何豪明立体几何学习策略

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1、立体几何学习策略浙江省衢州高级中学何数思维工作室 何豪明 324006浙江省杭州市余杭区教育局教研室 陈朝阳 311100策略，百度文库给出的语义解释是：计策；谋略因此，策略是一种法则，是发现问题，解决问题的一种方法和规则。立体几何学习策略有二。其一是数学语言（文字语言、符号语言和图形语言）相互转化的学习策略；其二是寻找母体（大家都熟悉的几何体，如正方体，长方体等）的学习策略。因为几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，所以在立体几何学习策略的应用过程中，我们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质1. 数学语言相互转化的学习策略数学学

2、习，事实上就是数学语言的学习，就是（按照语言形式的外表特征分类）数学的文字语言、符号语言和图形语言的相互转化的学习这种相互转化，有助于学生数学思维的训练，有助于学生实用知识的获取，有助于学生文化素养的提升，学生在数学语言相互转化的过程中学习对立统一的辩证思维，从而学会数学地阅读，数学地理解，数学地交流文字语言：文字语言是用自然语言来表达数学知识的语言，这种语言必须做到严谨、精确。符号语言：符号语言是用一些数学概念、定理、运算法则的缩写、代码组成来表达数学知识的语言，它避免了日常语言的繁复、冗长或含混不清，“具有无可比拟的更大的万能性”。图形语言：图形语言是用数学图表来表达数学事实的语言，是进行

3、抽象思维的重要工具，是数学形象思维的载体和中介，是数学思维的重要材料和结果。 1. （2014广东文）若空间中四条两两不同的直线、，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C.、既不平行也不垂直 D.、的位置关系不确定【解析】如图，在正方体中，取为，为，取为，为， 则；取为，为，则；取为，为，则与异面，因此、的位置关系不确定。选D.2 （2013年新课标2理）已知为异面直线,平面,平面.直线满足,则（）A,且B,且C与相交,且交线垂直于D与相交,且交线平行于【解析】 在母体（正方体或长方体）中直观感知，操作确认。选D。 3 （2013年浙江理）在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设

4、是两个不同的平面,对空间任意一点,恒有,则（）A平面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为 【解析】 设，根据题意，得,点是垂足。因为，所以,点是垂足。同理，若,得点是垂足，因此表示，点是垂足，因为对任意的点，恒有，所以点与重合，因此，四边形是矩形，且是二面角的平面角，因为是直角，所以（图形语言在草稿纸上完成）。选。 评析：这种类型的高考立体几何试题，常用的解题策略是把题目中的符号语言（或文字语言）转化为文字语言（或符号语言）和图形语言，然后在母体中直观感知，操作确认，思辨论证。2. 寻找母体的学习策略高考对立体几何的考查，每年的题目各不相同

5、，但在“大家都熟悉的几何体”中考查的理念始终没有改变，我们把“大家都熟悉的几何体”称作“母体”，此处的“母体”是指正方体和长方体因此，求解立体几何问题，必须寻找“母体”在此基础上，通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质下面选择典型的高考立体几何试题，让我们在解题过程中一起感悟寻找“母体”的解题策略4. (2012辽宁理)已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为_。【解析】在正方体中直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算。如图，因为正方体内接于球，所以正方体的体对角线为球的直径且垂直平面，球心在正方体对角线的中点。故球心到截

6、面的距离为球的半径（）减去正三棱锥的高。故球心到截面的距离为。 5. （2014新课标1理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为. . .6 .4【解析】在正方体中直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算。如图，正方体的棱长为4，符合条件的三棱锥为，因此最长的棱的长度为。选B。6. （2014辽宁理）如图，和所在平面互相垂直，且，分别为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【解析】由条件可知，三棱锥可以看成是长方体中的一部分，如图，由长方体的性质可知，又，所以。寻找长方体为母体，只要作于，再作于，连结，得到为二面角的平面

7、角，易得，在直角中，求得，在直角中，求得。7. （2014新课标2理）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.（1）证明：PB平面AEC；（2）设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.【解析】 如图，在长方体中直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算。（1） 证明：略。（2） 由条件可知，四棱锥可以看作是长方体中的一部分，过点作于，连结，则，所以，又因为，所以，因为为的中点，所以三棱锥的高为，三棱锥的体积。【评析】通过解题体验，我们可以感悟到：一般几何体都可以寻找到它的母体，关键是你的感悟是否深刻，比如已知条件中有共顶点的

8、三条棱两两互相垂直，线面垂直，两个平面互相垂直等，在这些已知条件中寻找母体，则相对要简单些，如例4,例6,例7。有些题目，已知条件中只给出对称关系等位置关系，在这些已知条件中寻找母体，则难度相对大些，如例5，例6.但是，不管怎么样，寻找母体的解题策略肯定是行之有效的好方法，解题时常常会收到意想不到的效果。事实上，寻找母体的过程也就是建立空间直角坐标系的过程（例6（2）和例7（2）的空间向量法略）。寻找母体的解题策略有利于培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和推理论证能力。而建立空间直角坐标系，利用向量法，将几何问题代数化，则是几何机械化的开端。在立体几何的学习过程中，我们应该遵循直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算的认识方法把握几何体的特征，同时把数学的文字语言、符号语言和图形语言的相互转化的学习策略贯穿其中，这样，可以极大地提高学生数学语言的应用能力，提高学生的数学素养。5