中学代数公式大全

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1、目 录一、初中代数1二、高中代数42.1、函数4不等式7数列8三角函数9复数112.2排列、组合122.3平面几何13直线与角13三角形142.4立体几何14直线与平面14多面体、棱柱、棱锥172.5解析几何17方程与曲线17直线18圆19椭圆19双曲线202.5抛物线202.6向量部分21空间向量21平面向量22三、常用公式233.1常用公式233.2几何图形及计算公式25四、坐标几何和二维、三维图形274.1坐标几何274.2二维图形284.3三维图形29一、初中代数 【实数的分类】【自然数】表示物体个数的1、2、3、4等都称为自然数【质数与合数】一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不

2、能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。一个大于1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数。【相反数】只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。【绝对值】一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。 从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。【倒数】1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。【完全平方数】如果一个有理数a的平方等于有理数b，那么这个有理数b叫做完全平方数。【方根】如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数叫做a的n次方根。【开方】

3、求一数的方根的运算叫做开方。【算术根】正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。【代数式】用有限次运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数式。【代数式的值】用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。【代数式的分类】【有理式】只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式【无理式】根号下含有字母的代数式叫做无理式【整式】没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式【分式】除式中含字母的有理式叫分式【有理数的运算律】【等式的性质】【乘法公式】【因式分解】【方程】方 程 含有

4、未知数的等式叫做方程。 方程的解 在未知数允许值范围内，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解 方 程 在指定范围内求出方程所有解，或者确定方程无解的过程，叫做解方程。 【一元一次方程】一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程 【一元二次方程】二、高中代数2.1、函数【集合】 指定的某一对象的全体叫集合。集合的元素具有确定性、无序性和不重复性。【集合的分类】 【集合的表示方法】 名 称 定 义 图 示 性 质子 集 真 子 集 交集 并集 补集 函数的性质定 义 判定方法 函数的奇偶性函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x

5、),那么函数f(x)叫做奇函数；函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数 函数的单调性对于给定的区间上的函数f(x)： 函数的周期性对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数。不为零的常数T叫做这个函数的周期。 （1）利用定义 （2）利用已知函数的周期的有关定理。 函数名称解析式 定义域 值 域 奇偶性 单 调 性 正比例函数R R 奇函数 反比例函数奇函数 一次函数RR二次函数R函数名称解析式 定义域 值 域 奇偶性 单 调 性 正比例函

6、数R R 奇函数 反比例函数奇函数 一次函数RR二次函数R不等式不等式 用不等号把两个解析式连结起来的式子叫做不等式 不等式的性质 含绝对值不等式的性质 几个重要的不等式 一元一次不等式的解法 形 式 解 集 R 一元二次不等式的解法 R 绝对值不等式的解法 无理不等式的解法 数列名称 定 义 通 项 公 式 前n项的和公式 其它 数列 按照一定次序排成一列的数叫做数列，记为an 如果一个数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫这个数列的通项公式 等差数列 等比数列 数列前n项和与通项的关系：无穷等比数列所有项的和： 数学归纳法 适 用 范 围 证 明 步 骤 注

7、意 事 项 只适用于证明与自然数n有关的数学命题 设P(n)是关于自然n的一个命题，如果(1)当n取第一个值n0(例如：n=1或n=2)时，命题成立(2)假设n=k时，命题成立，由此推出n=k+1时成立。那么P(n)对于一切自然数n都成立。 （1）第一步是递推的基础，第二步的推理根据，两步缺一不可 （2）第二步的证明过程中必须使用归纳假设。 三角函数角一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 角的单位制关 系弧 长 公 式 扇 形 面 积 公 式 角度制 弧度制角的终边位 置 角 的 集 合 在x轴正半轴上 在

8、x轴负半轴上 在x轴上 在y轴上在第一象限内 在第二象限内 在第三象限内 在第四象限内 特殊角的三角函数值函数/角 0 sina010-10 cosa10-101 tana01不存在0不存在0 cota不存在10不存在0不存在 三角函数的性质函数定义域值域奇偶性周期性 单 调 性 y=sinx R奇函数y=cosx R偶函数y=tanx R奇函数y=cotx R奇函数角/函数 正弦 余弦 正切 余切 -a -sina cosa -tana -cota 900a cosa sina cota tana 900+a cosa -sina -cota -tana 1800-a sina -cosa

9、-tana -cota 1800+a -sina -cosa tana cota 2700-a -cosa -sina cota tana 2700+a -cosa sina -cota -tana 3600-a -sina cosa -tana -cota sina cosa tana cota 同角公式倒数关系 商数关系 平方关系 和差角公式 /倍角公式万能公式半角公式积化和差公式和差化积公式复数复数的定义 引入虚数单位i，规定i2=1,i可以和实数一起进行通常的四则运算，运算时原有加乘运算仍然成立。形如：a+bi（a,b为实数） a-实部 b-虚部 复数的表示形式 代数形式 三角形式 复

10、数的运算 代数式 三角式 2.2排列、组合分 类 计 数 原 理 分 步 计 数 原理 做一件事，完成它有n类不同的办法。第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法，第n类办法中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+mn种方法。 做一件事，完成它需要分成n个步骤。第一步中有m1种方法，第二步中有m2种方法，第n步中有mn种方法，则完成这件事共有：N=m1m2mn种方法。 注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。 排 列 组 合 从n个不同的元素中取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素

11、中取m个元素的排列。 从n个不同的元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取m个元素的组合。 排 列 数 组 合 数 从n个不同的元素中取m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Pnm 从n个不同的元素中取m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为Cnm 选 排 列 数 全 排 列 数 二 项 式 定 理 二项展开式的性质 (1)项数：n+1项 (2)指数：各项中的a的指数由n起依次减少1，直至0为止；b的指出从0起依次增加1，直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于n 。(3)二项式系数：各奇

12、数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和 2.3平面几何直线与角直 线 （不定义）直线向两方无限延伸，它无端点。 射 线 在直线上某一点旁的部分。射线只有一个端点。 线 段 直线上两点间的部分。它有两个端点。 垂 线 如果两条直线相交成直角，那么称这两条直线互相垂直。其中一条叫另一条的垂线，它们的交点叫垂足。 斜 线 如果两条直线不相交成直角时，其中一条直线叫另一条直线的斜线。 点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线距离。 线段的垂直平分线 定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 平 行 线 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。 平行

13、线公理及推论 经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。 平行于同一条直线的两条直线平行。 角 的 定 义 有公共点的两条射线所组成的图形，叫做角 角 的 分 类 周角：3600 平角：1800 直角：900 锐角：00a900 钝角：900a1800 三角形三角形的分类 按角分 锐角三角形，钝角三角形，直角三角形 按边分 等腰三角形，等边三角形，不等边三角形 三角形的角平分线 三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。 三角形的中线 连结三角形一个顶点的线段，叫做三角形的中线。 三角形的高 三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂

14、线段，叫做三角形的高。 三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 全 等 三 角 形 定 义 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 性 质 全等三角形的对应边、对应角、对应的角的平分线、高及中线相等。 判 定 任意三角形 直角三角形 （1）两边及夹角对应相等。记为SAS （1）一边一锐角对应相等 （2）两角和一边对应相等。记为ASAA或AAS （2）两直角边对应相等。 （3）三边对应相等。记为SSS （3)斜边、直角边对应相等（HL） 三 角 形 的 四 心 名 称 定 义 性 质 内 心三角形三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心（即内切圆的圆心） （1）内心到三角形

15、三边的距离相等。 （2）三角形一个顶点与内心的连线平分这个角。 外 心三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。（即外接圆的圆心） （1）外心到三角形的三个顶点的距离相等。 （2）外心与三角形一边中点的连线必垂直该边。（3）过外心垂直于三角形一边的直线必平分该边。 重 心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。 （1）重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。 （2）三角形顶点与重心的连线必过对边中点。 垂 心三角形三条高的交点，叫做三角形的垂心。 三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。 2.4立体几何直线与平面平面的基本性质图形作用公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条

16、直线上的所有点都在这个平面内。 （1）判定直线在平面内的依据 （2）判定点在平面内的方法 公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线 。 （1）判定两个平面相交的依据 （2）判定若干个点在两个相交平面的交线上 公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （1）确定一个平面的依据 （2）判定若干个点共面的依据 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。 （1）判定若干条直线共面的依据 （2）判断若干个平面重合的依据（3）判断几何图形是平面图形的依据 推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面

17、。 空间二 直 线 平行直线 公理4：平行于同一直线的两条直线互相平 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。 异面直线 空 间直线和平面位置关系 （1）直线在平面内有无数个公共点 （2）直线和平面相交有且只有一个公共点（3）直线和平面平行没有公共点 直线和平面平行 判 定 定 理 性 质 定 理 直 线与平面垂直 判 定 定 理 性 质 定 理 直线与平面所成的角 （1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成

18、的角是00的角 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直 三垂线逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 空间两个平面 两个平面平行 判 定 性 质 （1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （2）垂直于同一直线的两个平面平行 （1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 相交的两平面 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

19、叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角 两平面垂直 判 定 性 质 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 多面体、棱柱、棱锥多面体 定义 由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。 棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱

20、柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 棱锥 正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 球到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。 欧拉定理简单多面体的顶点数V，棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2 多 面 体 侧面积公式体积公式球2.5解析几何方程与曲线方程与曲线 概念在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点的坐标（x,y）都是方程F（x,y)=0的解；反之方程F（x,y)=0的解为坐标的点（x,y）都在曲线C上，那么方程F（x,y)=0叫曲线C的方程，曲线C叫方程F（x,y)=0的曲线。 已知曲线求它的方程的步骤 （1）建立适当坐标系，用（

21、x,y)表示曲线上任一点P的坐标； （2）写出适合条件M的点P的集合（3）用坐标表示条件M（P），列出方程；f（x,y)=0（4）化方程f（x,y)=0为最简形式（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 充分条件 必要条件 充要条件 直线直线 直线的方程直线与x轴垂直不能用 直线与x轴垂直不能用 直线与坐标轴垂直不能用 直线与坐标轴垂直或过原点不能用 A、B不全为零 点到直线的距离 两条直线的关系及条件 平 行 重 合 垂 直 斜交二直线的夹角 直线系 圆圆 定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点是圆心，定长是半径。 标准方程 一般方程 点与圆的位置关系直线与圆的位置

22、关系 圆与圆的位置关系椭圆椭 圆 定义：平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于一个常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两定点间的距离叫做焦距。 标准方程 图 象焦 点F1（-c,0） F2（c,0）F1（0,-c） F2（0,-c）焦 距 几何性质范围 对称性 坐标轴是椭圆的对称由，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 顶点 离心率 双曲线双曲线 定义：平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值是常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两定点间的距离叫做焦距。 标准方程 图 象焦 点F1（-c,0） F2（c,0）F1（

23、0,-c） F2（0,-c）焦 距 几何性质范围 对称性 坐标轴是椭圆的对称由，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 顶点 渐近线 离心率 2.5抛物线抛物线 定义：平面内与一个定点F和一条定直线L距离相等的的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。 标准方程 焦 点 准 线 图 象 几何性质范围 对称性 曲线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。顶点 坐标原点（0，0） 离心率 e=1 2.6向量部分空间向量空间向量的概念 在空间内具有大小和方向的量叫做和向量 共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理 两个向量的数量积 空间向量的数量积的

24、性质 空间向量的坐标运算 两向量的夹角 平面向量平面向量的概念 在平面内具有大小和方向的量叫做和向量 运算性质 实数与向量的积 运算律 平面向量基本定量 向量平行 向量垂直 定比分点公式 三、常用公式3.1常用公式公式分类公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|a|+|b|a-b|a|+|b|a|b-bab|a-b|a|-|b|-|a|a|a|一元二次方程的解-b+(b2-4ac)/2a-b-b+(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦

25、达定理判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根b2-4ac0注：方程有一个实根b2-4ac0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c*h正棱锥侧面积S=1/2c*h正棱台侧面积S=1/2(c+c)h圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r 0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=SL注：其中,S是直截面面积，

26、 L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h3.2几何图形及计算公式平面图形名称符号周长C和面积S正方形a边长C4aSa2长方形a和b边长C2(a+b)Sab三角形a,b,c三边长Sah/2ha边上的高 ab/2sinCs周长的一半 s(s-a)(s-b)(s-c)1/2A,B,C内角 a2sinBsinC/(2sinA)其中s(a+b+c)/2四边形d,D对角线长SdD/2sin对角线夹角平行四边形a,b边长Sahha边的高 absin两边夹角菱形a边长SDd/2夹角 a2sinD长对角线长d短对角线长梯形a和b上、下底长S(a+b)h/2h高 mhm中位线长圆r半径Cd2rd直

27、径Sr2 d2/4扇形r扇形半径C2r2r(a/360)a圆心角度数Sr2(a/360)弓形l弧长Sr2/2(/180-sin)b弦长 r2arccos(r-h)/r - (r-h)(2rh-h2)1/2h矢高 r2/360 - b/2r2-(b/2)21/2r半径 r(l-b)/2 + bh/2圆心角的度数 2bh/3圆环R外圆半径S(R2-r2)r内圆半径 (D2-d2)/4D外圆直径d内圆直径椭圆D长轴SDd/4d短轴立方图形名称符号面积S和体积V正方体a边长S6a2Va3长方体a长S2(ab+ac+bc)b宽Vabcc高棱柱S底面积VShh高棱锥S底面积VSh/3h高棱台S1和S2上、

28、下底面积VhS1+S2+(S1S1)1/2/3h高拟柱体S1上底面积Vh(S1+S2+4S0)/6S2下底面积S0中截面积h高圆柱r底半径C2rh高S底r2C底面周长S侧ChS底底面积S表Ch+2S底S侧侧面积VS底hS表表面积 r2h空心圆柱R外圆半径Vh(R2-r2)r内圆半径h高直圆锥r底半径Vr2h/3h高圆台r上底半径Vh(R2Rrr2)/3R下底半径h高球r半径V4/3r3d2/6d直径球缺h球缺高Vh(3a2+h2)/6r球半径 h2(3r-h)/3a球缺底半径a2h(2r-h)球台r1和r2球台上、下底半径Vh3(r12r22)+h2/6h高圆环体R环体半径V22Rr2D环体直

29、径 2Dd2/4r环体截面半径d环体截面直径桶状体D桶腹直径Vh(2D2d2)/12d桶底直径(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)h桶高Vh(2D2Dd3d2/4)/15(母线是抛物线形)四、坐标几何和二维、三维图形4.1坐标几何一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是(0,0)，称为原点。水平与垂直方向的位置，分别用x与y代表。一条直线可以用方程式ymxc来表示，m是直线的斜率（gradient）。这条直线与y轴相交于(0,c)，与x轴则相交于(c/m,0)。垂直线的方程式则是xk，x为定值。通过(x0,y0)这一点，且斜率为n的直线是yy0n(xx0)一条

30、直线若垂直于斜率为n的直线，则其斜率为1/n。通过(x1,y1)与(x2,y2)两点的直线是y(y2y1x2x1)(xx2)y2（x1x2）若两直线的斜率分别为m与n，则它们的夹角满足于tanmn1mn半径为r、圆心在(a,b)的圆，以(xa)2(yb)2r2表示。三维空间里的坐标与二维空间类似，只是多加一个z轴而已，例如半径为r、中心位置在(a,b,c)的球，以(xa)2(yb)2(zc)2r2表示。三维空间平面的一般式为axbyczd。三角学边长为a、b、c的直角三角形，其中一个夹角为。它的六个三角函数分别为：正弦（sine）、余弦（cosine）、正切（tangent）、余割（cosec

31、ant）、正割（secant）和余切（cotangent）。sinb/ccosa/ctanb/acscc/bsecc/acota/b若圆的半径是1，则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。acosbsin依照勾股定理,我们知道a2b2c2。因此对于圆上的任何角度，我们都可得出下列的全等式：cos2sin21三角恒等式根据前几页所述的定义，可得到下列恒等式（identity）：tansin/cos，cotcos/sinsec1/cos，csc1/sin分别用cos2与sin2来除cos2sin21，可得：sec2tan21及csc2cot21对于负角度，六个三角函数分别为：sin()sincsc

32、()csccos()cossec()sectan()tancot()cot当两角度相加时，运用和角公式：sin()sincoscossincos()coscossinsintan()tantan1tantan若遇到两倍角或三倍角，运用倍角公式：sin22sincossin33sincos2sin3cos2cos2sin2cos3cos33sin2costan22tan1tan2tan33tantan313tan24.2二维图形下面是一些二维图形的周长与面积公式。圆：半径r直径d2r圆周长2rd面积r2(3.1415926.)椭圆：面积aba与b分别代表短轴与长轴的一半。矩形：面积ab周长2a2

33、b平行四边形（parallelogram）：面积bhabsin周长2a2b梯形：面积1/2h(ab)周长abh(secsec)正n边形：面积1/2nb2cot(180/n)周长nb四边形（i）：面积1/2absin四边形（ii）：面积1/2(h1h2)bah1ch24.3三维图形以下是三维立体的体积与表面积（包含底部）公式。球体：体积4/3r3表面积4r2方体：体积abc表面积2(abacbc)圆柱体：体积r2h表面积2rh2r2圆锥体：体积1/3r2h表面积rr2h2r2三角锥体：若底面积为A，体积1/3Ah平截头体（frustum）：体积1/3h(a2abb2)表面积(ab)ca2b2椭球：体积4/3abc环面（torus）：体积1/42(ab)(ba)2表面积2(b2a2)