCD中,AB=2,BC=1,那么质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.阴影局部为半圆,其面积S阴=12=,长方形面积S=21=2.所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是=.【变式训练】有如下四个游戏盘,撒一粒黄豆,假设落在阴影局部,就可以中奖,假设希望中奖的时机最大,那么应该选择的游戏

2、是()【解析】选A.四个选项中中奖的概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=1-,P(D)=,故P(A)P(B)P(D)P(C),所以选A.2.(2014枣庄高一检测)函数f(x)=log2x,x,在区间上任取一点x0,那么使f(x0)0的概率为()A.1B.C.D.【解析】选C.欲使f(x)=log2x0,那么x1,而x,所以x01,2,从而由几何概型概率公式知所求概率P=.3.(2014长沙高二检测)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P,那么点P到点A的距离小于或等于a的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.事件“点P到点A的距离小于或等于a构成的区域是以A为球心

3、,a为半径的球的,故P=.4.如图,A是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A,连接AA,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.当AA的长度等于半径长度时,AOA=,由圆的对称性及几何概型得P=.【误区警示】此题易无视点A选择的对称性,考虑不周全,造成解题错误.5.一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行,那么其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为()A.B.1-C.1-D.1-【解题指南】求出三角形的面积;再求出距三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形,三个扇形的和是半圆,求出半圆的面积;利用对立事件的概率公式及几何概型概率公

4、式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率.【解析】选D.三角形ABC的面积为S1=34=6.离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=,所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1-=1-.6.(2013湖南高考)事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使APB的最大边是AB发生的概率为,那么=()A.B.C.D.【解题指南】此题的关键是找出使APB的最大边是AB的临界条件,首先是确定ADAB,然后作出矩形ABCD,最后分别以A,B为圆心以AB为半径作圆弧交CD于F,E,当EF=CD时满足题意.【解析】选D.如图,在矩形ABCD中,以AB为半径作圆交CD分别于点E,F,当点P

5、在线段EF上运动时满足题设要求,所以E,F为CD的四等分点,设AB=4,那么DF=3,AF=AB=4,在直角三角形ADF中,AD=,所以=.二、填空题(每题4分,共12分)7.(2013湖北高考)在区间-2,4上随机地取一个数x,假设x满足|x|m的概率为,那么m=_.【解题指南】解绝对值不等式,根据几何概型利用区间长度之比求解.【解析】由|x|m,得-mxm,当m2时,由题意=,m=2.5矛盾,舍去;当2m4时,由题意得=,解得m=3.答案:38.正方体ABCD -A1B1C1D1内有一个内切球O,那么在正方体ABCD -A1B1C1D1内任取点M,点M在球O内的概率是_.【解析】设正方体的

6、棱长为2.正方体ABCD -A1B1C1D1的内切球O的半径是其棱长的一半,其体积为V1=13=.那么点M在球O内的概率是=.答案:9.(2013南昌高二检测)如图,半径为10cm的圆形纸板内有一个一样圆心的半径为1cm的小圆.现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上,使硬币整体随机落在纸板内,那么硬币落下后与小圆无公共点的概率为_.【解析】由题意,硬币的中心应落在距圆心29cm的圆环上,圆环的面积为92-22=77(cm2),故所求概率为=.答案:三、解答题(每题10分,共20分)10.(2014长春高二检测)在街道旁边有一游戏:在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1cm

7、的小圆板.规那么如下:每掷一次交5角钱,假设小圆板压在边上,可重掷一次;假设掷在正方形内,需再交5角钱才可玩;假设压在正方形塑料板的顶点上,可获得一元钱.试问:(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少?(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少?【解析】(1)如图(1)所示,因为小圆板的中心O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的,小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1cm时,所以小圆板的中心O落在图中阴影局部时,小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接,这个范围的面积等于92-72=32(cm2),因此所求的概率是=.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在

8、圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1cm时,如图(2)阴影局部,四块合起来面积为cm2,故所求概率是.11.在半径为1的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率.【解析】记事件A=弦长超过圆内接等边三角形的边长,如图,不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦,当弦为CD时,就是等边三角形的边长,弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF,由几何概型公式得P(A)=.【变式训练】(2013临沂高一检测)平面区域=,直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点,它们围成的平面区域为M,向区域上随机投一点A,

9、点A落在区域M内的概率为P(M),假设0m1,那么P(M)的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选D.直线y=mx+2m过半圆y=上一点(-2,0),当m=0时,直线与x轴重合,这时P(M)=1,故可排除A,B,假设m=1,如图可求得P(M)=,应选D.一、选择题(每题3分,共12分)1.(2014湖南高考)在区间-2,3上随机选取一个数X,那么X1的概率为()A.B.C.D.【解析】选B. 基本领件空间为区间-2,3,它的度量是长度5,X1的度量是3,所以所求概率为.2.(2014临沂高一检测)如图,在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆,它落在圆内接正三角形内(阴影局部)的概率是()A.B.C.

10、D.【解析】选D.因为S圆=R2,S三角形=32RR=R2,所以落在圆内接正三角形内的概率是=.3.(2013淄博高一检测)在面积为S的ABC的边AB上任取一点P,那么PBC的面积不小于的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.记事件A=PBC的面积大于等于, 基本领件空间是线段AB的长度,如图,因为SPBC,那么有BPCDABCD.化简即得,所以,事件A的几何度量为线段AP的长度,因为AP=AB,所以P(A)=,应选A.4.如图,在AOB中,AOB=60,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,那么AOC为钝角三角形的概率为()A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1【解题指南】试验发生

11、包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况,第一种ACO为钝角,第二种OAC为钝角,根据等可能事件的概率得到结果.【解析】选B.试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况:第一种ACO为钝角,这种情况的边界是ACO=90的时候,此时OC=1,所以这种情况下,满足要求的是0OC1.第二种OAC为钝角,这种情况的边界是OAC=90的时候,此时OC=4,所以这种情况下,满足要求的是4OC5.综合两种情况,假设AOC为钝角三角形,那么0OC1或4OC5.所以概率P=0.4.【误区警示】此题易出现只考虑一种情况的错误

12、,致使所得结果为0.2.二、填空题(每题4分,共8分)5.(2014重庆高考)某校早上8:00开场上课,假设该校学生小张与小王在早上7:307:50到校,且每人在该时间段内的任何时刻到校是等可能的,那么小张比小王至少早5分钟到校的概率为_.(用数字作答)【解题指南】可设出两人到校的时刻,列出两人到校时刻满足的关系式,再根据几何概型的概率公式进展求解.【解析】设小张与小王到校的时刻分别为7:30之后x,y分钟,那么由题意知小张比小王至少早5分钟到校需满足y-x5,其中0x20,0y20.所有的 基本领件构成的区域为一个边长为20的正方形,随机事件“小张比小王至少早5分钟到校构成的区域为阴影局部.

13、由几何概型的概率公式可知,其概率为P=.答案:6.在区间-2,3上任取一个实数a,那么使直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d的概率是_.【解题指南】由给出的弦长范围,求出圆心到直线ax+y+1=0的距离的范围,再由点到直线的距离公式写出圆心到直线的距离,列式求出a的范围,然后用长度比求概率.【解析】如图.直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d=AB,那么半弦长BC,因为圆的半径等于1,所以圆心到直线ax+y+1=0的距离OC,即,得-2a-1或1a2.又a-2,3,所以在区间-2,3上任取一个实数a,那么使直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d的概率

14、是=.答案:【误区警示】解答此题时易出现利用直线和圆的方程求弦长的解法,这样会使解答过程烦琐、易错,甚至解不出答案.通过此题的解容许该学会抓住问题的本质,适时将问题转化,养成转化与化归的意识.三、解答题(每题10分,共20分)7.-2x2,-2y2,点P的坐标为(x,y).(1)求当x,yR时,P满足(x-2)2+(y-2)24的概率.(2)求当x,yZ时,P满足(x-2)2+(y-2)24的概率.【解题指南】(1)为几何概型,作出图形,利用几何概型的概率公式求解.(2)是古典概型,需分别求出满足-2x2,-2y2的点及(x-2)2+(y-2)24的点的个数,利用古典概型的概率公式求解.【解析

15、】(1)如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),而满足(x-2)2+(y-2)24的点P的区域为以(2,2)为圆心,2为半径的扇形区域(含边界).所以所求的概率P1=.(2)满足x,yZ,且-2x2,-2y2的点(x,y)有25个,满足x,yZ,且(x-2)2+(y-2)24的点(x,y)有6个,所以所求的概率P2=.【变式训练】(2013天水高一检测)甲、乙两人约好在“五一长假时间去天水市石马坪南山牡丹园观花游玩,决定在早晨7点半到8点半在石马坪的惠民商场门口会面,并约定先到者等候另一人15分钟,假设未等到,即可离开惠民商场门口,直接去牡丹园观花,大家算一算两人会面后一起去观花

16、的概率是多少.【解题指南】由题意知此题是一个几何概型,试验发生包含的所有事件对应的集合是=(x,y)|7.5x8.5,7.5y8.5,作出集合对应的图形是边长为1的正方形,写出满足条件的事件对应的集合,画出图形,根据面积之比得到概率.【解析】由题意知此题是一个几何概型,因为试验发生包含的所有事件对应的集合是=(x,y)|7.5x8.5,7.5y8.5,集合对应的面积是边长为1的正方形的面积S=1,而满足条件的事件对应的集合是A=.如图:由几何图形面积公式得到SA=,所以两人能够会面的概率是=.8.如图,AB是半圆O的直径,AB=8,M,N,P是将半圆圆周四等分的三个分点,(1)从A,B,M,N

17、,P这5个点中任取3个点,求这3个点组成直角三角形的概率.(2)在半圆内任取一点S,求三角形SAB的面积大于8的概率.【解析】(1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,一共可以组成10个三角形:ABM,ABN,ABP,AMN,AMP,ANP,BMN,BMP,BNP,MNP,其中是直角三角形的只有ABM,ABN,ABP,3个,所以所取这3个点组成直角三角形的概率P=.(2)连接OM,OP,ON,MP,取线段MP的中点D,那么ODMP,易求得OD=2,当S点在线段MP上时,SABS=28=8,所以只有当S点落在阴影局部时,三角形SAB的面积才能大于8,而S阴影=S扇形MOP-SOMP=42-

18、42=4-8,所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于8的概率P=.【拓展提升】求解概率问题的步骤(1)判断类型:是古典概型还是几何概型.(2)求解总的 基本领件及所求事件的个数(古典概型)或总的 基本领件及所求事件构成空间的长度、面积、体积或角度(几何概型).(3)利用相应概率类型的概率公式求解概率.【变式训练】设点(p,q)在|p|3,|q|3中按均匀分布出现,试求方程x2+2px-q2+1=0的两根都是实数的概率.【解析】设 基本领件总数为区域D,那么SD=62=36.由方程x2+2px-q2+1=0的两根都是实数得=(2p)2-4(-q2+1)0,所以p2+q21.所以当点(p,q)落在如以下列图的阴影局部时,方程的两根均为实数,由图可知,所求事件构成的区域为d,那么Sd=S正方形-SO=36-.由几何概型公式可得,=.关闭Word文档返回原板块