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1、高三数学二轮复习专题数列【高频考点解读】一、等差数列的性质1.等差数列的定义：（d为常数）（）；2等差数列通项公式： 推广： 3等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或（2）数列是等差数列4等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若或(常数) 是等差数列 （2）数列是等差数列 数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。6等差数列的证明方法 定义法：若
2、或(常数) 是等差数列7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：一般可设通项奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（注意；公差为2）8.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.（4）若、为等差数列，则都为等差数列(5) 若是等差数列，则 ，也成等差数列 （
3、6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和1.当项数为偶数时， 2、当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）（8）、的前和分别为、，且，则.（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和(10)求的最值法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值 （2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值
4、或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为二、等比数列的性质1. 等比数列的定义：，称为公比2. 通项公式： ， 推广：， 3. 等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列4. 等比数列的前n项和公式：(1) 当时， (2) 当时，（为常数）5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列 （2） 等比中项：（0）为等比数列
5、（3） 通项公式：为等比数列（4） 前n项和公式：为等比数列6. 等比数列的证明方法 依据定义：若或为等比数列7. 注意（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；如奇数个数成等差，可设为，（公比为，中间项用表示）；8. 等比数列的性质(1) 当时等比数列通项公式关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比前n项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式
6、.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),则.特别的,当n+m=2k时,得注：(4) 列,为等比数列,则数列, (k为非零常数) 均为等比数列.(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列(7) 若为等比数列,则数列，成等比数列(8) 若为等比数列,则数列, , 成等比数列(9) 当时， 当时，当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当q0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列中, 当项数为2n (n)时,. (11)若是公比为q的等比数列,则三、递
7、推数列类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足，求。类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列满足，求。类型3 （其中p，q均为常数，）。例:已知数列中，求.类型4 （其中p，q均为常数，）。（,其中p，q, r均为常数） 。例:已知数列中，,，求。类型5 递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.类型6递推关系形如这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为类型2的解法.例、已知数列满足,求.【高频强化】考点一：数
8、列的对称性原理例1.等差数列an前四项和为40，末四项和为72，所有项和为140，则该数列共有（ ）A.9项 B.12项 C.10项 D.13项例2.在正项等比数列an中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40a50a60的值为( )A.32 B.64 C.64 D.256例3.已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则 （ ） （A）1 （B） （C） （D） 考点二；函数法例1.已知数列an的通项为an=26-2n,若要使此数列的前n项之和Sn最大,则n的值是( )A.12 B.13 C.12或13 D.14例2.已知an是递增数列，对任意的nN*，都有ann2n恒成
9、立，则的取值范围是 ()A(，) B(0，) C(2，) D(3，)例3.数列an的前n项和Sn=3n+a,要使an是等比数列，则a的值为（ ）A.0 B.1 C.-1 D.2例4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,yR,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(nN*),则数列an前n项和Sn的取值范围是（ ）A.，2) B.，2 C.，1) D.，1考点三：周期数列例1.若数列an满足an+1=若a1=,则a2 006的值为( )A. B. C. D.考点四：数列分段和原理例1：等比数列前项和为54，前项和为60，则前项和为 ( )（A）66 （B）6
10、4 （C） （D）例2：在等差数列an中，a1+a2+a3=3,a28+a29+a30=165，则此数列前30项的和等于（ ）A.810 B.840 C.870 D.900考点五：数列累加法例1：在数列中， ，则（ ）A B C D例2.：在数列中,考点六：定义法例1.已知数列an中,a3=2,a7=1,又数列是等差数列,则a11等于( )A.0 B. C. D.-1例2.数列中，是首项为1,公比为的等比数列，则等于( )（A）（1） （B）（1） （C）（1） （D）（1）例3：设数列满足且.（）求的通项公式；（）设，记，证明：.例4：已知公差不为0的等差数列的首项为，且，成等比数列（）求数
11、列的通项公式；（）对，试比较与的大小考点七：递推法：例1.数列的前项为，（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.例2. 设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。例3：已知数列满足， .令，证明：是等比数列； ()求的通项公式。 考点八：构造法+错位相减例1.在数列中，（）设证明：数列是等差数列；（）求数列的前项和例2.在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和考点九：基本量法+裂项相消例1.数列是首项为的等比数列，为前项和，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）若，设为数列的前项和，求证：.例2：数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.（1）求；（2）求证.7
2013高三数学二轮复习专题—数列
