理论物理 量子力学复习提纲

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1、量子力学复习提纲第一章 绪论1、德布洛意假设：德布洛意假设的内容，德布洛意关系，戴维孙-革末电子衍射实验的结果。_ AqZ(p*r-Et)2、德布洛意平面波：p e3、光的波动性和粒子性的实验证据。第二章 波函数和薛定谔方程1量子力学中用波函数描写微观体系的状态。2波函数统计解释：若粒子的状态用屮&t)描写，,坤必=|屮I2砥表示在t时刻，空间戸处体积元小内 找到粒子的几率(设屮是归一化的)。3. 态叠加原理：设1 “2n是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加屮二工c屮nnn 也是体系的一个可能状态。屮二工c屮若体系处于n n 态，我们讲体系部分处于“1 “2 n态。4. 波函数随时间的变化

2、规律由薛定谔方程给出：d“h 2诜二一 V2 + V (r t)“dt2卩当势场V ( r )不显含t时，其解是定态解“ n ( rt )二“ n ( r )e 叫“ n (戸)满足定态薛定 谔方程H“ = E谔方程nn nh 2h = -V 2 + v( r, t)其中L 2卩定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。J2dT = 15. 波函数的归一化条件：(全)。相对几率分布：“(r) c“(r)，波函数常数因 子不定性；相位因子不定性。6. 波函数标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。7一维无限深方势阱本征值本征函数则本征值本征函数8一维谐振子本征值E=n本征函数0

3、,0xax a.n兀x门sin ,0 x a0，i1 n 兀()1 2 3sin (x + a), n = 1,2,3,.a2a0,屮=N e-a!2*2 2Hnn(a x)第三、四章 量子力学中的力学量1量子力学中的力学量用线性厄米算符表示并且要求该算符的本征函数构成完备系。2.厄米算符A的定义：J屮 * A 嗣r = J （A 屮）*9 dr厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交。力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备、封闭等条件。3力学量的测量值：在力学量F的本征态中测量F，有确定值，即它的本征值;在非F的本征态中测量F ,可能值是F的本征值。将(x)用算

4、符F的正交归一的本征函数展开： (x)=工 c 屮(x) + J c 屮(x)dxn nx x2，得到结果在n则在 (X)态中测量力学量F得到结果为九n的几率为入T入+ dX范围内的几率为cx2 dX。Fv = X vn n n= Jv*(x)(x)dx ,n甩=x壯XX=Jv * (x) (x)dxX力学量的平均值是=J * (x )F (x )dx|2 + Jx|c |2dX4简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。简并度：F算符的属于本征值n的线性无关的本征函数有f个，我们称F的第n个本征值-是f度简并。=-i hE5 角动量 z 分量本征函数屮(申)

5、=eim申,m = 0, 1, 2 ,m2kLz的本征值6. C LzL 二 mhzb共同的本征函数一球谐函数YlmIL2Y(0 ,p )= l (l + 1)h2Y(0 ,q)lmlmL Y(0 ,p )= mhY(0 ,p )z lmlm17中心力场中，定态薛定谔方程方2 1 02Lr + 2卩r dr 22卩r 2G , L2 , J为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为lmm = l, l 1，一l屮(r,0, p) = R(r)Y, (0,p) l = 0,1,2，,8氢原子1 = e 2 12a n2a =力2 J卩e2 （玻尔半径）屮(r,0,p) = R (r)Y (0,p)

6、nlmnl lm能级简并度9对易式定义：A , B = AB - BA10一些重要的对易关系：L, x = o,a 卩p , paL,axpL , p= i 力 aPap YLpL,L xy L2, L a=i力LzL o,xYpYLY1,s= i力sxys2, s L 0 ,aJ,xJ 2, j L 0aJ L ihJyz11若算符A、B对易，即A，B = 0，则A和B有共同的本征函数系。在A和B的共同的本征函数表示的态中测量A、B，都有确定值。第六章 自旋与全同粒子1电子自旋假设的两个要点：a）b）e口一一 s(或s-、esp csP c丿内禀磁矩的值即玻尔磁子的值：H 一 一e 2 g因

7、子（回转磁比值）：lgJ = 2 gi斯特恩盖拉赫实验，56,力 / 2）、 加 2 ）屮（r, s ）=z2旋量波函数z的意义及其归一化。自旋与轨道无耦合时：(r,s )=6)x(s )=6zzsz = 士1 2 的本征态：a = % （s ）, P = X （s ）1 z1 z2 23全同粒子（1）量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等）相同的粒子称为全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得全同粒子所组成的体系中，二全 同粒子相互代换不引起物理状态的改变。全同性原理或表述为交换对称性：任何可观测量，特别是 Hamilton 量，对于任何两个 粒子交换是不

8、变的。这就给描述全同粒子系的波函数带来很强的限制，即要求全同粒子体系的波函数具有 交换对称性PS = S或者交换反对称性PijA = O A。（3）全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系。玻色子：自旋为1整数倍（s = ，1，2,）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对 称的，例如兀介子（s = 0），光子（s = 1 ）。它们遵守Bose统计，称为Bose子。费米子：自旋为1半奇数倍（s = 12，32，）的粒子，波函数对于两个粒子交换总 是反对称的，例如电子，质子，中子等。它们遵守Fermi统计，称为Fermi子。由“基本粒子”组成的复杂粒子，例如a粒子（氦核）或其它原子核，如在讨论的问题或过程中内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则全同性概念仍然适用，也可以 当成一类全同粒子来处理。如果它们是由 Bose 子组成，则仍为 Bose 子。如它们由奇数个Fermi 子组成，则仍为 Fermi 子；但如由偶数个 Fermi 子组成，则构成 Bose 子。(4) Pauli不相容原理：不容许有两个全同的Fermi子处于同一个单粒子态。