圆锥曲线几何问题地转换

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1、实用标准文案几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题：若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位

2、置关系可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB为钝角（再转为向量：CACB0）（3）三点共线问题通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：a=(x,y),b=(x,y)，则a,b共线xy=xy；abxx+yy=0112212211212（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线

3、段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）文档实用标准文案3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点A(x,y),B(x,y),C(x,y112233)，则ABC的重心Gx+x+xy+y+y123,12333图）：IPAC,IQAQQ：（2）三角形的“垂心”伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零B：（3）三角形的“内心”伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如IAC=I在BAC的角平分线上AP=AQAIACAIABABCPA（4）P是以DA,DB为邻边的平行四边形的顶点DP=DA+DBAPD（5）P是以DA,DB为

4、邻边的菱形的顶点：P在AB垂直平分线上BAPDB（6）共线线段长度的乘积：若A,B,C共线，则线段的乘积ACB(可转化为向量的数量积，从而简化运算，要注意向量的夹角）例如：ACAB=ACAB，ACBC=-ACBC文档实用标准文案二、典型例题：例1：如图：A,B分别是椭圆C:x2y2+a2b2=1(ab0)的左右顶点，F为其右焦点，2是AF,FB的等差中项，3是AF,FB的等比中项（1）求椭圆C的方程（2）已知P是椭圆C上异于A,B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQAP，并交直线l于点Q。证明：Q,P,B三点共线解：（1）依题意可得：A(-a,0),B(a,0),F(c,0)AF

5、=c+a,BF=a-c2是AF,FB的等差中项4=AF+FB=a+c+a-c=2aa=2(3)=AFFB=(a+c)(a-c)=a3是AF,FB的等比中项b2=3x2y2+=1椭圆方程为：4322-c2=b2（2）由（1）可得：A(-2,0),B(2,0),F(1,0)设AP:y=k(x+2)，设P(x,y11)，联立直线与椭圆方程可得：4k2+34k2+33x2+4y2=12(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0y=k(x+2)16k2-126-8k2xx=x=A11P,4k2+34k2+34k2+3y=k(x+2)=1112k6-8k212k另一方面，因为FQAPk文档kFQ=

6、-1y=-(x-1)FQ:y=-(x-1)，联立方程：kx=-2Q-2,B(2,0)1k实用标准文案13k=-3k4k2+3=-12k=-3k2-(-2)4k4k6-8k216k2kBQ=312k0-0-=BP2-4k2+3kBQ=kBPB,Q,P三点共线例2：已知椭圆x2y2+2ab2=1(ab0)的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若OMF的面积为122，且椭圆的离心率为2（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：（1）SOMOF=bc=111OMF222e=c2=a:b:c=2:1:1a2b=

7、c=1a2=b2+c2=2x2椭圆方程为：+y2=12（2）设P(x,y)，Q(x,y),由（1）可得：M(0,1),F(1,0)1122kMF=-1F为PQM的垂心MFPQkPQ=-k1MF=1设PQ:y=x+m文档实用标准文案由F为PQM的垂心可得：MPFQMP=(x,y-1),FQ=(x-1,y1122)MPFQ=x(x-1)+(y-1)y=01212因为P,Q在直线y=x+m上12y=x+m1y=x+m2，代入可得：x(x-1)+(x+m-1)(x+m)=01212即2xx+(x+x)(m-1)+m2-m=01212考虑联立方程：x2+2y2=2y=x+m得3x2+4mx+2m2-2=

8、0D=16m2-12(2m2-2)0m2b0)的一个焦点是)F(1,0，O为坐标原点.（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求文档实用标准文案椭圆的方程；（2）设过点F且不垂直x轴的直线l交椭圆于A,B两点，若直线l绕点F任意转动，恒有OA2+OB2AB2,求a的取值范围.解：（1）由图可得：M0,b由正三角形性质可得：MFO=13p6,k3MF=-3b-03kMF13=-0-13b=3a2=b2+c2=4x2y2=1椭圆方程为：+43（2）设l:y=k(x-1)，A(x,y),B(x,y112OA2+OB2AB2cosAOB=OA2+OB2-AB202OAOBAOB为钝角OA

9、OB=xx+yy012122)联立直线与椭圆方程：y=k(x-1)b2x2+a2y2=a2b2b2x2+a2k2(x-1)2=a2b2，整理可得：k(a22+b2)x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0a2k2+b2a2k2+b2x+x=122a2k2a2k2-a2b2,xx=12yy=k2(x-1)(x-1)=k2xx-k2(x+x)+k212121212=k2a2k2-a2b22a2k2k2b2-a2b2k2-k2+k2=a2k2+b2a2k2+b2a2a2k2+b2a2k2-a2b2+k2b2-a2b2k2xx+yy=01212a2k2-a2b2+k2b2-a2b2k20恒成立文档实

10、用标准文案即k2(a2+b2-a2b2)a2b2恒成立a2+b2-a2b20b2=a2-12a2-1-a2(a2-1)1+5a的取值范围是,+21+52例4：设A,B分别为椭圆x2y2+a2b2=1(ab0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1y（1）求椭圆的方程；MPAoB(4,0)x（2）设P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点，若N直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N，证明：点B在以MN为直径的圆内解：（1）依题意可得a=2c，且到右焦点距离的最小值为a-c=1可解得：a=2,c=1b=3x2y2椭圆方程为+=143（2）思路：若

11、要证B在以MN为直径的圆内，只需证明MBN为钝角，即MBP为锐角，从而只需证明BMBP0，因为A,B坐标可求，所以只要设出AM直线（斜率为k），联立方程利用韦达定理即可用k表示出M的坐标，从而BMBP可用k表示。即可判断1BMBP的符号，进而完成证明解：由（1）可得A(-2,0),B(2,0)，设直线AM,BN的斜率分别为k，M(x,y11AM:y=k(x+2)联立AM与椭圆方程可得：)，则y=k(x+2)3x2+4y2=12，消去y可得：(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=04k2+34k2+316k2-126-8k2xx=x=A11文档，即M,4k2+34k2+34k2+3y=

12、kx+2k=11实用标准文案12k6-8k212k设P(4,y0)，因为P在直线AM上，所以y0=k(4+2)=6k，即P(4,6k)=,4k2+34k2+3BP=(2,6k),BM-16k212kBPBM=-32k212k40k2+6k=04k2+34k2+34k2+3MBP为锐角，MBN为钝角M在以MN为直径的圆内例5：如图所示，已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A,B两点，与椭圆33y2+x2=1的交点为C,D，是否42存在直线l使得AFCF=BFDF？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点F(0,1)，设l:y=kx+1AFCF=BFD

13、FAFCF，不妨设AFBF=DFBF=DFCF=l则AF=lFB,DF=lFC设A(x,y),B(x,y),C(x,y),D(x,y1122334AF=(-x,1-y),FB=(x,y-1)1122CF=(-x,1-y),FD=(x,y-1)33444)-x=lx12-x3=lx4y=kx+1考虑联立直线与抛物线方程：x2=4yx2-4kx-4=0，消去x可得：xx=-lx2=-4x+x=(1-l)x=-4k1221222(1-l)2-l=-4k2文档6x2+3y2=46x2-3(kx+1)2=4，整理可得：实用标准文案联立直线与椭圆方程：y=kx+1(3k2+6)x2+6kx-1=0x+x=

14、(1-l)x=-33k2+6xx=-lx2=-343k2+66k4414(1-l)2-l=-36k23k2+6由可得：-4k2=-36k23k2+6，解得：k2=1k=1所以存在满足条件的直线，其方程为：y=x+1例6：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py(p0)的准线方程为y=-点M(4,0)作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O），直线l过点M与抛物线交于两点P,Q，与直线OA交于点N（1）求抛物线的方程12，过（2）试问MNMP+MNMQ的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由=-解：（1）由准线方程可得：-p1p=122抛物线方程：x2=2y（2）设切点A(x,y

15、00)，抛物线为y=1x22y=x切线斜率为k=x0切线方程为：y-y=x(x-x000)，代入M(4,0)及y0=1x220x2=x(4-x)，解得：x=0（舍）或x=820可得：-文档10000实用标准文案A(8,32)OA:y=4x设PQ:x=my+4M,P,N,Q共线且M在x轴上MNMQ=N+N=y=yP+PyyyNyyyMP+PQQPQNMNyy11y+yQ联立PQ和抛物线方程：(my+4)2=2y，整理可得：y+y=2-8mm2m2x2=2yx=my+4m2y2+(8m-2)y+16=016,yy=PQPQ再联立OA,PQ直线方程：y=4xx=my+4y=N161-4mMNMN16

16、+=yP=2m216MPMQyy1-4mm2NPQQ=2-8m,例7：在ABC中，A,B的坐标分别是(-2,0)(2,0)，点G是ABC的重心，y轴上G,由y轴上一点M满足平行关系，可得M0,一点M满足GMAB，且MC=MB（1）求ABC的顶点C的轨迹E的方程（2）直线l:y=kx+m与轨迹E相交于P,Q两点，若在轨迹E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围解：（1）设C(x,y)由G是ABC的重心可得：xyy333由MC=MB可得：x+y-y=(0-2)+y+=1(y0)化简可得：文档x2y226212322x2y2C的轨迹E的方程为：+26（2）四边

17、形OPRQ为平行四边形OR=OP+OQ实用标准文案=1(y0)设P(x,y),Q(x,y1122)R(x+x,y+y1212)R在椭圆上3(x+x12)2+(y1+y2)2=6(3x21+y2)+(3x2+y2)+6xx+2yy=61221212因为P,Q在椭圆上，所以3x2+y2=63x2+y2=61122，代入可得：6xx+2yy+12=63xx+yy=-312121212联立方程可得：3x2+y2=6y=kx+m(k2+3)x2+2kmx+m2-6=03+k2k2+32kmm2-6x+x=-,xx=1212yy=(kx+m)(kx+m)=k2xx+km(x+x)+m2=12121212代

18、入可得：3m2-6k2k2+33m2-63m2-6k2+=-32m2=k2+3k2+3k2+3(k2+3)x2+2kmx+m2-6=0有两不等实根可得：D=4k2m2-4(k2+3)(m2-6)0，即-3m2+6k2+180，代入k2=2m2-3-3m2+6(2m2-3)+180m20另一方面：2m2-3=k20m2文档366m或m-222=1(ab0)的离心率为，直线l过点A(4,0),B(0,2)，6m-,-2例8：已知椭圆C:实用标准文案6,+2x2y21+a2b22且与椭圆C相切于点P（1）求椭圆C的方程（2）是否存在过点A(4,0)的直线m与椭圆交于不同的两点M,N，使得36AP2=

19、35AMAN？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由解（1）e=c1=a:b:c=2:3:1a2椭圆方程化为：x2y2+4c23c2=13x2+4y2=12c2设直线l:x消去y可得：3x2+4-x+2=12c2椭圆方程为：+=1，且可解得P1,l过A(4,0),B(0,2)y1+=1y=-x+24223x2+4y2=12c212联立直线与椭圆方程：1y=-x+222整理可得：x2-2x+4-3c2=0l与椭圆相切于PD=4-4(4-3c2)=0c=1x2y23432)，由（1）可得：P1,3，（2）思路：设直线m为y=k(x-4)，M(x,y),N(x,y11222再由A(4,0)可

20、知AP2=454，若要求得k（或证明不存在满足条件的k），则可通过等式36AP2=35AMAN列出关于k的方程。对于AMAN，尽管可以用两点间距离公式表示出AM,AN，但运算较为复杂。观察图形特点可知A,M,N共线，从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为AM,AN同向，所以AMAN=AMAN。写出文档实用标准文案AM,AN的坐标即可进行坐标运算，然后再联立m与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于k的方程，求解即可由（1）可得：P1,3解：由题意可知直线m斜率存在，所以设直线m:y=k(x-4),M(x,y),N(x,y11222)=(1-4)2+-0AP2322=454A,M,N共

21、线且AM,AN同向AMAN=AMANAM=(x-4,y),AN=(x-4,y1122)AMAN=(x-4)(x-4)+yy=xx+yy-4(x+x)+161212121212联立直线m与椭圆方程：y=k(x-4)3x2+4y2=12消去y并整理可得：(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0x+x=1232k264k2-12,xx=4k2+3124k2+3yy=k2(x-4)(x-4)=121236k24k2+364k2-1236k232k236(k2+1)AMAN=+-4+16=4k2+34k2+34k2+34k2+336AP2=35AMAN，代入AP2=4536(k2+1)36=3

22、544k2+34536(k2+1)，AMAN=可得：44k2+3可解得：k2=12k=，另一方面，84若方程(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0有两不等实根)-4(4k则D=(32k222+3)(64k2-12)0文档实用标准文案11解得:-kb0)的左，右焦点分别为F,F，上顶点为A，过点A12与AF垂直的直线交x轴负半轴与点Q，且2FF+FQ=02122（1）求椭圆C的离心率（2）若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l:x-3y-3=0相切，求椭圆C的方程2（3）在（2）的条件下，过右焦点F作斜率为k的直2线l与椭圆C交于M,N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM,PN

23、为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意设A(0,b),F(-c,0),F(c,0),Q(x,0)120FF=(2c,0),FQ=(x-c,0)2FF+FQ=012201224c+x-c=0x=-3c00Q(-3c,0)AQ=bAF2=-kb,k3cc由AQAF可得：2kAQkAF2=-b23c2=-1b2=3c2a2-c2=3c2a2=4c2e=12（2）由（1）可得：a:b:c=2:3:1文档2实用标准文案AQAF2A,Q,F的外接圆的直径为QF，半径设为r22Q(-3c,0),F(c,0)2r=1QF=2c，圆心(-c,0)2-c-3由

24、圆与直线相切可得：d=2cc+3=4c2解得：c=1a=2,b=3x2y2椭圆方程为+43=1（3）由（2）得F(-1,0),F(1,0)：设直线l:y=k(x-1)12设M(x,y),N(x,y1122)，若PM,PN为邻边的平行四边形是菱形则P为MN垂直平分线上的点13x2+4y2=123x2+4y2=121223(x2-x2)+4(y2-y2)=012123(x+x12)(x1-x)+4(y+y212)(y1-y2)=0设M,N中点(x,y00)4kk3x+4ky=0y=-3x0000MN的中垂线方程为：y-y=-01(x-x)，即x+ky-ky-x=0000代入P(m,0)可得：m-k

25、y-x=0m=x=1480001x+x2联立方程：3x2+4y2=12(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0y=k(x-1)x+x=128k24k2+3=0,4+3m=文档k2114k2+34k2所以存在满足题意的P，且m的取值范围是0,实用标准文案14例10：已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且QF=54PQ（1）求抛物线C的方程（2）过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点，若AB垂直平分线l与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求l的方程Q,4P(0,4)PQ=pQF=x+p2p24解：（1）设Q(x,4

26、)，可的42=2pxx=00088p8p08p5=+且QF=PQ8p58+=解得p=2p24p抛物线C:y2=4x（2）由（1）可得F(1,0)可设直线l:x=my+1y2=4x联立方程x=my+1y2-4my-4=0设A(x,y),B(x,y1122)，则有y1+y=4m,yy=-4212设l:(y-2m)=-mx-2m2+1整理可得：x=-x+x=m(y+y)+2=4m2+21212AB的中点D(2m2+1,2m)且AB=m2+1y-y=4(m2+1)12由直线l:x=my+1可得l的斜率为-m()1my+2m2+3与y2=4x联立消去x可得：y2+设M(x,y),N(x,y)3344文档4my-4(2m2+3)=0实用标准文案y+y=-344m,yy=-4(2m2+3)341(y+y)+4m2+6=mm2x+x=-34344+4m2+6MN的中点Em2m2+2m2+3,-2MN=4(m2+1)2m2+1m2，因为A,M,B,N共圆，所以DE2+AD2=r2=ME2DE2+11AB2=MN442()2m+2+2+4m2+1=222mm2整理后可得：m2-1=0m=1l的方程为：x-y-1=0或x+y-1=024(m2+1)(2m2+1)m4文档