黑龙江省哈尔滨六中高三上期末数学试卷理科

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1、2019-2020学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期末数学试卷（理科）、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1 3i1. （ 5分）已知复数C.2. （5分）已知集合2x|x 2xZ，集合 B 1 ,0, 1, 2,则集合（ezA）| B的子集个数为（C. 7(5分）已知函数2f (x) (2cos1）sin x，则函数f（x）的最小正周期和最大值分别为（C. 2和丄24.（5分）已知向量a (x,2)(2,1)，若(a b)b，则实数x的值为（5.C.（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健”

2、苴/、步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一A . 24 里B.48里C .96里D .192里（5分）已知函数f(x)x 1e ，则函数f（x）在x1处的切线方程为（)x 1A. x 4y 10B.x 4y 10C .x y 0D .x 4y 3 0(5 分)设函数 f (x)log3x,x 0 ,若 f (a)2，则实数a的值为（)21,X 0A . 9B.0或9C .0D .1或9（5分）已知双曲线2C：%2告1(a0,b0）的左右焦点分别为F1， F2，点P是双曲线6.7.

3、&PF F230C天的一半，走了 6天后到达目的地，请问第二天走了（），则双曲线C的离心率为（）a I右支上一点，若|旺| |PF2 |,第1页（共17页）C.5 1D .旦2第2页（共17页）9. （5分）某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“12”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中名层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有（）种选派方法.A . 160B . 80C. 40D. 2010. （5分）已知E ,F分别为矩形ABCD的边AD与BC的中点，M为线段EF的中点,把矩形ABFE沿EF折到ABFE，使得

4、 AED 90，若AD 2AB，则异面直线 AM与BQ所成角的余弦值为A .15151011. （ 5分）已知圆1，过直线l : x y 2 0上第一象限内的一动点M作圆O的两条切线，切点分别为B，过A , B两点的直线与坐标轴分别交于 P , Q两点，贝U OPQ面积的最小值为（C.-412. （5分）已知定义在R上的偶函数 f(x)满足 f(x 2) f(x)，且 x 0 , 1时，f(x) x ,则函数g（x） f （x） cos x在x 2 , 4上的所有零点之和为（）C. 6二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.将答案填在机读卡上相应的位置.13. （5分）在（x产）6

5、的展开式中,x3项的系数是.（用数学作答）14 . （ 5分）水平放置一个底面半径为20cm，高为100cm的圆柱形水桶（不计水桶厚度），内装高度为50cm的水，现将一个高为10cm圆锥形铁器放入水桶中并完全没入水中（圆锥的底面半径小于 20cm），圆柱形水桶的水面高度上升了2.5cm，则圆锥形铁器的侧面积为2 cm .15 . （5分）已知a , b均为正实数，若 a b ab ,4b则a上的最小值为a216. （5分）已知抛物线C : y 2px（p 0）的焦点为F ,过F的直线I与抛物线C交于A, B两点，若AU 2FB，且弦AB的中点纵坐标为魄，则抛物线C的方程为.2三、解答题：本大题

6、共 5小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.cosA17. (12分)在ABC中，设边a , b , c所对的角分别为A , B , C ,cosC 2b c(I)求角A的大小；(D)若bc 2 , ABC的周长为3.7，求a的值.18. ( 12分)如图所示，四棱锥S ABCD的底面是直角梯形， SA 平面ABCD，AB /CD，AB AD , E 为 AB 中点，且 AB 4 , AD CD 2 .(I)求证：BC 平面SAC ;(n)若 SC与底面 ABCD所成角为45，求二面角 B SC E的余弦值.19. ( 12分)已知正项数列an的前n项和为Sn，若a

7、1 , 2Sn angJn 1 .(I)证明：当 n-2 时，am am 2 ；(n)求数列an的通项公式；(川)设bn a2n 1g2a2n，求数列bn的前n项和Tn .20. (12分)在平面直角坐标系中，已知动点M与到定点F(1,0)距离到定直线x 2的距离 比为丄.2(I)求动点M轨迹C的方程；luu uun 3 uuu(n)过点F的直线I交轨迹C于A , B两点，若轨迹C上存在点P，使OP OA OB ,2 求直线I的方程.221. (12 分)已知函数 f(x) 2x (Inx a) 8 , a R .(I)证明：当a 1时，函数f(x)在区间(0,)上单调递增；(D)若x-1时，

8、f(x)0恒成立，求a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分.选修4-4:坐标系与参数方程x 1 cos,22. (10分)已知曲线G的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴y sin的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2 3sin .(I)写出曲线 G的极坐标方程，并求出曲线 G与C2公共弦所在直线的极坐标方程；(H) 若射线 (0-)与曲线G交于O ,A两点，与曲线C2交于O,B点，且|AB | 2 ,求tan的值.选修4-5：不等式选讲123. 设 f (x) |x a | |x | (a 0).a(I) 证明：f (x)

9、 2 ;(H)若f (2)3，求a的取值范围.第3页(共17页)2019-2020学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题：本大题共 12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只第7页（共17页）有一个是符合题目要求的.1. （ 5分）已知复数zD. 1 3i【解答】解：Q复数2i31 i2i1 i故选：A.2. （5分）已知集合2x|x2xZ，集合 B 1 , 0, 1, 2，则集合(eZA)I B的子集个数为C. 7【解答】解:Q集合A2x|x 2xZ x|0 x 2 , x Z 1,集合B 1 ,0, 1, 2,集合GA)|B 1 ,

10、 0, 2,集合A)IB的子集个数为：232 x分)已知函数f(x) (2cos1 2 2C. 2 和 11D. 2 和一2故选:1）sinx，则函数f（x）的最小正周期和最大值分别为（【解答】解：Q函数f （x）2 x(2cos 2故它的最小正周期为1;它的最大值为-,故选：B .4. （ 5分）已知向量a （x,2） , b （ 2,1），若（a b） b，则实数 x 的值为（）【解答】解：q向量a(x,2) , b ( 2,1),(xr br a2,3),(ab)g)2(x 2)解得实数x 故选：D .“三百七十八里关，初行健5. （ 5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:”苴

11、/、步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请问第二天走了（）A . 24 里B . 48 里C. 96 里192里【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成-为公比的等比数列,21 6 a11（）378，由题意和等比数列的求和公式可得2_-解得a 192 , 第此人二天走19296步故选：C .x 16.（ 5分）已知函数1处的切线方程为f(x)-，则函数f (x)在xx 1A. x 4y 1B. x 4y 1C.x 4y 3 0【解答】解：由f(

12、x)x 1花，得f(x)x 1(x 1)ex 1e(x 1)2一x 1xe2 ，(x 1)2函数f （x）在x1处的切线方程为y1 1-；(x 1)，即x 4y 10.故选：A.log3x,x 07.(5分)设函数f(x) 2x 1必0，若f （a）2，则实数a的值为（）C. 0【解答】解：根据题意，函数f(x)log 3X,x2 x1，x,0，若f（ a）a 0 时，f (a)log3 a2，解可得a当 a, 0 时，f (a)2，解可得a则a 0或9;故选：B .2y b2右支上一点，若|旺| |PF2 |,& （ 5分）已知双曲线2C：a1(a 0,bPF F2300）的左右焦点分别为

13、F ,，则双曲线C的离心率为12【解答】解：在等腰三角形PFE中，IFF2IIPF2I 2c,B .二C.5 1PF1F2F2，点P是双曲线C30 ,可得 |PFj4c24c2 2g2cg2cg3os1202 3c ,由双曲线的定义可得IPF1 | |PF2 | 2 3c 2c 2a,即有e - 一1a73 1故选：B .9. （5分）某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“合作体，现某市直属高中学校选定了 6名教师和2名中名层干部去2所共建学校交流学习,若每所共建学A . 160B . 80C. 40D. 20【解答】解:根据题意，分2步进行分析：,先把6名教师和2名中名层干部分

14、成2组，每组3名教师和1名中层干部，有C3C6C2 A20种分组方法；22，将分好的2组分派到两个学校，有 A；2种安排方法；校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有（）种选派方法.则有20 240种选派方法;故选：C .10. （5分）已知E , F分别为矩形 ABCD的边AD与BC的中点，M为线段EF的中点,把矩形ABFE沿EF折到A B FE ,使得AED90,若AD2AB，则异面直线AM与B!D所成角的余弦值为（)A .卫B .卫C.15D V5055【解答】解：如图所示，把矩形ABFE沿EF折到ABFE，使得AED90建立空间直角坐标系，由AD 2AB,设 CD 2 可

15、得 A(1 , 0, 2) , D(1 , 2, 0) , B( 1 , 0, 2),uiuurUIUUMA(1,0, 2),DB!( 2 ,2,2),ULUUULULMA gDB12 042 .UJUL5 ,ULUU23 .|MA |S |ULUUcosUJULMA,ULUU,DB1MA1 gDB -uuu UUU-52 1| ma1 |g DB112一 315则异面直线 AM与BQ所成角的余弦值为 二515故选：A.万Cfla-rCL厶匚V211. (5分)已知圆0:x2y 1，过直线l : x y 20上第一象限内的一动点M作圆0的两条切线，切点分别为A , B，过A , B两点的直线与

16、坐标轴分别交于 P , Q两点，贝U OPQ11A . 1B .C.-24【解答】解：设A(x ,yJ,BX,y2),由OAAM ,面积的最小值为()可得切线MA方程：y y1(x x1),yi又因为x2 yf 1 ,所以切线MA方程：xx y$1 ,同理可得切线 MB方程：x2x y2y 1 ,而MA , MB交于点M (焉,y0),即 xxo y。1 , x?xo y2yo 1 ,XS OPQ1-|OP|OQ|1 11 1,(0xd2 , 0yo2)2 |xy |2 1 11 1S OPQ2，(0X2 ,0 yo2)2x0 (2x)2 x2x0可得AB的直线方程为：xx。 yy。1 ,1

17、1即有 P( , 0) , Q(0,),所以(x2 2xo)max 1 ,1SoPQ最小值为一,2故选：B .12. (5分)已知定义在 R上的偶函数f(x)满足f(x 2)f (x)，且 x 0 , 1时，f (x) x ,则函数g(x) f (x) cos x在x 2 , 4上的所有零点之和为()A . 2B . 4C. 6D. 8【解答】 解：函数g(x) f (x) cos x的零点，即方程 f (x) cos x 0的根, 也就是两函数y f (x)与y cos x图象交点的横坐标.由f(x)是定义在R上的偶函数，且满足 f(x 2) f (x),可得函数周期为2.第11页(共17页

18、)又当 x 0 , 1时，f （x） x ,作出函数y f （x）与y cos x的图象如图：由图可知，函数 F（x） f （x） cos x在区间2 , 4上的所有零点之和为 2 26 6.13. （5 分）在（x6的展开式中，x3项的系数是 60.（用数学作答）【解答】解：Q（x3r6 的通项是 C6x6r（：）r C*2rx6 至，3r6刁3，x3项的系数是2 2C6 260故答案为：6014. （5分）水平放置一个底面半径为 20cm，高为100cm的圆柱形水桶（不计水桶厚度）， 内装高度为50cm的水，现将一个高为10cm圆锥形铁器放入水桶中并完全没入水中（圆锥的底面半径小于 20c

19、m），圆柱形水桶的水面高度上升了2.5cm，则圆锥形铁器的侧面积为200 3 cm2 .【解答】解：圆锥的体积为V圆锥132 2r 1020 2.5 ,化简得r2300，解得r 10 3 ；所以圆锥形铁器的侧面积为S圆锥侧rl103103102200丿3 cm2 .故答案为：200 J3 .15. (5分)已知a , b均为正实数，若 a4bb ab，则a的最小值为a【解答】解:a， b均为正实数，且 a bab ,所以b - a4b4aZja1 2*a 1）活 1 5 ,当且仅当32时取等号，此时取得最小值5故答案为：5216. (5分)已知抛物线C:y2px(p 0)的焦点为F ,过F的直

20、线I与抛物线C交于A, B两点，若AU 2FB，且弦AB的中点纵坐标为 鱼，则抛物线C的方程为 y 4x2 2【解答】解：设A(x1 , y) , B(x2 , y2)，由题意可知图象如图：抛物线C : y 2px(p 0)的uuuLUO焦点为 F，过F的直线I与抛物线 C交于 A , B两点，若 AF 2FB , AE FB ,AE 1cos BAE: tan BAE 2.2 ,AB 3直线AB：y 2 2(x卫)，中点M (,生丄)，j _!,2 2 2 2 2y 2 2(x -)，代入 y2 2px，消去 x ,可得y2 y 2p 0 ,2py1 y2:可得 2 : -2 所以 p 2，

21、所以，抛物线方程为：y2 4x .故答案为：y2 4x .(n)若 be 2 :, ABC的周长为37，求【解答】解：（I）因为eosAaeosC2b e 由正弦定理得：eosAsin AeosC2sin BsinC 可得 sin AeosCeosAsin C 2eosAsin B 0 ,可得 sin(A C)2eos Asin B 0 ,可得 sin B 2eos As in B0 ,（I）求角A的大小;由于)，可得 sin B 0 ,a的值.B (0,步骤.70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算17. （12分）在ABC中，设边a , b , c所对的角分别为A ,B , C ,

22、芈eosCa2b e2 ,第#页（共17页）可得cos A(0,23由于 可得（n）因为abe所以由余弦定理得:2 2e 2 (b e)又因为周长a b、亍,所以a2(37a)2 2 ,所以a -.7 .18. (12分)如图所示，四棱锥S ABCD的底面是直角梯形， SA 平面ABCD , AB/CD ,AB AD , E 为 AB 中点，且 AB 4 , AD CD 2 .(I)求证：BC 平面SAC ;(n)若 SC与底面 ABCD所成角为45，求二面角 B SC E的余弦值.【解答】 解：(I)证明：因为 SA 平面ABCD , BC 平面ABCD ,所以SA BC ,在直角梯形 AB

23、CD中，得出AC BC ,又AC| SA A，所以BC 平面SAC .(n)解：因为 SA 平面ABCD，所以 SCA是SC与底面ABCD所成角，SCA 45 ,所以 SA AC 2 2 ,以A为坐标原点，AB , AD , AS分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 S(0 , 0, 2 2) , C(2 , 2, 0) , E(2 , 0, 0) ,B(4 , 0, 0),iur_ uuuULT-ULH-ES ( 2 , 0, 2.2), EC (0 , 2, 0) , SB (4 , 0,2、2) , SC (2 , 2 ,2 2),设平面SCE的法向量n (x, y ,

24、z),T uu则 nUUU 2x 2 2z 0,取x 2，则n(.2,0 , i),ngC 2y 0设面SBC的法向量m (x , y , z),T UU-nrt mdSB 4x 2/2z 0廿/口 T则 T uui,取 x 1 ,得 m (1,1,、2),mgSC 2x 2y 2 . 2z 0设二面角C ad G的平面角为 ，| rngn |2 - 2.6则 cos T r|m|g n| s/3g23面角C AD G的余弦值为 -19. (12分)已知正项数列a.的前n项和为&，若a 1, 2Sn弘耳1 (I)证明：当 n-2 时，am am 2 ；(H)求数列a.的通项公式；(川)设bn

25、a2n 1g2a2n，求数列bn的前n项和Tn .【解答】解：(I)证明：n2时，2 s. ! an勺耳，又2Sn angan 1 . 作差得2S 2Sn 1 angan 1 an 1gan ,即 2an an gan 1 a. 1gan ,又an 0，所以有an ! an ! 2 ；2为公差的等差(n)因为rr2时，am % ! 2，所以 何的奇数项是以 印1为首项， 数列；偶数数项是以a22为首项，2为公差的等差数列；所以 a2n ,12(n 1)2n 1 ； a2n 2 2(n 1) 2n,所以an n ；(川)bn (2n 1)22n ,前 n 项和 Tn 1g4 3g16(2n 1)

26、g4n ,n 14Tn 1g63g64(2n 1)g4,两式相减可得 3Tn 4 2(16 644n) (2n 1)g4n 1n 14 2 (2n 1屛,1 4化简可得Tn 20匹工屛1 .9920. (12分)在平面直角坐标系中，已知动点M与到定点F(1,0)距离到定直线x 2的距离比为.2(I)求动点M轨迹C的方程；uuu UUU 3 uuu(n)过点F的直线I交轨迹C于A , B两点，右轨迹C上存在点P，使OP OA - OB ,2求直线I的方程.【解答】解(I)设M(x,y)因为，M到定点F(1,0)的距离与到定直线 x 2的距离之比为 二2 ,2 所以有I,|x 2 |2 巧即(x

27、1)2 y2-|x 21，整理得：x2 2y2 2 ,22所以动点M的轨迹方程为： x y2 1 ；2(n)由题意直线I斜率存在，设l:yk(x 1), A(Xi , yi), B(X2 , y2),联立直线与椭圆的方程整理得2 2 2 2(1 2k )x 4k x 2k 20 ,儿 x24k21 2k2第19页(共17页)J6(x61).21. (12分)已知函数 f(x)22x (lnx a) 8 , a2k2 2X1X2牙,1 2kiunuun 3 uuu-OP OA -OB，所以xpX1X2, ypy1y2,222将P点坐标代入椭圆有(X1-、22X2)2( y1|y2)2 2，2八2

28、八2又 X1 2y12, X22y222 ,所以(x； y；)-(x2y；)-(x1x22%y2)24-X1X22%y20 ,23222(2k21)x,x2 2k2 (x1 x2) 2k20,2代入得k21 ,6直线方程| : y(I)证明：当a 1时，函数f(x)在区间(0,)上单调递增;(H)若x-1时，f(x)0恒成立，求a的取值范围.【解答】解：(I)证明:f (x)2(x lnx a)当a 1时，f (x) 2(x_， h(x) x lnx 1， h (x) x当 0 x 1 时，h (x)0,当 x 1 时，h(x) 0，所以h(x)在区间(1,)增，在区间为(0,1)上减，所以h

29、(x)h (1)0,即f (x)0，所以函数f(x)在区间(0,)上单调递增;2(x lnx a),、 x 1 八(U)设 f (x), u(x) x lnx a , u (x)0,xx所以u(x)在(1,)上单调递增，u(x)1 a ,(1 )当1 a-0，即a, 1时，f(x)在1 ,)上是单调递增的，f(x)f( 1)厔010 a?,10 ,所以.10剟a 1 ;(2 )当 1 a 0，即 a 1 时，u (1)0, x, u(x),故存在唯一的焉(1,)，使u(x0)焉lnx0 a 0 ,所以当 1 x x0 时，u(x) 0，当 x x0 时，u(x) 0 ,所以f(x)在区间(x。

30、,)增，在区间为(1乂)上减，所以 f(x)厖f(xo) 0 , f(X0) 2X0 (lnx a) &,又 xg lnx0 a ,得 2X0 X08厔01 x0 4 ,又易得a x In是a随x0而增大的，所以1 a, 4 2ln2 ,综上：一。剟a 4 2ln2 .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分.选修4-4:坐标系与参数方程x 1 cos22. (10分)已知曲线G的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴y sin的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2 3sin(I)写出曲线 G的极坐标方程，并求出曲线 G与C2公共弦所在直线的

31、极坐标方程;(n)若射线 (0-)与曲线G交于O,A两点，与曲线C2交于O,B点，且|AB | 2 ,2求tan的值.【解答】解：(I)曲线G的极坐标方程为2cos2 3sin , 2cos，得 tan y .所在直线的极坐标方程6(R), (或和6(n)把(0)，代入2 3 sin2cos ,得 |0A| 2cos ; |0B|2 3 sin又 | AB | 2，贝U 2 3sin2cos2 , sin(12,(e,3).所以 ，tan .3.3选修4-5:不等式选讲23.设 f(x)|x a| |xb(aa0).(I)证明:f(x)2 ;(n)若 f(2)3，求a的取值范围.【解答】解:(I)证明:f(x)|xa|x11-| |a | 2 ；aaf (2)|2 a|2|2a|11 或2 a a51十或a21011)sinx cosxsinxsin2x ,221又 f (1)2,2 2 2 2 2b e 2beeosA b e be b