1.2.4正弦余弦定理应用——变形及求面积

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1、1.正弦定理：正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中：（其中：R为为ABC的外接圆半径）的外接圆半径）2.三角形面积公式：三角形面积公式：CabBcaAbcSABCsin21sin21sin21 复习复习3.正弦定理的变形：正弦定理的变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincbaCBA:sin:sin:sinCabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222 变形变形abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222 4.余弦定理：余弦定理：在在 中，以下的三角关系式，

2、在解答有关中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用用：ABC;CBACBACBAcos)cos(,sin)sin(2sin2cos,2cos2sinCBACBA 的的形形状状。断断、根根据据所所给给的的条条件件，判判例例ABC 1AbBacoscos1）（BbAacoscos2）（)2()2(222222bcacbbacbcaa 222222acbbca 2222ba ba 为等腰三角形。为等腰三角形。ABC 解：解：）（1AbBacoscos 得得法法二二：由由AbBacoscos ABRBARcossin2c

3、ossin2 0cossincossin ABBA0sin ）（即即BABA)2()2(222222acbcabbcacba 0422422 bcbaca0)(22222 bacba022222 bacba或或角形。角形。为等腰三角形或直角三为等腰三角形或直角三ABC 222bacba 或或解：解：）（2BbAacoscos 得得法法二二：由由BbAacoscos BBRAARcossin2cossin2 BA2sin2sin BABA2222 或或2 BABA或或即即 在判断三角形形状时，主要通过三角形边或角在判断三角形形状时，主要通过三角形边或角之间关系进行判断，将已知条件利用正弦定理统一

4、之间关系进行判断，将已知条件利用正弦定理统一为角的关系，或用余弦定理统一为边的关系，有时为角的关系，或用余弦定理统一为边的关系，有时也可以结合两者运用。也可以结合两者运用。CbBAbacos2sinsin 法一：由正弦定理得：法一：由正弦定理得：baabcbaC22cos222 法法二二：由由余余弦弦定定理理得得：为为等等腰腰三三角角形形ABC 的形状。的形状。，判断，判断中已知中已知例例2 2：在：在ABCCbaABC cos2 例例3已知已知ABC的三内角的三内角A、B、C成等差，而成等差，而A、B、C三三内角的对边内角的对边a、b、c成等比，试证明：成等比，试证明：ABC为正三角形。为正

5、三角形。证明：证明：a、b、c成等比，成等比，b2=acA、B、C成等差，成等差，2B=A+C，又由余弦定理得：又由余弦定理得：60cos2cos222222accaBaccab ,22accaac 0)(2 ca即即，a=c又又B=60o，ABC是正三角形。是正三角形。acca 22又又A+B+C=180o，B=60o，A+C=120o解：解：oBA120 oC60 232 abba，Cabbaccos2222 abba32 ）（6612 2323221sin21 CabSABC6 cCBABA，求角，求角）（满足满足、的两根，角的两根，角03sin2 的面积。的面积。的长度及的长度及的度数，边的度数，边ABCc 02322 xxba是方程是方程、例例4 4 锐角三角形中，边锐角三角形中，边23sin03sin2 ）（，）（BABA为锐角三角形为锐角三角形ABC 的两根的两根是方程是方程、边边02322 xxba课本课本24页页A组组 34.B组组1、2 作业作业