微积分在初等数学中的应用

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1、 微积分在初等数学中的应用 【摘要】本文通过对微分在解决一些初等函数单调性、求曲线的切线以及几个初等数学命题的积分证明等问题的讨论，为我们解决一些初等数学问题提供了一些新的思想，使微积分对初等数学的指导作用得到具体体现.【关键词】微积分;高等数学;初等数学Some Applications of Differential and Integral Calculus in Elementary Mathematics.Abstract:This text passes to sophisticate to the some elementary grade function monotonous

2、, begging curvilinear tangent and a few elementary grades mathematics setting question proof etc. Of the some square distance ask. Resolve for us he some elementary grades mathematics problem provided the some new thought, making calculus got the concrete to the mathematic leading in elementary grad

3、e function now. Key words: calculus; higher mathematics; Elementary Math1 引言我国现在普遍使用的高中数学教材(人民教育出版社) 中,增加了微积分的部分知识. 为什么要增加这部分内容,我们认为,至少有以下五条原因:一是微积分是人类宝贵的精神财富,加进微积分知识可以增强高中数学的人文价值;二是使学生掌握更有用的变量数学知识,有利于学生数学思维能力的培养;三是可发挥微积分对初等数学的指导作用,促进中学数学教学及邻近学科教学质量的提高;四是增加了解决实际问题的工具,有利于学生分析问题、解决问题能力的培养;五是微积分进入中学已成为

4、国际潮流1. 本文将就第三条原因展开讨论,主要讨论微积分在初等数学中的应用问题. 考虑到读者一般都熟悉微积分,因此,对文涉及的微积分相关知识,就均不一一列举了.下面,我们分类举例说明微积分在初等数学中的应用.2 导数在初等数学中的应用 随着高中数学课程改革的进一步深化, 高中数学教学越来越突出知识的实用性与简洁性. 由于导数知识在研究曲线的切线方面和解决实际问题中有着广泛的应用, 同时为研究函数的单调区间、最值等问题以及某些不等式的证明、方程求解和数列求和等提供了捷径,所以在高中教学中越来越凸现其重要性.导数作为研究客观世界物质运动变化的有力工具,在现代化建设的各个领域内有着广泛的应用,自然对

5、中学数学也有重要的指导作用,并且在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简驭繁的作用2. 2.1 导数在研究函数中的应用 2.1.1 函数的单调性与导数 用初等方法研究初等函数的单调性，多是用定义或从函数图像加以判断的.但对于一些复杂的函数，用定义来判断其单调性，并不是一件容易的事；而对于一些用初等方法画不出图象的函数，要用函数图像研究它的单调性，更加无从谈起. 而微分中值定理却给出了一个研究函数单调性的高等方法. 有了微分中值定理对初等函数单调性的研究，求可导函数的单调区间，便可以通过求导的方法来实现，与初等数学方法比较，这种方法既显得高出一等，又可以解决一些用初等数学的方法无法解决的较为复杂

6、的函数单调性问题. 2.1.2 函数的最值(极值)的求法 人们做任何事情，小到日常用具的制作，大至生产科研和各类经营活动，都要讲究效率. 考虑怎样以最小的投入得到最大的产出，这类问题在数学上往往可以归纳为求某一函数在某个区间内的最大与最小值的问题. 最值(极值)问题也是高中数学的一个重点, 也是一个难点. 它涉及到了中学数学知识的各个方面, 用导数解决这类问题可以使解题过程简化, 步骤清晰, 也好掌握. 一般的,函数 f ( x)闭区间 上可导, 则 f ( x )在上的最值求法: (1) 求函数 f (x )在上的驻点; (2) 计算f (x )在驻点和端点的函数值, 比较而知道, 最大的一

7、个是最大值, 最小的一个是最小值. 例23. .求函数在0,3上的最大值与最小值. 解：在0,3上，当x=2时， 有极小值，并且极小值为又由于，因此，函数在0,3上的最大值是4，最小值是 2.1.3 证明不等式 因为用求导法很容易判断函数的单调性,而不等式问题又常常可化为函数问题,故可用微积分法证明一些不等式4. 例3.设 e 是自然对数的底,是圆周率, 求证 e e. 证明 因为函数 y = ln x 单调增加,故e e 等价于ln e lne,即ln e e ln, 即 .令 = ( x e) , 则 = . 因此,当 x e时, 0 ,于是 在 e , +)内 单调减少,从而 , 即.原

8、命题得证. 2.14.用于证明恒等式 例 4求证: arctg x + arcctg x =. 证明 设 = arctg x + arcctg x ,则 从而 = c ( c 为常数) , 令 x = 1 , 得 . 于是 arctg x + arcctg x =. 这类问题证明的关键是把恒等式问题转化为函数问题(此题中转化为证明 f ( x ) =) ,然后利用函数的导数达到解决问题的目的. 由例题可以看到,若运用得当,将会得到十分巧妙的证明. 2.2 导数的几何意义的应用 利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率函数 在点的导数 表示曲线 在点A(x0,)处切线的斜率，这就是导数的几何意义.

9、 我们通过例题看一下,如何利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率.例1 ：求曲线 在点（1,1）处切线的方程？解 由导函数定义，.应用点斜式方程 ，可得曲线在（1,1）处的切线方程：.即.3 定积分在初等数学中的应用 在过去的学习中，我们已经知道正方形、三角形、平行四边形、梯性等平面“直边图形”的面积：物理中，我们知道了匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等等. 在数学和物理中，我们还经常会遇到计算平面曲线围成的平面“曲边图形”的面积、变速直线运动物体位移、变力做功的问题. 如何解决这些问题呢？能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”面积？为此，我们学习了新的数学知识-定积分. 3.1 应

10、用定积分求平面图形的面积例 15. 如图 1, 计算由曲线 所围成图形的阴影部分的面积. 分析: 先根据所给曲线方程, 在坐标系中画出曲线, 确定所围图形的范围; 然后根据图形的范围, 比较两条曲线的位置关系; 最后用定积分求所围图形的面积. 解: 解方程组 得出交点坐标为( 2, -2) , ( 8, 4) , 所以所求图形的面积为 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限. 3.2 定积分在物理中的应用 应用定积分求变速直线运动的路程:我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数（v(t)0）

11、在时间区间a,b上的定积分，即 例25.如图 3, 已知一辆汽车的速度- 时间曲线,求该汽车在 1min 行驶的路程.解: 由定积分的几何意义知, 该汽车在 1min 行驶的路程 s 等于梯形的面积, 即 3.3 定积分在日常生活中的应用 定积分的应用极其广泛，学好定积分可以帮助我们解决很多实际问题。 例36. 某商场某品牌衬衫的需求函数是 ,如果价格定在每件50元, 试计算消费者剩余. 分析: 消费者剩余是指消费者消费一定数量的某种商品愿意支付的最高价格与这些商品的实际市场价格之间的差额. 当衬衫的价格为 50 元时, 由计算出消费者对衬衫的需求量, 由消费者剩余公式,求出消费者剩余. 解：

12、 得 所以，消费者剩余为 ： 消费者剩余是消费者的主观心里评价, 它反映出消费者通过购买和消费商品所感受到的状态的改善.4 微分中值定理的应用 微分中值定理是罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒中值定理的统称，它是微分中值定理学中重要的理论基础，且应用极为广泛. 为了使其应用的得心应手，我们首先要明确几者间的关系. 拉格朗日中值定理可视为中心定理，以它为中心展开，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特值，而柯西中值定理和泰勒定理可视为拉格朗日中值定理在应用上的推广. 因此解题中将几个定理巧妙联系起来加以应用则更显现出其价值的可贵.下面几个方面充分说明微分中值定理在解题中的应用.微

13、分中值定理是数学分析中非常重要的定理，它是沟通函数与导数之间的桥梁. 由于它是研究函数在区间上整体性质的有力工具，故有着广泛的应用. 本文谈谈中值定理的一些常见应用. 4.1.解方程的根 在证明方程根的存在性时，出现满足中值定理的相关条件时，可以考虑运用微分中值定理解决. 从某种意义来说，微分中值定理为证明方程根的存在性提供了一种方法. 例17.设f(x)在0,1上连续，在（0,1）内可导，且f(1),证明存在一点，使得. 分析：结论是在(0， 1)内有根，而方程可进行如下变形： 故结论是f(X)=0 在(0，1)内有根，自然考虑到f(X)使用罗尔定理.证明 ：令，且. 所以f(X)在0,1上

14、满足Roller定理.故至少存在一点，即. 4.2证明不等式在证明不等式时，可以考虑从微分中值定理入手，找出切入点，灵活运用相关微分中值定理，进行系统的分析，从而得到巧妙的证明.例27.若函数f(x)在a,b上二阶可微分且,又函数f(x)在（a,b）内取极值.证明：证明：由于函数f(x)在(a,b) 内取极值，因此存在一点 c,且ac b,s.t. f(c)=0.于是则有： 4.3证明等式 在证明一些出现导数的等式时，进行适当的变形后，考虑应用微分中值定理加以证明. 还有，就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时，构建辅助函数是解决问题的关键. 在证明题中巧妙选用和构建辅助函数，进行系统分析和

15、阐述，从而证明相关结论8.微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且也是微分学的理论核心，其应用极为广泛. 在解决出现与中值定理有关的题目是，我们可以通过转换、变形，选用和构建辅助函数，或其他一些可使问题方便分析. 解决的手段，然后运用微分中值定理将问题得以解决. 当然这一过程是建立在对微分中值定理彻底理解的基础之上，然后加以灵活运用. 参考文献1 张奠宙.国家高中数学课程标准正在研究的15个课题.数学教学,2000 (6) .2 毕明黎, 王丽. 中学数学研究 J . 华南师范大学数学科学学院,2008, ( 3) .3 高慧明. 中学数学研究 J . 华南师范大学数学科学学院, 2008,( 9) .4 丁尔升. 现代数学课程论. 南京:江苏教育出版社 ,1997 ,380390.5 邓俊谦. 应用数学基础M.上海:华东师范大学出版社,2000.6 陆庆乐, 马知恩. 高等数学M.北京: 高等教育出版社,1990.7 张万国.高等数学M.上海：复旦大学出版社.8 路永洁,宋岱才，等.高等数学与训练指导M.北京：中国经济出版社,2006.