度量空间中开集闭集自列紧集和紧集

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1、度量空间中邻域、有界集、开集、聚点、闭集、自列紧集、紧集和连通集的概念设X是度量空间，Xo X，A二X。1. 邻域设&是正实数，点Xq e X的“6邻域”是指集合x d(Xo,x )211 n$使得xFk = U xk,、：，所以d x,xk ：。由三角不 等式知d xo,x - d xo, Xk d Xk,x : maxx,Xk k = 1,2IIn* =所以xU Xo,，。因为A是任取的，所以A5U Xo,。所以A是有界集。证A是闭集。反证法。设A不是闭集，那么存在一点x0X是A的聚点且x0 - A。对任意x A，有XXO，所以d xo,x 0，那么存在正数Xo,x。设集族 G = fx

2、Fx =U (x,6x ) x e a，显然G是开集族，且对任意x匕A有x匕FX匕G ,所 以G是A的开覆盖。设Fk Fk9k = 1,2tll n是G的任意有限子集，设邻域Fk的中心是Xk。因为 对任意 x A有:： d x0, x，所以 d xO,xk -, O。设：=mind X3,xk。因为x0是A的聚点，所以存在 xU xO，即d x(),x ：-；。对任意正整数 k 臼,2川n?，由三角不等式知d Xo,x d x,Xk -d Xo,Xk ，所以 d x,Xk -d Xo,Xk -d Xo,xr，所以 x U 人,=Fk。由于也Fk G,k =1,啪|nl是任取的，所以G的任意有限

3、子集都不能覆盖 A。这与A是紧集的条件矛盾，所以A是闭集5. 度量空间的子集是自列紧集当且仅当它是紧集。证明：设X是度量空间，集合A是X的子集。充分性：设A是紧集，要证A是自列紧集。反证法。假设A不是自列紧集，那么存在A的序列 曲没有收敛到A中的点 的子序列，那么咕昇是无穷集（证明见附录1）。那么对任意x A,存在正数x使 得邻域U xx至多只包含中的有限多个点（证明见附录 2）。设集族 G =圧Fx =U （x,6x ）,x A，显然G是开集族，且对任意x壬A有xFxG,所 以G是A的开覆盖。设 H G,k = 1,2IH n是G的任意有限子集，设邻域Fk的中心是x。因为 任意Fk至多只包含

4、了有限多个 0中的点。所以Fk FkG,k=1,2川n也至多只 包含了有限多个 玄；中的点。弄是无穷集，所以G的任意有限子集不能覆盖 和；玄是A的序列，所以G的任意有限子集不能覆盖 A。这与A是紧集的条 件矛盾，所以A是自列紧集。必要性；设A是自列紧集，要证A是紧集。见 George F. Simmons的Introduction to Topology and Modern Analysis附录1. 若度量空间X的子集A中的序列；.aj没有收敛到A中的点的子序列，那 么(a/:是无穷集。证明：反证法。假设时是有限集，那么至少存在一点a，CaJ对应了无穷多个下 标。提取出这些下标便得到恒等于a

5、的常序列，显然它是 曲 的子列且收敛于a。 这与：aj没有收敛到A中的点的子序列的条件矛盾，所以 玄？是无穷集。2. 若度量空间X的子集A中的序列 曲 没有收敛到A中的点的子序列，那 么对任意x A,存在正数*使得邻域U x,、x至多只包含 中的有限多个点。证明：r只需证：存在正数:x使得邻域U Xx不包含 环，中的点。反证法。假设X的任意去心邻域中都至少包含一个 匕昇中的点，那么存在正 整数M ,使得aN严U(X,1 );对于正整数k1，存在正整数NkNk使得 a% - U x,1 k (若不能，那么邻域U x,1 k中只包含不超过个 a中的点，存在一个去心邻域不包含taj中的点)。那么子序列牯叫满足d(x,aNn )v1/n，显 然它收敛于x。这与:an 没有收敛到A中的点的子序列的条件矛盾，所以存在正 数 使得邻域U X,、，不包含G?中的点。设正数x满足邻域U x, x不包含 玄？中的点。若爸？，那么邻域 U x, x中只包含1个中的点，即x ； 若 x U，那么邻域U x, x中不包 含0?中的点。所以邻域U Xx至多只包含耳中的有限多个点。3. 开集和闭集的交与并(1) 开集的并是开的。(2) 闭集的交是闭的。(3) 有限多个开集的交是开的。(4) 有限多个闭集的并是闭的。