数值计算课程设计-拟合方法与拟合函数的选取

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1、安徽工业大学数理学院题目：拟合方法与拟合函数的选取班级：数101班数102班数101班指导教师：谭高山 提交日期：2013年5月 13日目录一、拟合问题的提出.1二、拟合准则.1三、拟合函数的选取.1四、函数拟合实.2 4.1 多项式拟合2 4.2 指数与复合函数拟合.4 4.3 分段拟合7五、总结.12六、参考文献.12一、 拟合问题的提出在很多科学实验中，我们通过测量或观察等方法获得一组看上去杂乱无章的数据，为了找出这些数据之间的某种规律和联系，即寻找一个较简单的函数曲线，使之在一定准则下最接近这些数据点，以便突显各数据点的先后变化趋势，由此便产生了曲线拟合的概念。曲线拟合在实际中有着很广

2、泛的实用价值。因为我们所获取的实验数据本身往往带有测量误差，难免会出现个别数据误差过大的现象。相比于插值法，曲线拟合时，不要求曲线严格地经过每一个数据点，这样就能有效降低个别数据对整体数据规律的干扰作用；另外，实验数据往往很多，插值法会比较繁杂，拟合方法则更实际更高效。二、 拟合准则 在曲线拟合中，有几种不同的误差准则：1.最大误差: 2. 平均误差3. 均方根误差4. 误差平方和通过求误差的最小值，可得该准则下的最佳拟合曲线。由于误差平方和容易进行最小化计算，故而我们通常采用该标准，称之为最小二乘准则。以下课程实验都是在最小二乘准则下实现的。三、拟合函数的选取曲线拟合时，首要也最关键的一步就

3、是选取恰当的拟合函数。对于一组给定的数据，我们可以先做出其散点图，判断应该采用什么样的曲线来作拟合，然后在直观判断的基础上，选取多组曲线分别作拟合，然后比较，看哪条曲线的最小二乘指标最小，也即拟合的最好。一般来说，选取多项式作为拟合曲线，是简单且常用的。MATLAB中有现成的多项式拟合程序，调用格式为f=polyfit(x,y,n)，其中输入参数x，y为要拟合的数据，n为拟合多项式的系数，输出参数f为拟合多项式的系数向量。对于稍微复杂一点的拟合曲线，我们可以先通过线性变换将之转换成简单的线性函数，接着再用多项式拟合的命令f=polyfit(x,y,n)来实现函数的拟合。下面表格列举两个线性变换

4、的例子：原函数y化为线性函数Y=AX+B型变量与常量的变化四、 函数拟合实例4.1多项式拟合例1.给定一组数据点 如下表：-1.5-0.700.51.92.22.93.84.27.523.982.993.5710.1812.7319.8131.9038.24首先，我们在MATLAB中输入程序 x=-1.5 -0.7 0 0.5 1.9 2.2 2.9 3.8 4.2;y=7.52 3.98 2.99 3.57 10.18 12.73 19.81 31.90 38.24;plot(x,y,b*),xlabel(x),ylabel(y)title(表中数据点（xi，yi）的散点图)运行后得表中数据

5、的散点图如下(图中*表示数据点的坐标）:因为数据散点图的变化趋势与二次多项式很接近，所以可选用二次多项式作为拟合曲线，设f(x)=ax2+bx+c。编程: x=-1.5 -0.7 0 0.5 1.9 2.2 2.9 3.8 4.2;y=7.52 3.98 2.99 3.57 10.18 12.73 19.81 31.90 38.24;f=polyfit(x,y,2);a=f(1),b=f(2),c=f(3)X=-1.5:0.01:4.2;Y=polyval(f,X);f=polyval(f,x);fy=abs(f-y);E=sum(fy.2)plot(x,y,r*,X,Y,b-),xlabel

6、(x),ylabel(y)title(拟合直线与数据点结合图)运行后得：a = 1.9974; b =0.0021; c = 3.0188;E = 0.0097生成如下图形： 即拟合多项式为：f=1.9974x2+0.0021x+3.0188; 误差很小，只有0.0097.4.2 指数与复合函数拟合例2.给出实验数据点如下表：xi2.70.12.31.60.71.40.3yi2.6411.043.214.037.104.589.37在MATLAB中输入程序: x=2.7 0.1 2.3 1.6 0.7 1.4 0.3;y=2.64 11.04 3.21 4.03 7.10 4.58 9.37;

7、 plot(x,y,b*),axis(0,3,0,12)得散点图：据图，我们取两种拟合函数分别为 和 ：（1） 设 ，在MATLAB中输入程序 x=2.7 0.1 2.3 1.6 0.7 1.4 0.3;y=2.64 11.04 3.21 4.03 7.10 4.58 9.37;Y=log(y);f=polyfit(x,Y,1);A=f(2);B=f(1);a=exp(A),b=-BX=0:0.01:3;Y=a*exp(-b.*X);f=a*exp(-b.*x);plot(x,y,r*,X,Y,b-),xlabel(x),ylabel(y)legend(数据点 (xi,yi),拟合曲线Y=f(

8、x)title(数据点(xi,yi)和拟合曲线Y=f(x)的图形)fy=abs(f-y);E1=sum(fy.2)得：a =10.7441; b =0.5460; E1 = 1.3072.（2） 设 ，在MATLAB中输入程序x=2.7 0.1 2.3 1.6 0.7 1.4 0.3;y=2.64 11.04 3.21 4.03 7.10 4.58 9.37;Y=1./y;f=polyfit(x,Y,1);a=f(1),b=f(2)X=0:0.01:3;Y=1./(a.*X+b);f=1./(a.*x+b);plot(x,y,r*,X,Y,b-),xlabel(x),ylabel(y)Lege

9、nd(数据点（xi,yi),拟合曲线Y=f(x)Title(数据点(xi,yi)和拟合曲线Y=f(x)的图形)Fy=abs(f-y);E2=sum(fy.2)得：a =0.1089; b =0.0720; E2 =0.0097. 因为E1E2，显然第二种拟合曲线的误差较小，拟合效果更佳。4.3 分段拟合实际中的很多科学实验数据，其拟合函数都比较稍显复杂，下面我们来列举一例。例3. 革螨在不同浓度的甲酚皂液的平均致死时间如下表显示：X甲酚皂液的浓度（%）Y革螨的平均死亡时间（min）0.10050.40.15041.20.17533.60.20019.00.30011.60.40010.60.5

10、008.40.6006.80.7006.21.0004.85.0002.210.0001.2用MATLAB作散点图：分析上图可知，曲线的两端都含有渐近线，故全段拟合曲线中一定含有指数项。 x=0.100 0.150 0.175 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 1.000 5.000 10.000;y=50.4 41.2 33.6 19.0 11.6 10.6 8.4 6.8 6.2 4.8 2.2 1.2;Y=log(y);f=polyfit(x,Y,1);A=f(2);B=f(1);a=exp(A),b=-BX=0:0.01:10;Y=a*exp(-b

11、.*X);f=a*exp(-b.*x);plot(x,y,r*,X,Y,b-),xlabel(x),ylabel(y)legend(数据点 (xi,yi),拟合曲线Y=f(x)title(数据点(xi,yi)和拟合曲线Y=f(x)的图形)fy=abs(f-y);E1=sum(fy.2)得:a =15.6609; b =0.2978; E1 =2.4705e+003 即拟合函数为： 显然，拟合效果不佳。进一步分析可以看出，前9个点有一条渐近线，而后3个点有一条渐近线。可将要拟合的曲线分为二段，前9个点为前段，后3个点为后段。我们可以分别对前9个点和后3个点进行直线化。以x为横坐标，lny 为纵坐

12、标，做散点图plot(x,log(y),b*)得可以看出后三个点明显呈直线趋势，我们先对后三个点进行直线化。拟合的方法和前面相同，在MATLAB中输入x=1.000 5.000 10.000;y= 4.8 2.2 1.2;Y=log(y);f=polyfit(x,Y,1);A=f(2);B=f(1);a=exp(A),b=-B得：a =5.2635；b =0.1527；即 从图3发现前9个点仍呈曲线趋势，需要进一步线性化。具体步骤如下：利用(4)求得前9个点处的函数值y，再把实际数据中的前9个值减去y。即得y”=y-y，然后取其对数值ln(y”)，用MATLAB作出这些点图象，在MATLAB下

13、不需要一个个去求，只要在命令窗口输入如下命令： x=0.100 0.150 0.175 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700;y=50.4 41.2 33.6 19.0 11.6 10.6 8.4 6.8 6.2;plot(x,log(y-(5.2635.*exp(-0.1527*x),b*)得：可以发现这9个点成一定的曲线趋势，利用x和 y的值可建立起直线回归方程。只要在MATLAB下用同样的方法再次求指数拟合 x=0.100 0.150 0.175 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700;y=50.4 41.2 33.6 1

14、9.0 11.6 10.6 8.4 6.8 6.2;Y=log(y-(5.2635.*exp(-0.1527.*x);f=polyfit(x,Y,1);A=f(2);B=f(1);a=exp(A),b=-B得a = 62.55659；b = 5.7270；即 由于前段各点在后段直线的上方，故最终的拟合函数应为y=（4）+（5），即 在MATLAB中做出散点和拟合曲线 x=0.100 0.150 0.175 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 1.000 5.000 10.000;y=50.4 41.2 33.6 19.0 11.6 10.6 8.4 6.8

15、6.2 4.8 2.2 1.2;X=0:0.01:10;Y=5.2635.*exp(-0.1527.*X)+62.55659.*exp(-5.7270.*X);得下图：显然，所求拟合函数令人满意。五、总结函数拟合是一种实用性很强的数学方法，例如，可以用来寻求血药浓度变化规律，用来测定弹簧弹力与伸长量之间的关系等等，总之它涉及生活学习的方方面面。另外，在实例分析中，我们通常都能先根据逻辑方法确定数据之间遵循的函数类型，所以很多时候只需确定一种拟合函数即可。值得注意的是，要学会通过不同途径去尽量减少函数拟合的误差。六、参考文献1.数值分析第七版，Richard L.Burden，J.Douglas Faires，高等教育出版社。2.数值分析及其MATLAB实现，任玉杰著，高等教育出版社。11