[信息技术2.0微能力]：中学九年级数学上（解直角三角形）解直角三角形及 其应用——中小学作业设计大赛获奖优秀作品-《义务教育数学课程标准（2022年版）》

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1、中学九年级数学上（解直角三角形）解直角三角形及其应用义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品3一、单元信息基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学九上沪科版解直角三角形单元组织方式团自然单元 重组单元课时信息序 号课时名称对应教材内容123.1 锐角的三角函数1. 锐角三角函数的概念；2. 特殊角的三角函数值；3. 一般锐角的三角函数值223.2 解直角三角形及 其应用4. 解直角三角形的概念；5. 运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题说明：1.单元一般是指同一主题下相对独立并自成体系的学习内容，相当于 一个

2、微课程，不一定是一个大概念成为一个单元主题。主题可以是一个观念、一 个专题、一个关键能力或一个真实问题，一个综合性的项目 (或跨学科) 任务。 2.根据课标，教材内容编排，学情及学习内容之间的关联性进行确定单元主题， 具体做法建议如下：一是自然单元，以教材原先设计的自然章节作为一个单元主 题。二是重组单元，以课标中的某个学习主题、某个大概念或学科关键能力等重 组单元。二、单元分析( 一) 课标要求(1) 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数 ( sin A ， cos A ， tan A )，知道 30 ，45 ，60角的三角函数值。1(2) 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由

3、已知三角函数值求它 的对应锐角。(3) 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际 问题。(二) 教材分析本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数 的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用。解直角三 角形的知识在实际中有较多的应用。本章首先从学生比较感兴趣的汽车爬坡能力 谈起，引出一个锐角三角函数正切，因为相比之下正切是生活中用得最多的 三角函数概念，如山坡的坡度，物体的倾斜程度都是用正切来刻画的。类比正切 的概念，进而介绍了正弦，余弦的概念。对于一般的锐角三角函数值的计算问题， 教科书中详细介绍了运用计算器由锐角求三角函数值，以

4、及由三角函数值求锐角 的方法，并适当地加强这方面计算能力的训练。这也为进一步学习解直角三角形 的应用题做好充分的准备。(三) 学情分析前面学生已经学习过相似三角形，勾股定理以及三角形的边角关系等知识， 都为本章的学习做好了充分的铺垫。同时本章是三角学中最基础内容，也是高中 乃至今后进一步学习三角学的必要基础。教科书在运用学习过的相似三角形的基 础上推出直角三角形的锐角大小确定后，直角三角形的两边之比为一定值，从而 引入锐角三角函数的概念，进一步强化了数与形的结合思想，并且有利于数学知 识间的串联，延伸。教师引导总结得当，学生学习起来就会更加得心应手，让知 识体系的构建更加完整和合理。三、单元学

5、习与作业目标目标类别目标层次知识点及相关技能知识技能目标过程性目标了 解理 解掌 握灵活运用经历 (感受)体验 (体会)探 索锐 角 三 角 函数锐角三角函数的概念锐角的正弦、余弦和正切正 弦 、 余 弦 、 正 切 的 符 号 ( sin A ， cos A ， tan A )30 、45 、60角的三角函 数值2三 角 函 数 的 计 算用计算器求锐角的三角函数值用计算器根据三角函数值求锐 角解 直 角 三 角形解直角三角形的概念运用三角函数解决与直角三角 形有关的简单实际问题单元作业目标知识与技能目标了解并掌握锐角三角函数的概念。牢记几个特殊角的三角函数值，并能进行简单的运算。理解并掌握

6、任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系，会把互余两角的 正、余弦互化。运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题。结合勾股定理，解决直角三角形的边角转化问题。 过程与能力目标引导学生探索三角函数的推导过程，提升学生的数学推理能力。培养学生把实际问题转化为数学问题并解决的能力，提高学生的形象思维能力，渗透转化的数学思想。情感与态度能力学习中感受数学与生活的密不可分，来源于生活，也服务于生活。培养理 论联系实际，敢于实践，勇于探索的精神。四、单元作业设计思路在设计本章作业时，要从唤醒学生的转化能力、推理能力开始，结合生活中 实际内容，按层次分解作业梯度，逐步达成作业目标，尝试运用三角函数，由

7、课 本内容延伸到生活中的实际内容，培养学生探索的精神。同时，应该结合“双减” 政策，优化作业内容，丰富作业形式。对于基础知识，大部分学生能轻松掌握， 但仍有部分后进生或惰性较大的学生会有一点吃力。所以在设计作业时，基础知 识是根本，应该体现在每一节课时中。同时，适当安排一些能力拓展的题目，通 过长时间积累，可以提高学生的数学理解能力。学生可以根据自己的能力选择性 地完成，达到分层的目的。让学生在循序渐进中掌握知识，提高能力，乐在其中。3第 23 章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.1 锐角的三角函数单元名称解直角三角形课题正切节次1作业类型题 号作业内容设计意图时间要求基础题1在

8、 RtABC 中， C90 ，AC1，BC3 ，则B 的正切值为 ( )A 3 B C D 本 题 考 查 正 切 的定义，要掌握 锐角A的对边 a 与邻边 b 的比叫 做A 的正切.18min2在 RtABC 中，若各边长都扩大为原来的 3 倍，则锐角A 的正切值 ( )A 扩大为原来的 3 倍B 缩小为原来的C 不变D 以上都不对同上，要理解正 切 的 值 是 一 个 比值，只与角的 大小有关.3如图，点 A (t ，3) 在第一象限，OA与 x 轴所夹的锐角为 ， tan = ，则t 的值是 ( )A 1 B 1.5 C 2 D 3本 题 考 查 正 切 的定义及运用： 在 直 角 三

9、角 形 中，锐角正切为 对边比邻边.44如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比为 1 ： ，坝高 BC4m ，则 AB 的长度 为 ( )本 题 考 查 直 角 三 角 形 的 应 用 坡 度坡 角 问题，正确掌握 坡 比 的 定 义 是 解题的关键.A 2 mC 4 mB 4 mD 6m5某人沿坡度i1：2 的斜坡向上前进了10 米，则他上升的高度为 ( )A 5 米 B 2 5 米C 4 5 米 D 10 米本 题 要 掌 握 坡 度的概念，结合 勾 股 定 理 设 参 数进行解答.6如图，P (12，a ) 在反比例函数y = 图象上，PHx 轴于 H，则 tanPOH 的值为 本 题 考

10、 查 了 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征，锐角三角函 数 的 定 义 及 运 用.7如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB 、AD 中点，若 EF2 ，BC5，CD3 ，则tan C 等于 ( )A B C D 本 题 考 查 的 是 三 角 形 中 位 线 定理、勾股定理 的逆定理、解直 角 三 角 形 的 知 识，熟练应用中 位 线 定 理 是 解题的关键.58如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶 宽 6m ，坝高 23m ，斜坡 AB 的坡度 i 1：3，斜坡 CD 的坡度 i 1：2.5求 斜坡 AB 的坡角 (精确到 1 度)，坝底 宽 AD 和斜坡

11、 AB 的长 (精确到 0.1m)考 查 了 解 直 角 三角形的应用， 解 决 本 题 的 关 键 是 利 用 锐 角 三 角函 数 的 概 念 和 坡 度 的 概 念求解.拓展题9如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且 每 个 小正 方 形 的 边 长 为 1 ， 则tanBAC 的值为 ( )本 题 考 查 了 锐 角 三 角函 数 的 定义，解直角三 角形，以及勾股 定理，熟练掌握 勾 股 定 理 是 解 本题的关键.12minA12B 1 C33D 10如图，在矩形 ABCD 中，AB11 ，AD 6 ，点 E 是边 AB 上的点 (不与点A， B 重合) ，将A 沿 DE 折叠

12、，点 A1 是 点 A 的对应点；点 F 是边 BC 上的点， 将B 沿 EF 折叠，点 B1 是点 B 的对应 点，且点 B1 在直线 EA1 上.(1) 若 DEEF，求 CF 的长； (2)若点 F 是 BC 的中点，求 tanADE 的值.本 题 考 查 折 叠 问题，能运用三 角形相似，全等 三角形，勾股定 理 等 知 识 综 合 求 解 是 解 的 关 键.评价设计评价分为 A 、B 、C 三个等级，A 等：超过 8 题过程规范准确，答案正确，解法有独到之处. B 等：超过 6 题过程不够规范，6答案有一些问题，解法较常规. C 等：超过 6 题过程不规范或无过程，答案错误，思路不

13、清晰.参考答案71.B 2.C 3.C tan ， 18， ，AE69，4.C5.B6. 7.A 8.解： AB的坡度 i1：3，AB 232 + 692 72.7 (m )，BC6，EF6，CD 的坡度 i1：2.5，tanD = ， ，DF57.5，ADAE+EF+DF69+6+57.5132.5 (m )答：坝底宽 AD的长是 132.5m ，斜坡 AB 的长是 72.7m9.B10.解：(1) 将A 沿 DE 折叠，点 A1 是点A 的对应点，AEDA1ED，DEA DEA1，将B 沿 EF 折叠，点 B1 是点 B 的对应点，EFBEFB1，BEF B1EF， DEF90， EDA+

14、DEADEA+FEB90， DEAFEB，DEEF，DAEEBF (AAS)，BFAE ，DABE，AB11，AD6，EB6，AEBF5，CF1；(2) 由 (1) 知，DAEEBF， = 点 F 是 BC 的中点，BF3， = 11 一6AE ， AE2 或 AE9，在 RtADE 中，tanADE 或 tanADE .8第 2 课时 正弦和余弦单元名称解直角三角形课题正弦和余弦节次1作业类型题 号作业内容设计意图时间要求基础题1如图，在ABC 中，A90，若 AB8 ，AC6 ，则sin C 的值为 ( )本 题 考 查 正 弦 的定义，结合勾 股 定 理 求 解 即 可.20minA B

15、 C35D452在ABC 中， 已知C90 ，AC4 ， sin A = ，那么 BC 边的长是( )A 2 B 8 C 4 D 12同上，注意正弦 的表达式，求出 边长.3如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (3，4)，那么cos 的值是 ( )本 题 需 利 用网 格的特点，将要 求 三 角函 数 的 锐 角 转 化 到 某 个 直 角 三 角 形 中 是 解 题 的 关 键.A B C35D454已知，在 RtABC 中，C90，如果AC2，A，则AB 的长为( )A 2sin B 2cosC 2tan D 本 题 主 要 考 查 了 锐 角 三 角函 数关系，正确数 形 结 合

16、 是 解 题关键。5在ABC 中， ACB90 ，CDAB 交于点 D ， 则下列等式中错误的是( )本 题 考 查 了 锐 角 三 角函 数 定义的应用，主要9A sin B = B sin B = C sin B = D sin B = 考 查 学 生 对 锐 角 三 角函 数 的 定 义 的 理 解 能 力和辨析能力.6ABC 中，C90 ，sin A = ，求cos A ， tan B 的值在 直 角 三 角 形 中，当给出某一 锐 角的 三 角函 数值，求另一个 锐 角的 三 角函 数值时，可以用 设 参 数 的 方 法来解决.7已知：如图， ABC 中，AB9 ，BC 6，ABC

17、的面积等于 9，求sin B 的值本 题 意 在 训 练 学 生 做 这 类 题 目时，构造直角 三角形是关键， 往 往 在 告 诉 面 积 时 要 结 合 面积求高来解决.8如图，点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一 点，BCE 沿 BE 折叠为BFE ，点 F 落在 AD 上(1) 求证：ABFDFE；(2) 若 sin DFE ，求 tan EBC 的值本 题 考 查 矩 形 的性质、相似三 角 形 的 判 定 和 性 质 以 及 锐 角 三 角函 数 的 概 念，掌握有两个 角 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似 是解题的关键.10拓展题9如图所示方格纸中每个小正方形的边 长

18、为 1，其中有三个格点A、B 、C，则sin ABC 本题是第 7题的 变式，放在网格 中，格点三角形 的 边 长 以 及 面 积 一 般 方 便 求 解，再利用第 7 题方式求解。在 做 题 时 要 学 会 总结，找到同类 题常用的方法。12min10如图，在菱形 ABCD 中，AC6 ，BD8(1) 求 sin ABD(2) 扬扬发现ABC2ABD ，于是 她推测：sin ABC2sin ABD ，她的 推测正确吗？请通过本题图形中的数 据予以说明本 题 是 三 角函 数 与 菱 形 的 结 合，在解题时运 用 菱 形 相 关 性 质进行求解。并 在第 2 问中，体 会 三 角函 数 值

19、与 对 应 的 角 度 之 间 并 没 有 相 对 应 的 倍 数 关 系。比如： A是B 的 2 倍， sin A 未 必 是 sin B 的 2 倍。评价设计评价分为 A 、B 、C 三个等级，A 等：超过 8 题过程规范准确，答案正确，解法有独到之处. B 等：超过 6 题过程不够规范， 答案有一些问题，解法较常规. C 等：超过 6 题过程不规范或无过程，答案错误，思路不清晰.11参考答案1.D 2.B 3.C 4.D 5.C6.解： RtABC 中， C90 ， sin A = ，可设 BC=4k，AB=5k，根据勾股定理，得 AC=3k. cos A = = ，tan B = =

20、7.解：过 C 作 CDAB 于 D，ABC 中，AB9 ，ABC 的面积等于 9，ABCD9，CD2， sin B = = = 8. (1) 证明： 四边形 ABCD 是矩形 ADC90，BCE 沿 BE 折叠为BFE， BFEC90， AFB+DFE180 BFE90，又AFB+ABF90， ABFDFE，ABFDFE；(2) 解：在 RtDEF 中，sin DFE = = ，设 DEa ，EF3a ，DF EF 2 一 DE 2 = 2 2a ，BCE 沿 BE 折叠为BFE，CEEF3a ，CDDE+CE4a ，AB4a ， EBC EBF， 又ABFDFE， = = = ，12tan

21、EBF = ，tanEBCtanEBF .9. 10.解：(1) 设 AC、BD 交于点 O，则 AOBO ，AO3 ，BO4，根据勾股定理得 AB=5，sin ABD (2) 不正确理由：如图，作 AEBC，垂足为 E，菱形 ABCD 的面积 AC . BD = BC . AE ，即 6 8 = 5AE ，得AE = ，所以sin 三ABC = = 由 (1) 得 sin ABD ，2sin ABD2 sin ABC，即扬扬的推测不正确1323.1.2 30,45,60角的三角函数值第 1 课时 30,45,60角的三角函数值单元名称解直角三角形课题特 殊 角的三 角函数值节次1作业类型题

22、号作业内容设计意图时间要求基础题1如图，在ABC 中， C90 ， A30 ，则sin B 的值为 ( )A B 1 C D 本 题 考 查 了 特 殊 角的 三 角函 数值，正确记忆 相 关 数 据 是 解 题关键.18min2已 知在 RtABC 中 ， C 90 ，tan A = ，则B 的度数是 ( )A 30 B45 C60 D75本 题 需 熟 记 特 殊 角的 三 角函 数值.3已知 cos ( +10) ，且 是锐角，则 ( )A20 B 45 C 60 D 90同 上 ， 注 意 +10 看 作 一 个整体.4计算：2sin245+tan60tan30 cos60 本 题 要

23、 熟 记 特 殊 角的 三 角函数值，认真计算5点 ( sin60 ，cos60) 关于原点对 称的点的坐标是 .本 题 主 要 考 查 了 特殊 角的 三 角 函 数 值 以 及 关 于 原 点 对 称点的性质.146菱形 OABC在平面直角坐标系中的位置 如图所示 AOC45 ，OC ，则点 B 的坐标为 ( )A ( ，1) B (1， )C ( +1，1) D (1， +1)本 题 综 合 考 查 了 菱 形 的 性 质 和坐标的确定， 综合性较强.7数学拓展课程玩转学具课堂中，小 陆同学发现：一副三角板中，含 45 的三角板的斜边与含 30的三角板的 长直角边相等，于是，小陆同学提出

24、一 个问题：如图，将一副三角板直角顶点 重合拼放在一起，点 B ，C ，E 在同一 直线上，若 BC2，求 AF 的长。请你 运用所学的数学知识解决这个问题。本 题 考 查 的 是 特 殊 角的三 角 函数值的应用， 掌 握 锐 角 三 角 函数的概念、熟 记 特殊 角的 三 角 函 数 值 是 解 题的关键.拓展题8ABC 中， A ， B 均为锐角 ，且(tan B - )(2 sin A - )= 0 ,则 ABC一定是 ( )A 等腰三角形 B 等边三角形C 直角三角形D 有一个角是 60的三角形本 题 考 查 特 殊 角 的三 角函 数 值、三角形形状 的判断，注意分 类讨论.159

25、已知 a bab+ (a b) ，例如：23 23+ (2 3) 5，求：sin30 (tan45 tan60) 的值本 题 考 查 了 特 殊 角的 三 角函 数值，计算时注意勿漏掉负号.12min评价设计评价分为 A 、B 、C 三个等级，A 等：超过 6 题过程规范准确，答案正确，解法有独到之处. B 等：超过 5 题过程不够规范， 答案有一些问题，解法较常规. C 等：超过 5 题过程不规范或无过程，答案错误，思路不清晰.参考答案1.D 2.C 3.A 4. 5.( ，- ) 6.C7.解：在 RtABC 中，BC2 ， A30，AC = 2 ，则 EFAC2 ， E45，FCEFsi

26、nE ，AFAC FC2 一 8.D9.解：原式 (1 ) (1 ) + ( 1+ ) 16第 2 课时 互余两锐角的三角函数关系单元名称解直角三角形课题互 余 两 角的 三角函数关系节次1作业类型题 号作业内容设计意图时间要求基础题1在 直 角 ABC 中 ， C 90 ，sin A = ，那么tan B ( )A B C D 本 题 考 查 锐 角 三角函数，勾股 定理，掌握锐角 三 角函 数 的 定 义 和 勾 股 定 理 是 解 决 问 题 的前提.10min2若 sin (70 ) cos50 ，则 的 度数是 ( )A 20 B 30 C 40 D 50本 题考 查 了互 余 两

27、角 三 角函 数的关系，关键 是 根 据 互 余 两 角 三 角函 数 的 关系得到关于的方程.3在 RtABC 中，C90，则下列式 子一定成立的是 ( )A sin A = sin B B cos A = cos BC tan A = tan B D sin A = cos B本 题考 查 了互 余 两 角 三 角函 数的关系，熟记 同角 (或余角) 的 三 角函 数 关 系 式 是 解 题 的关键.4A ，B ，C 是ABC 的三个内角，则sin 等于 ( )A + B2A cos B sin 本 题考 查 了互 余 两 角的三 角 函 数 的 关 系 及等 腰 三 角 形 的17A +

28、 B2C cos C D cos性质.5若角、是直角三角形的两个锐角，则 tan的值为 ( )本 题考 查 了互 余 两 角 三 角函 数的关系，利用 一 个 角的 正 弦 等 于 它 余 角的 余 弦 是 解 题 关 键，还要熟记特 殊 角三 角函 数值.A 0C 1 B 1D 1拓展题6若A35 ， B65 ，试比较 cos A 与sin B 的大小，并说明理由本 题考 查 了互 余 两 角的 正 弦 与余弦的关系：cos =sin (90O ) 以及 正 弦 函 数 的增减性.15min7如图，已知在 RtABC 中，C90， 它的三边长分别为 a ，b ，c ，对于同一 个锐角 A 的

29、正弦 ，余弦存在关系式 sin2A+cos2A1 试说明本 题 利 用了 锐 角 三 角函 数 的 概 念 和 勾 股 定 理 对 同 角的 三 角函数的关系： sin2A+cos2A 1 进 行 了 证 明 和 应用.评价设计评价分为 A、B、C 三个等级，A 等：超过 5 题过程规范准确， 答案正确，解法有独到之处. B 等：超过 4 题过程不够规范，答 案有一些问题，解法较常规. C 等：超过 4 题过程不规范或无过程，答案错误，思路不清晰.18参考答案1.A 2.B 3.D 4.A 5.A6.解： 在直角ABC 中， A+B90， sin B = cos A = ；7.解： sin A

30、 = ，cos A = sin2A+cos2A + = a2+b2 c2 ， sin2A+cos2A11923.1.3 一般锐角的三角函数值单元名称解直角 三角形课题23.1.3 一般锐 角的三角函数值节次1作业类型题 号作业内容设计意图时间要求基础题11用计算器求 sin2437的值， 以下按键顺序正确的是 ( )ABCD本题通过用计算器 求三角函数的正确 按键顺序，巩固了用 计算器求三角函数 值，掌握 DMS 表示 度分秒是解题的关键10min2如图，在ABC 中， C90， B42 ，BC8，若用科学计 算器求 AC 的长，则下列按键顺序 正确的是 ( )本题通过用计算器 求三角函数的正

31、确 按键顺序，巩固了用 计算器求三角函数 值以及正切球的概 念.A B CD3已知sin A 0.1782，则锐角A 的 度数大约为 ( )A8 B9 C10D11此题巩固了使用计 算器解决三角函数 问题，解题关键是正确使用计算器.204用计算器求sin15、sin25、sin35、 sin45 、sin55 、sin65 、sin75 、 sin85的值，研究sin 的值随锐 角变化的规律，根据这个规律判断：若 sin ，则( )A30 60B30 90C0 60D60 90本题巩固了用计算 器求三角函数值的 方法，解题的关键是 通过计算得出sin 的值随锐角 的增大 而增大5用计算器求得t

32、an65 (精确到 0.01)本题巩固了三角函 数的计算，解题的关 键是正确利用计算 器得出答案.拓展题6计算： 2sin45 32方式一：(用计算器计算) 计算的 结果是 按键顺序为：方式二：(不用计算器计算)本题通过用计算器 求三角函数的正确 按键顺序，巩固了用 计算器求三角函数 值以及二次根式的 运算.5min评价设计评价分为 A 、B 、C 三个等级，A 等：超过 5 题过程规范准确，答案正确，解法有独到之处. B 等：超过 4 题过程不够规范， 答案有一些问题，解法较常规. C 等：超过 4 题过程不规范或无过程，答案错误，思路不清晰.21参考答案1. A 2.D 3.C 4.A5.

33、方式一：(用计算器计算)计算的结果是 9按键顺序为：(以卡西欧计算器为例)方式二：(不用计算器计算)原式 2 9 9 92223.2.1 解直角三角形单元名称解直角三角形课题23.2.1 解直角三角形节次1作业类型题 号作业内容设计意图时间要求基础题1在RtABC 中，斜边AB 的长为m， B40 ，则直角边 AC 的长是( )Amsin40 Bmcos40Cmtan40 D 本题通过利用 40 的正弦值进行计算， 巩固解直角三角形 的方法.掌握锐角三 角函数的正弦、余 弦、正切是解决本体的关键.18min2在 RtABC中，有下列情况，则 直角三角形可解的是 ( )A已知 BC6， C90B

34、已知C90 ， A60， BC5C已知C90 ， A BD已知CB45本题通过根据解直 角三角形需要满足 的条件，逐一判断得 出结论，巩固了解直 角三角形，掌握求解 直角三角形的条件是解决本题的关键3如图，在 RtABC 中，C90，AB4，sin A ，则 BC 的长为( )本题根据正弦的定 义计算，得到答案， 巩固了解直角三角 形、掌握正弦的定 义，提高了学生的计 算能力.A 2 B 3CD4在 RtABC 中，C90，sin A ，BC ，则 AC 的长本题利用直角三角 形的边角间关系先求出AB ，再利用勾23为 股定理求出AC巩 固了学生解直角三 角形的方法以及综 合运用勾股定理、直

35、角三角形的边角间关系解决问题.5(1) 在ABC 中， C90 ， A60，BC8，求 AB 和AC 的长；(2) 在ABC 中，C90，a ，b ，解这个直角三角 形本题通过解直角三 角形，含 30角的 直角三角形，巩固了 直角三角形的边角 关系.6在ABC 中，ABAC10，cos B = ，那么 BC 的长是( )A 4 B 8本题通过解直角三 角形，等腰三角形的 性质，巩固解直角三 角形的方法以及综 合运用等腰三角形 的三线合一添加辅助线的能力.CD7如图，在ABC 中， A90，斜边BC 的垂直平分线分别交AB、BC 交于点 D、E，如果cos B ，AB7，那么 CD 的长等于 本

36、题通过解直角三 角形，巩固三角函数 的定义以及线段垂 直平分线的性质.8在ABC 中，AB6，BC8，本题巩固了解直角24B60 ，则ABC 的面积是 三角形、含 30角 的直角三角形的性 质、勾股定理以及三 角形面积公式等知 识，由勾股定理求出 AD 的长是解题的关键拓展题95 + 四边形具有不稳定性，对于四条 边长确定的四边形，当内角度数 发生变化时，其形状也会随之改 变如图，改变边长为 2 的正方 形 ABCD 的内角，变为菱形 ABCD，若DAB45 ，则阴影部分的面积是 ( )A B 5 2C D 5 2 本题通过解直角三 角形求三角形边长 以及将阴影部分的 面积化为面积之差 巩固了

37、解直角三角 形的应用，提高了学 生的分析问题，解决 问题的能力.12min10在ABC 中，tanB ，AB ，AC ，则线段 BC 的长 为 本题需要分两种情 况讨论，通过锐角三 角函数的定义及运 用以及分类讨论的 数学思想方法，巩固 了解直角三角形，勾股定理，提高了学生25的运算能力以及分析能力.评价设计评价分为 A 、B 、C 三个等级，A 等：超过 5 题过程规范准确，答案正确，解法有独到之处. B 等：超过 4 题过程不够规范， 答案有一些问题，解法较常规. C 等：超过 4 题过程不规范或无过程，答案错误，思路不清晰.参考答案1. A 2.B 3.A 4. 45.解：(1) 在AB

38、C 中， C90 ， A60 ，BC8，AB ，2ACABcos60 ，答：AC= ，AC= ；(2) 在ABC 中， C90 ，a ，b ， tan A 3 ， A30，c2a2， B90- A60，c=2 ， A30 ， B60266.B7. 8.129.D10.3+或 3-. . 一23 2 2 解决单 直角三角形的实际问题单元名称解直角 三角形课题23.2.2 解决单 一直角三角形的实际问题节次1作业类型题 号作业内容设计意图时间要求基础题1如图，坡角为 的斜坡 AB 长 米，若tan ，则斜坡的铅直高度 BC 长为 ( )A米 B5 米C10 米 D米本题结合解直角三 角形的应用坡度

39、 坡角问题巩固了利 用正切的定义解决 问题.10min2如图，在离铁塔 BC 底部 30 米的 D 处，用测角仪从点 A 处测得塔 顶 B 的仰角为30，测角仪高 AD 为 1.5 米，则铁塔的高 BC 为 ( )A16.5 米B(10+1.5) 米 C(15+1.5) 米 D(15+1.5) 米本题结合解直角三 角形的应用 仰角 俯角问题，巩固正确 作出辅助线，构造出 直角三角形解决问 题的方法,提高了分 析问题，解决问题的 能力.273如图要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，点 P 位于点A 正北 方向，点 C 位于点A 的北偏西 46，若测得 PC50 米，则小河宽 PA 为 (

40、)A50sin44米B50cos44米C50tan44米D50tan46米本题通过解直角三 角形的应用，巩固解 直角三角形的一般 过程.提高了将实际 问题抽象为数学问 题的能力以及根据 题目已知特点选用 适当锐角三角函数 或边角关系去解直 角三角形的能力.4如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南 偏东 37方向，距离灯塔 40 海里 的 A 处，它沿正北方向航行一段 时间后，到达位于灯塔的正东方 向上的 B 处，这时，B 处与灯塔 P 的距离 PB 的长可以表示为 ( )A40 海里B40sin37海里C40cos37海里D40tan37海里本题通过解直角三 角形的实际应用，巩 固了方位角、直角三

41、角形、锐角三角函数 的有关知识，结合航 海中的实际问题，将 解直角三角形的相 关知识有机结合，体 现了数学应用于实 际生活的思想5人字折叠梯完全打开后如图 1 所本题是将实际问题28示，B，C 是折叠梯的两个着地点， D 是折叠梯最高级踏板的固定 点图 2 是它的示意图，已知AB AC，BD140cm ， BAC 40 ，则点 D 离地面的高度 DE 为 cm (结果精确到 0.1cm；参考数据：sin700.94，cos700.34，sin200.34，cos200.94)转化为直角三角形 中的数学问题，熟练 掌握锐角三角函数 的正弦、余弦、正切 是解题的关键拓展题6如图 1 是一台手机支架

42、，图 2 是 其侧面示意图，AB，BC 可分别绕 点 A ，B 转动，测量知 BC8cm， AB16cm当 AB ，BC 转动到 BAE60 ，ABC50时，点 C 到AE 的距离为 cm(结果保留小数点后一位，参考数据：sin700.94，1.73)本题结合生活中的 实际问题巩固解直 角三角形，提高学生 分析问题，解决问题 的能力.构造直角三 角形，利用直角三角 形的边角关系是解 决问题的关键15min297为了解决楼房之间的采光问题， 我市有关部门规定：两幢楼房之 间的最小距离要使中午 12 时不能 遮光如图，旧楼的一楼窗台高 1 米，现计划在旧楼右侧 50 米处再 建一幢新楼若我市冬天中

43、午 12 时太阳照射的光线与水平线的夹 角最小为度，则新楼最高可建多少米？本题通过解直角三 角形的应用巩固了 解直角三角形，解答 本题的关键是求出 AC 的长评价设计评价分为 A 、B 、C 三个等级，A 等：超过 5 题过程规范准确，答案正确，解法有独到之处. B 等：超过 4 题过程不够规范， 答案有一些问题，解法较常规. C 等：超过 4 题过程不规范或无过程，答案错误，思路不清晰.参考答案1 B 2.B 3.C 4.B 5. 131.6 6. 6.37.解：设旧楼的一楼阳台处即为点 B ，过点 B 作 BCAC 交 AC 于点 C，如右图所示，则ABC ，BC50m ， BCA90 ，

44、tan ，ACBCtan 50tan ，又旧楼阳台高 1m，新楼最高可建 (50tan +1) m，30. .23 2 3 解决双直角三角形的实际问题单元名称解直角 三角形课题23.2.3 解决双 直角三角形的实际问题节次1作业类型题 号作业内容设计意图时间要求基础题1如图所示，某拦水大坝的横断面 为梯形 ABCD，AE，DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角45，坡长 AB10米，背水坡 CD 的坡度 i1：，则背水坡的坡长 CD 为 ( ) 米本题结合解直角三 角形的应用 坡度 坡角问题，提高了学 生的推理能力和应 用意识.熟练掌握坡 度坡角的概念，由锐 角三角函数定义求 出 AE 的

45、长是解题的 关键.15minA20C10B20D202mm如图，山顶有一座电视塔 BC，在 地面上一点 A 处测得塔顶 B 的仰 角60，在塔底 C 处测得 A 点俯角45 ，已知塔高 BC 为60m ，则山高 CD 等于 ( ) .ABB本题结合解直角三 角形的应用仰角 俯角问题，巩固了解 直角三角形的方法. 熟练掌握等腰直角 三角形的判定与性 质和锐角三角函数 定义是解题的关键31C30mDm3如图，一艘轮船在小岛A 的西北方向距小岛 40海里的 C 处，沿正东方向航行一段时间后到达小 岛 A的北偏东 60的 B 处，则该船行驶的路程为 ( )A80 海里B120 海里C(40+40) 海

46、里D(40+40) 海里本题结合解直角三 角形的应用方向 角问题，巩固直角三 角形的边角关系，提 高作垂线构造直角 三角形的解题能力.4某数学兴趣小组进行了测量塔高 度的社会实践活动如图，他们 先在点 D 处用高 1.5 米的测角仪 AD 测得塔顶 M 的仰角为 30 ， 然后沿DF 方向前行 70m到达点E 处，在点 E 处测得塔顶 M 的仰角 为 60求塔的高 MF(结果保留根号)本题结合解直角三 角形的应用 仰角 俯角问题，解题的关 键是灵活运用所学 知识解决问题，本题 的突破点是证明AB BM.5如图，点 A 到点 C 的距离为 100 米，要测量河对岸 B 点到河岸AD 的距离小明在

47、 A 点测得 B 在北偏东 60的方向上，在 C 点测得本题通过解直角三 角形的应用巩固了 解直角三角形以及等腰三角形的判定32B 在北偏东 30的方向上，请求出 B 点到河岸AD 的距离.等知识，正确作出辅 助线构造直角三角 形是解题的关键拓展题6如图，灯塔 B 在灯塔 A 的正东方 向，且 AB75km灯塔 C 在灯塔 A 的北偏东 20方向，灯塔 C 在 灯塔 B 的北偏西 50方向(1) 求ACB 的度数；(2) 一轮船从 B 地出发向北偏西 50方向匀速行驶，5h 后到达 C 地，求轮船的速度本题结合解直角三 角形的应用 方向 角问题巩固了解直 角三角形以及等腰 三角形的判定等知 识

48、，证明 BCAB 是 解题的关键15min7某数学测量小组准备测量体育场 上旗杆 AB 的高度如图所示，观 礼台斜坡 CD 的长度为 10 米，坡 角为 26.5 ，从斜坡的最高点 C 测得旗杆最高点A 的仰角为 37 ，斜坡底端 D 与旗杆底端 B 的距离是 9 米，求旗杆 AB 的高度(结果保留整数)参考数据：sin26.5 ， cos26.5 ，tan26.5 ，本题结合解直角三 角形的应用 仰角 俯角问题，巩固了仰 角俯角定义解决本 题需做两条垂线，构 造两个直角三角形， 结合图形计算，得到 答案，提高了学生的 应用意识以及解决 问题的能力.33sin37 ，cos37 ， tan37 8某区域平面示意图如图所示，AB 和 BC 是两条互相垂直的公路， AB800 米， 甲勘测员在 A 处测 得点 D 位于