数列压轴题专题

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date数列压轴题专题数列压轴题专题2013届上海高三数学数列最值得做的12类题题型一：递推问题1、已知数列an中,a10,且an+1=.(1)试求a1的值,使得数列an是一个常数数列；(2)试求a1的取值范围,使得an+1an对任何自然数n都成立；（3）若a1=4,设bn=|an+1-an|(n=1,2,3),并以Sn表示数列bn的前n项的和,试证明：Sn0,可以推得an0

2、并解出：an=.即a1=a2= （）研究an+1-an=(n2)注意到：0因此,an+1-an,an-an-1,a2-a1有相同的符号.要使an+1an对任意自然数都成立,只须a2-a10即可.由-a10,解得：0a1时,an+1an对任何自然数n都成立.因此当a1=4时,an+1-an0Sn=b1+b2+bn.=|a2-a1|+|a3-a2|+|an+1-an|=a1-a2+a2-a3+an-an+1=a1-an+1=4-an+1又：an+2,故Sn4-.题型二：最值问题2、已知数列满足：,an+1=(nN) ,数列的前n项和Sn=12-12()n(nN). (1) 求数列和bn的通项公式；

3、(2) 设cn=,是否存在,使cm9成立？并说明理由.解答：（1）由,.由及,可得, 令,则也满足上式,. （2）,设为数列中的最大项,则 ,.即为中的最大项.,不存在,使成立.题型三：公共项问题3、设An为数列an的前n项的和，An(an1)，数列bn的通项公式为bn4n3。（1）求数列an的通项公式；（2）把数列an与bn的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列dn，证明数列dn的通项公式为dn32n1;（3）设数列dn的第n项是数列bn中的第r项，Br为数列bn的前r项的和，Dn为数列dn的前n项和，TnBrDn，求。解（1）由An (an1)，可知An1 (an11)An1An (a

4、n1an)an1，即 3而a1A1 (a11)，得a13所以数列an是以3为首项，公比为3的等比数列，数列an的通项公式为an3n。（2）32n1332n3(41)2n 3（42nC12n42n1(1)C2n2n14(1)(1)2n） 4m332n1bn而数32n（41）2n 42nC2n142n1（1）C2n2n14(1)(1)2n (4k1)32nbn 而数列an32n132n dn32n1(3)由32n14r3，可知rBrr(2r5)Dn(19n)(9n1)TnBrDn(9n1) 34n32n又（an）434n 题型四：存在性问题4.等比数列满足，数列满足（1）求的通项公式；（5分）（2

5、）数列满足，为数列的前项和求；（5分）（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由（6分）、解：（1）解：，所以公比 2分计算出 3分 4分 5分（2） 6分于是 8分= 10分（3）假设否存在正整数，使得成等比数列，则， 12分可得， 由分子为正，解得， 由，得，此时， 当且仅当，时，成等比数列。 16分说明：只有结论，时，成等比数列。若学生没有说明理由，则只能得 13分题型五：类比问题5. 已知数列为d0的等差数列,对于p,q,且pq(1) 求证:是不依赖于p,q的常数;(2) 对于pqr(p,q,r),试证:(rp)aq=(qp)ar+(rq)ap;

6、正数数列bn是公比不等于1的GP,类似(1)(2)的等式是什么?并加以证明? 题型六：放缩问题6. 已知函数f（x）在（1，1）上有定义，且满足x、y（1，1） 有（1）证明：f（x）在（1，1）上为奇函数；（2）对数列求；（3）求证（1）令则 令则 为奇函数. （2）， 是以1为首项，2为公比的等比数列 （3） 而 题型七：数列与向量问题7.已知，分别是与轴，轴正方向相同的单位向量， ，对任意正整数，。（1）若，求的值；（2）求向量（3）求向量（用、表示）题型八：通项问题8.已知，且，数列、满足，(1) 求证数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；证明(1)，,. ， 又， 数列是公比为3，

7、首项为的等比数列 (2)依据(1)可以，得于是，有，即 因此，数列是首项为，公差为1的等差数列故所以数列的通项公式是 题型九：猜想与证明问题9 已知函数f(x)=（，）(1) 证明函数f(x)的图象关于点P()对称(2) 令an，对一切自然数n，先猜想使an成立的最小自然数a,并证明之(3) 求证：). (1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法.设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P()的对称点为M（，）， (1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，故函数f(x)的图象关于点P()对称.(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式，化简可得an猜a=3,即

8、3下面用数学归纳法证明设n=k(k)时，3那么n=k+1，3又3k（）（）（，）.(3)令k=1,2,，n，得n个同向不等式，并相加得：函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗? 试试你的数学猜想能力.题型十：单调性问题10、已知a0，且a1，数列an的前n项和为Sn，它满足条件，数列bn中，bn=anlgan。（1） 求数列bn的前n项之和Tn；（2） 若对一切nN*都有bnbn+1，求a的取值范围。解析：（1），当n=1时，当n2时，an=Sn-Sn-1= an=an（nN*）此时bn=anlgan=anlgan=n

9、anlga Tn=b1+b2+bn=lga(a+2a2+3a2+nan)设un=a+2a2+3a3+nan，则aun=a2+2a3+3a4+(n-1)an+nan+1 (1-a)un=a+a2+a3+an-nan+1= （2）由bnbn+1nanlga(n+1)an+1lga可得： 10 当a1时，由lga0可得a （nN*）a1 对一切nN*都成立 此时的解为a120 当0a1时，由lga0可得n(n+1)a， （nN*），0a1 0a对一切nN*都成立 此时的解为0a由10，20可知，对一切nN*，都有bnbn+1的取值范围是0a或a111、已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式

10、；（2）设，若对一切均成立，求的范围；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得， （2）由（1）得， -得 . ，设，则由得随的增大而减小时， 又恒成立， （3）由题意得恒成立 记，则 是随的增大而增大 的最小值为，即. 题型十一：探究问题12、已知数列在直线x-y+1=0上.（1）求数列an的通项公式；（2）若求函数f(n)的最小值；(3)设表示数列bn的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由. 讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索. （1）

11、 （2） ,.（3）, . 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.事实上, 数列an是等差数列, 你知道吗？题型十二：综合性问题13.设数列的各项均为正数，前项和为，已知(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；(2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在请说明理由；(3)证明：对任意，都有解： (1)，当时，两式相减得， 2分，又，是以为首项，为公差的等差数列2分 1分(2) 由(1)知， 2分假设正整数满足条件， 则 ， 解得； 3分(3) 2分于是 2分 3分 14.已知递增的等差数列的首项，且、成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列对任意，都有成立，求的值（3）在数列中，且满足，求下表中前行所有数的和. 14解：（1）是递增的等差数列，设公差为 1分、成等比数列， 2分由 及得 3分 4分（2）， 对都成立当时，得 5分当时，由，及得，得 7分 8分 10分(3) 又 13分 14分第行各数之和16分表中前行所有数的和 18分-